北师大版初二数学下册十字相乘法

十字相乘法
教学目标：
1•理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的方法。

2•通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。

3•通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，让学生在学习中体验成功的喜悦。

教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如x2 px q的二次三项式分解因式。

教学难点：把x2 px q分解因式时，准确地找出a、b，使ab=q
a b = p。

教学过程：
一、复习导入：
师：前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫做因式分解。

1•复习因式分解
因式分解：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

实质是（和差化积）与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反）2•师：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
答：提取公因式法，公式法，
在日常生活中，如取款，上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生
的密码，方便记忆，原理是如对于多项式m°- n4，因式分解的结果是(m —n)(m • n)(m2• n2),取m = 7,n = 7时，则各个因式的值是
(m -n) =0,(m • n) =14, (m2 n2) =98,于是便可把“01498’ 作为一个密码，那么对于x2 6xy 5y2，取x=6,y=8时，用上述方法产生的密码可以是.
师：要想知道密码是什么，关键要将上式分解因式，那x2 6xy 5y2能用提取公因式法和公式法来因式分解吗？不能！那类似于这样的多项
式又该如何分解呢？这就是我们今天这节课要学习的一种新的分解因式的方法------- 十字相乘法。

(在讲新课之前我们先看几个小练习)
3•填空：
(x 3)(x 4) = ____________ (x 3)(x _4)二____________________
(x -3)(x 4) = ____________ (x _3)(x _4)二___________________
4•问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
答：仔细观察分析各题，我们可以得出，在整式的乘法中,有
(x a)(x b) = x2 (a b)x ab
填空
二、探索新知：
1、观察与发现
等式的左边是两个一次二项式相乘，右边是二次三项式，这个过程将积
的形式转化成和差形式，进行的是整式乘法运算。

反过来可得x2+(a + b)x+ab=(x+a)(x+b)
等式的左边是(二次三项式)，
右边是两个(一次二项式)相乘，这个过程将(和差)的形式转化成(积)的
形式，进行的是(因式分解).
师：既然从左到右进行的是因式分解，那么我们可不可以利用上面等式左右两边形式上的关系来将和等式左边具有相同特点的多项式进行因式分解呢？（答：可以）
师：方法是什么呢？（教师启发）等式右边是因式分解的结果，结果是两个二项式相乘，在这两个二项式中有一项是相同的，都是X,相
乘正好得到X2，还剩下a和b，那么要想确定因式分解的结果，我们关键要确定什么呢？（确定a和b）那么a和b如何确定呢？满足什么条件呢？（它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数）这样我们就可以把这个二次三项式因式分解了。

提问：试一试，现在有一个多项式X2 4X 3让你分解因式，我们该如何分解呢？
分析：根据总结的方法，要找到a+b”次项系数4 ab=常数项3
（板书）各种情况
师：能否找到两个整数使它们同时满足和为4,积为3呢？
答：能！所以x2 4x 3 =（x 1）（x 3）
师：那么通过上面的尝试，你能说一说在寻找这两个整数的时候我们是从它们的和着手较方便还是从它们的积着手方便呢？
答：乘积。

师：在对x2 4x 3进行因式分解的时候，我们还可以借助画十字交叉线来分解，x2分解为x x,常数项3可分解为1 3，把它们用交叉线来表示：x +1
+3 按十字交叉相乘，它们积的和就是x・3x = 4x恰好等
于一次项，所以得
到x2 4x 3=(x 1)(x 3)
定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

2、小结步骤：
师：那么讲了这么多，我们能不能来总结一下用十字相乘法进行因式
分解的步骤呢？
关键：(1)列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
(2)尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；
3、例题分析
接下来我们通过几个例题来加深一下理解：
例1:分解因式
1.x2 -7x 12
2. x2 4x-12
3. x2 8x 12
4.x2 -11x-12
(注：其中1.2.3教师板书讲解，4学生练习，1题如果我写验证一下我分解的对不对，该如何检验呢？按照整式乘法从右向左乘回去。

) 练一练：在下列各式的横线上填入“ +”和“一”号。

x2 _7x+12 =(x_3)(x _________ 4)
2
x +4x-12=(x ________ 6)(x _____ 2)
2
x 8x 12 =(x ________ 2)( x ____ 6)
2
x -11x-12=(x _______ 12)(x ______1)
师：由上述练习请你说一说你寻找的两数的符号是如何确定的?
在x2 px q = (x a)(x b)中，
当q>0时，a、b ( 同号)，且a、b的符号和p的符号( 相同).
当q<0时，a、b(异号 )，且绝对值较大的因数与p的符号( 相
同).
师：如果分的更加详细些，又该如何呢？
思考1:例如，若二次三项式X2 px q能找到两数a、b使它分解为
x2 px q = (x a)(x b)，贝卩：
(1) 当q〉0, p>0时，贝U a ___ 0,b _____ 0
(2) 当q>0, p<0时，贝U a ____ 0,b _____ 0
(3 当qc0, p>0时，则a ______ 0,b _____ 0,且 a ___ b;(或ac0,b>0,且a c b)
⑷当qc0,p<0 时，则a _______ 0,b _____ 0,且a ____ b (或a<0,b〉0,且a >|b) (这留作我们今天课后的第一个思考题，希望同学们利用中午的时间
讨论一下。

)
例2:分解因式
1. x2 -5x 4
2. x2 -5xy 4y2
3. x4 - 5x2 4
3.(2x y)2 -5(2x y) 4 练：1. x4 -5x2 -36
2.(x2 _2x)2 _2(x2 _2x) _3
(注：其中3和4小题，应用数学中的整体思想)
思考2：我们现在所研究的都是二次项系数是1的二次三项式用十字相乘法进行因式分解，那么当二次项的系数不是1,而是其他数字时呢？
例如：3x2 -2x -1
这是我们今天这节课的第二个思考题。

4、拓展练习: 问题：若A ^0，下面两个结论对吗？
(1)A和B同时都为0,即A=0且B=0;
(2)A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。

请结合上面的结论，运用十字相乘法解下列一元二次方程：
2 2
1)x 7x 6 = 0 ；2)x 7x = -12 ；
分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把等号左边因式分解，然后再求解。

三.分层布置作业：
四.本课小结：
这节课主要学了什么？
用十字相乘法进行因式分解，步骤是：
(1)列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
(2)尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；
师：还记不记得我们刚刚上课时提到的那个密码问题，那么密码究竟
是什么呢？我们一起来看一下！
思考3：老师在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。