2021--2021北京市房山区高三数学文科一模试题及答案

3 （Ⅱ）解：由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B ．
将 B π ， b 7 代入上式，整理得 (a c)2 3ac 7 ． 3
因为 a c 5 ，
…………6 分
因此 ac 6 ．
因此 △ ABC 的面积 S 1 ac sin B 3 3 ． …………13 分
（17）（本小题14 分） 2017 年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过 70 天，重度
污染的天数仅有 4 天．要紧缘故是政府对治理雾霾采取了有效方式，如①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电
或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部份企业季节性的停产．为了解农村地域实施煤改气工程后天燃气
2 ， PB=
3 ， BC
//
1 2
AD，
A
E D
腰直角
B

C
CD AD. （Ⅰ）假设 E 为 PD中点，求证： CE // 平面 PAB； （Ⅱ）求证： CD 平 面 PAD； （Ⅲ）求四棱锥 P ABCD的体积.
（19）（本小题13 分）
已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 过点 0, 1 ，离心率 e
个的
（A）充分而没必要要条件 （C）充要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也没必要要条件
（8）假设五位同窗围成一圈依序循环报数，规定：①第一名同窗第一次报出的数为 2 .第二位同窗第一次报出的
数也为 2 ，以后每位同窗所报出的数都是前两位同窗所报出的数之和；②假设报出的数为 3 的倍数，那么报该数
V
1 3
PO S梯形ABCD
1 3
(1
2)
21 2
2 2
b 1
e
c a
2 2
a2 b2 c2
a
2
C
b 1
x2 y2 1 l 2
y k(x 1)
x2
y2
1
2
(2k 2 1)x2 4k 2 x 2k 2 2 0
0
kR
k 0
M (x1, y1), N (x2, y2 )
题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
答案
A
C
D
D
A
D
A
B
二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
（9）（0，1） （10） 1 2
(11) x (0, ), 2x 1
(12) 13
(13) y sin x 或 y cosx 等
(14) 2 ,（1，5] 22
（1）假设集合 M {1, 0,1, 2} ， N {y | y 2x 1, x M} ，那么集合 M N 等于
（A）{1,1}
（B）{1, 2}
（C） {1,1, 3, 5}
（D）{1, 0,1, 2}
x y 3
（2）已知
x
，
y
知足约束条件
yx
，那么 x 3y 的最大值是
x 1
则当 x 0,1时 g(x) 0 ，即 f '(x) 0
则当 x 1, 时 g(x) 0 ，即 f '(x) 0 因此 f (x) 的单调递增区间为 0,1 ， f (x) 的单调递减区间 1, .
………………… 9 分
（Ⅲ）因为 g(x) 2 ln x 1 a x
g'(x) 2 1 2x 1 x x2 x2
Sn
n(5 3n 2
2)
2(1 2n ) 1 2
n(7
3n) 2
2n1
2
（16）（本小题13 分）
（Ⅰ）解：由已知得 2cos2 B cos B 1 0 ，
…………6 分 …………13 分
即 (2cos B 1)(cos B 1) 0 ． 解得 cos B 1 ，或 cos B 1．
2 因为 0 B π ，故舍去 cos B 1． 因此 B π ．
Ω ={（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)}
共有 15 种情形,
设随机抽取 2 户不在同一组为事件 A
则 A 中共有：(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f)共有 8 种情形
2. 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 F 1,0 作斜率为 k k 0 的直线 l ，l 与椭圆 C 交于 M ，N 两点，假设线段 MN 的垂直平分线交 x
轴于点 P ，求证：| MN | 2 2 | PF | ．
（20）（本小题13 分） 已知函数 f (x) (2x 1) ln x 1 x2 2x ， l 为曲线 C : y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线． 2
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）设 bn an 2n ，求数列bn 的前 n 项和 Sn ．
（16）（本小题13 分） 在△ ABC 中，内角 A, B,C 的对边别离为 a,b, c ，且 cos 2B cos B 0 ．
（Ⅰ）求角 B 的值；
（Ⅱ）若 b 7 ， a c 5 ，求△ ABC 的面积．
房山区 2021 年高三第一次模拟测试试卷 数学（文）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试终
止后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部份 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
8 P(A)= 15
…………13 分
(18) 证明：（I）法 1：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF
在 △APD 中，E F 别离为 PA，PD 的中点，
EF //
1 2
AD
BC
//
1 2
AD
EF // BC
四边形 FECB 为平行四边形
P F A
E D
B C
P
PF
E
A
E
D
O
A
D
BO
C
B C
FBCE
的同窗需鼓掌一次，当第 27 个数被报出时，五位同窗鼓掌的总次数为
（A） 7
（B） 6
（C） 5
（D） 4
第二部份 （非选择题 共110分）
二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
（9）抛物线 x2 4 y 的核心到双曲线 x2 y2 1的渐近线的距离为
.
3
（10）假设是复数 2 i1 mi （其中 i 是虚数单位）是实数，那么实数 m
因此
f (1) 5 ，切点为 (1, 5) .
2
2
f '(1) 0
因此 L 的方程为 y 5 2
………………… 5 分
（Ⅱ）概念域为 x x 0
f '(x) 2ln x 1 x x
设 g(x) 2 ln x 1 x x
g ' ( x)
x 12
x2
0 恒成立
因此 g(x) 在 0, 上是减函数，且 g(1) 0
利用情形，从某乡镇随机抽取100 户，进行月均用气量调查，取得的用气量数据（单位：千立方米）均在区间(0,5]
内，将数据按区间列表如下：
分组
频数
频率
( 0,1]
14
0.14
(1,2]
x
m
（Ⅰ）求表中 x ，
( 2,3]
55
（Ⅱ）假设同组中
(3,4]
4
据用该组区间的中
( 4,5]
2
量该乡镇每户月平
合计
.
（11）已知命题 p : x (0, ) ， 2x 1，那么 p 为 .
（12）已知| a |1，| b | 2 ，且 a 与 b 的夹角为 ，那么| a 2b |
.
3
（13）已知函数 f (x) 同时知足以下条件：周期为 ；值域为[0,1] ； f (x) f (x) 0 ．
试写出一个知足条件的函数解析式 f (x)
（A） 4
（B） 6
（C） 7
（D） 8
（3）以下函数中，与函数 y x3 的单调性和奇偶性相同的函数是
（A） y x
（B） y ln x
（C） y tan x
（D） y ex ex
（4）(factorial)是基斯顿·卡曼于1808 年发明的， n 的阶乘 n 1 23 n .例如： 2 ， .
面PAB, BF
面PAB CE //
PAB
//
1 2
BC
//
1 2
AD
//
CO
EO
O
CE 面EOC CE // 面PAB BC
//
1 AD 2
O为AD的中点 BC
//
OD
四边形OBCD为平行四边形 BO // CD CD ODBO OD BO 2, PO 1, PB 3
PB2 PO2 OB2 PO OB PO OD O BO 面PAD CD 面PAD PO AD AD OB O PO 面ABCD PO为四棱锥P - ABCD的高
2
2
(17) 解：（Ⅰ） x=100-75=25， m= 25 =0.25 100
（Ⅱ） 0.514+1.5 25+2.555+3.5 4+4.5 2 2 .05 100
（Ⅲ）设（3,4]组内数据为 a,b,c,d（4,5]组内数据为：e,f
从月均用气量高于 3 千立方米的中随机抽取 2 户的大体事件空间为
MN
Q(x0 , y0 )
y k(x 1)
4k 2 x1 x2 2k 2 1
2k 2 2 x1x2 2k 2 1
x0
x1 x2 2
2k 2 2k 2 1,
y0
k ( x0
1)
k 2k 2 1
P( p, 0)
PQ MN
k
y0 x0
p
2k 2 1
2k 2k 2
2
1
p
1 k
k2 p 2k 2 1
当
x
0,
1 2
时
g
'
(
x)
0
，当
x
1 2
,
时
g
'
(
x)
0
因此 g(x) 在 0, 上的最小值为 g( 1 ) = 2ln 1 2 a 2 2ln 2 a
2
2
因此假设关于 x 的不等式 g(x) 0 有解，那么 2 2ln 2 a 0 ，即 a 2 2ln 2
………………… 13 分
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解许诺写出文字说明、演算步骤或证明进程。
（15）（本小题13 分）
（Ⅰ）由等差数列 an 中 a3 a8 37 ， a7 23 .
得 a1 5
，因此
d 32 5 3 ． 10 1
因此 an 5 3(n 1) 3n 2 ．
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 知，
n=n+1 是
心角
结束
（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的表面积为
（A） 8 4 2 （B） 2 2 2 4 3 （C） 2 6 3 （D） 2 4 2 2 3
（7）“ a 2 ”是“函数 f (x) loga x(a 0, 且a 1) 的图象与函数 f (x) x2 4x 4 的图象的交点个数为 2
100
0.55
m 的值；
0.04
的每一个数
0.02
点值代替，估
1
均用气量；
（Ⅲ）从用气量高于 3 千立方米的用户中任选 2 户，进行燃气利用的中意度调查，求这 2 户用气量处于不同区间 的概率.
P
（18）（本小题14 分）
如图，四棱锥 P ABCD中，△ PAD是以 AD为斜边的等
三角形， PD CD
（Ⅰ）求 l 的方程； （Ⅱ）求 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）设 g(x) f '(x) x a ，假设关于 x 的不等式 g(x) 0 有解，求实数 a 的取值范围．
房山区 2021 年高三一模考试试卷 数学（文科）
参考答案
一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
.
x a, 2 x 0,
（14）设函数
f
x
1 2
x
,0
x
1.
则
①
f
1 2
；
② 若 f x 有最小值，且无最大值，那么实数 a 的取值范围是 .
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解许诺写出文字说明、演算步骤或证明进程。
（15）（本小题13 分）
已知数列an 是等差数列， a3 a8 37 ， a7 23 .
k2
k2 1
| PF | 1 2k 2 1 2k 2 1
| MN |
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
(1
k 2 )[(
4k 2 2k 2
)2 1
4(2k 2 2k 2
2) 1
]
2
2(1 k 2) 2k 2 1
| MN | 2
2 | PF |
f '(x) 2ln x 1 x x
执行如下图的程序框图．那么输出 n的值是
（A） 2
（B） 6
开始
（C） 24
（D）120
（5）圆 x2 y 2 4 被直线 y 3x b 截得的劣弧所对的圆
的大小为120 ，那么 b 的值
（A） 2
（B） 2 3
（C） 2
（D） 3
输入 n,k n=1, k=1
k=k+1
k≤4 否
输出 n!