2020-2021学年广东省深圳市龙华区八年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省深圳市龙华区八年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 在下列实数中，有理数是( )
A. √2
B. √3
C. √4
D. √5
2. 点A(−1,√2)在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 下列式子正确的是( )
A. √16=±4
B. √a +b =√a +√b
C. −√13<−4
D. √−83=−2
4. 关于一次函数y =−3x +2，下列结论正确的是( )
A. 图象过点(1,1)
B. 图象经过第一、二、三象限
C. y 随x 的增大而增大
D. 当x >2
3时，y <0
5. 若{x =2
y =1
是关于x ，y 的二元一次方程1−ay =3x 的一组解，则a 的值为( )
A. −5
B. −1
C. 2
D. 7
6. 学校推荐一名同学参加龙华区初中英语演讲比赛，对甲、乙、丙、丁四位候选人进
行了听说测试和笔试，他们的成绩如下表，听说成绩、笔试成绩按6：4的比例确定各人的测试成绩．
根据四人的测试成绩，学校将推荐( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
7. 一副直角三角板如图放置，点A 在DF 延长线上，已知：
∠D =∠BAC =90°，∠E =30°，∠C =45°，BC//DA ，那么∠ABF 的度数为( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远
的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格．设有x 人，该物品价格为y 元/件，依题意得( ) A. {8x +3=y
7x −4=y
B. {8x −3=y 7x +4=y
C. {y
8
−3=x y
7
+4=x
D. {y
8
+3=x y
7
−4=x
9. 一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一
定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x 分钟，船舱内积水量为y 吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y 与x 的函数关系，下列说法中： ①修船共用了38分钟时间；
②修船过程中进水速度是排水速度的3倍；
③修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍； ④最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同， 其中正确的信息判断是( )
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ③④
10. 在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB 各顶点坐标分别是：A(0,−2)，B(2,2)，
M(3,a)，N(3,b)，且MN =1，a <b ，那么四边形AMNB 周长的最小值为( )
A. 6+2√5
B. 6+√13
C. √34+2√5+1
D. √34+√13+1
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若点A(2,−1)关于x 轴的对称点A 的坐标是(m,n)，则m +n 的值是______．
12.函数y=√x−3中，自变量x的取值范围是______．
13.如图是甲，乙两种商品1～5月的价格变化情况统计图，记甲种商品价格数据的方差
为S甲2，乙种商品价格数据的方差为S乙2，那么S甲2______S乙2.(填“>”、“<”或“=”)
14.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，D为
AB上一点，将△BCD沿CD折叠后，点B落在点E处，
且CE//AB，则∠ACD的度数是______°.
15.如图，E是腰长为2的等腰直角△ABC斜边上一点，且BE=BC，
P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则
PQ+PR的值是______．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）
16.计算题
(1)√8
√2
+(√3+2)(√3−2)；
(2)6√1
2+|1−√3|−(√6+1)÷√3
3
．
17. 解方程组
(1){2x +3y =16x −2y =1；
(2){0.3x −y =10.2x −0.5y =19．
18. 为了了解某校学生的眼睛近视度情况，随机抽取该校男生，女生进行抽样调查，已
知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制成如图统计图表：
组别 近视度
A x ≤50
B 50<x <100
C 100≤x <150
D 150≤x <200 E
x ≥200
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)样本中，男生的近视度众数在______组，中位数在______组； (2)样本中，女生近视度在E 组的人数有______人；
(3)已知该校共有男生600人，女生480人，请估计近视度为150≤x<200的学生
共约有______人．
19.甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲
玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价9折出售，这样商店共获利114元．
(1)求甲，乙两个玩具的成本各是多少元？
(2)商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每个玩具至少购
进1个，那么可以怎样安排进货？
20.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD//AC，
交∠ACB的平分线CD于点D，CD交AB于点E．
(1)求证：BC=BD；
(2)若AC=3，AB=6，求CD的长．
21.定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、
四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
(1)在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；
(2)在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；
(3)在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段HI；
(4)在图4中画出个周长为3√2+√10的格点直角三角形JKL．
22.将等腰Rt△ABC在平面直角坐标系中如图所示放置，其中顶点B的坐标是(0,1)，
顶点C的坐标是(2,1)，∠A=90°，直线l：y=kx+b经过点D(−1,−1)且绕点D 转动．
(1)若直线l与△ABC的一边平行，请求出此时直线l的函数解析式(求出其中一种情
况即可)；
(2)若直线l与△ABC有公共点，求k的取值范围；
(3)若直线l经过点C，此时直线l上是否存在一点P，使得△PAB的面积等于1
？如
2果存在，求出此时点P坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、√2是无限不循环小数，是无理数；
B、√3是无限不循环小数，是无理数；
C、√4=2，是有理数；
D、√5是无限不循环小数，是无理数．
故选：C．
有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数．
此题考查了有理数的概念，是一道基础题．
2.【答案】B
【解析】解：点A(−1,√2)在第二象限．
故选：B．
根据各个象限的点的坐标特点判断即可．
本题考查了点的坐标，熟记第二象限的点的特征是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A．√16=4，故本选项不符合题意；
B.当a=4，b=9时，√a+b=√13，√a+√b=√4+√9=2+3=5，
即√a+b≠√a+√b，故本选项不符合题意；
C.∵3<√13<4，
∴−3>−√13>−4，
即−√13>−4，故本选项不符合题意；
3=−2，故本选项符合题意；
D.√−8
故选：D．
先根据算术平方根的定义，估算无理数的大小和立方根的定义进行计算，再逐个判断即可．
本题考查了算术平方根的定义，实数的大小比较，估算无理数的大小和立方根的定义等
知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵当x=1时，y=−1，∴图象经过点(1,−1)，故本选项错误；
B、∵k=−3<0，b=2>0，∴图象经过第一、二、四象限，故本选项错误；
C、∵k=−2<0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵y随x的增大而减小，当x=2
时，y=0，
3
∴当x>2
时，y<0，故本选项正确．
3
故选：D．
根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，可得：1−a=3×2，
∴1−6=a，
解得a=−5．
故选：A．
根据题意，可得：1−a=3×2，据此求出a的值是多少即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
6.【答案】B
【解析】解：甲的平均成绩=(89×4+86×6)÷10=872÷10=87.2(分)，
乙的平均成绩=(83×4+92×6)÷10=884÷10=88.4(分)，
丙的平均成绩=(83×4+90×6)÷10=872÷10=87.2(分)，
丁的平均成绩=(92×4+83×6)÷10=866÷10=86.6(分)，
∵88.4>87.2=87.2>86.6， ∴乙的平均成绩最高， ∴学校将录取乙． 故选：B ．
首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出谁将被学校录取．
此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠D =∠BAC =90°，∠E =30°，∠C =45°， ∴∠EFD =60°，∠ABC =45°， ∵BC//DA ，
∴∠CBF =∠EFD =60°，
∴∠ABF =∠CBF −∠ABC =60°−45°=15°． 故选：A ．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠CBF =60°，进而得出答案． 此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠CBF 的度数是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：依题意得：{8x −3=y 7x +4=y ．
故选：B ．
根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由图可得，
修船共用了26−10=16分钟时间，故①错误；
修船过程中进水速度为：40÷10=4(吨/分钟)，排水速度是4−(88−40)÷(26−10)=1(吨/分钟)，故修船过程中进水速度是排水速度的4倍，故②错误；
修船完工后的排水速度是88÷(48−26)=4(吨/分钟)，故修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍，故③正确；
由上可得，最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，故④正确；
故选：D．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】A
【解析】解：如图，作AA′//MN，使得AA′=MN=1，作点B关于直线MN的对称点B′，连接A′B′交直线MN于N′，取点M′，使得M′N′=1，连接AM′，此时四边形AM′N′B′的周长最小．
由题意，A(0,−2)，B(2,2)，A′(0,−1)，B′(4,2)，
∴A′B′=√32+42=5，AB=√22+42=2√5，
∴四边形AM′N′B的周长的最小值=AM′+M′N′+BN+AB=A′N′+1+B′N′+AB= 6+2√5，
故选：A．
如图，作AA′//MN，使得AA′=MN=1，作点B关于直线MN的对称点B′，连接A′B′交直线MN于N′，取点M′，使得M′N′=1，连接AM′，此时四边形AM′N′B′的周长最小．求出AB，A′B′，可得结论．
本题考查轴对称−最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】3
【解析】解：∵点A(2,−1)关于x 轴的对称点A 的坐标是(m,n)，
∴m =2，n =1，
故m +n =3．
故答案为：3．
直接利用关于x 轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数进而得出答案． 此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12.【答案】x ≥3
【解析】解：根据题意得：x −3≥0，
解得：x ≥3．
故答案是：x ≥3．
根据二次根式√a 有意义的条件是a ≥0，即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】<
【解析】解：由图知，甲种商品价格的波动幅度明显小于乙种商品价格的波动幅度， ∴S 甲2<S 乙2，
故答案为：<．
根据方差的意义，比较甲、乙两种商品的价格波动幅度即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值
的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】25
【解析】解：∵△ECD是由△BCD折叠的，
∴△ECD≌△BCD．
∴∠ECD=∠BCD．
∵CE//AB，
∴∠ECD=∠CDB．
∴∠CDB=∠BCD．
∵∠CDB+∠BCD+∠B=180°，∠B=50°，
∴∠DCB=180°−50°
=65°．
2
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−65°=25°．
故答案为：25．
由平行线的性质和折叠的性质得到∠CDB与∠BCD间关系，再由三角形的内角和定理先求出∠DCB，利用角的和差关系求出∠ACD的度数．
本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，掌握平行线的性质、折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
15.【答案】√2
【解析】解：如图，连接BP，过点C作CH⊥AB于H．
∵CA=CB=2，∠ACB=90°，
∴AB=√2AC=2√2，
∵CH⊥AB，
∴AH=BH，
∴CH =12AB =√2，
∵PR ⊥BE ，PQ ⊥BC ，
∴S △BCE =S △BPE +S △BCP ，
∴12⋅BE ⋅CH =12⋅BE ⋅PR +12⋅BC ⋅PQ ， ∵BC =BE ，
∴PQ +PR =CH =√2，
故答案为：√2．
如图，连接BP ，过点C 作CH ⊥AB 于H.解直角三角形求出CH ，利用面积法证明PQ +PR =CH ，即可解决问题．
本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)原式=√2√2
+(√3)2−22 =2+3−4
=1； (2)原式=6×√2
2
+√3−1−(√6+1)×√3 =3√2+√3−1−3√2−√3
=−1．
【解析】(1)先化简二次根式，利用平方差公式计算，再进一步计算即可；
(2)先化简二次根式、去绝对值符号、除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】解：(1){2x +3y =16①x −2y =1②
， ①−②×2得：7y =14，
解得：y =2，
把y =2代入②得：x −4=1，
解得：x =5，
则方程组的解为{x =5y =2
； (2)方程组整理得：{3x −10y =10①2x −5y =190②
， ②×2−①得：x =370，
把x =370代入①得：1110−10y =10，
解得：y =110，
则方程组的解为{x =370y =110
．
【解析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.【答案】B C 2 192
【解析】解：(1)∵直方图中，B 组的人数为12，最多，
∴男生的近视度众数在B 组，
男生总人数为：4+12+10+8+6=40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C 组，
∴男生的近视度中位数在C 组．
故答案为：B ，C ；
(2)女生近视度在E 组的百分比为：1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%， ∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生近视度在E 组的人数有：40×5%=2(人)．
故答案为：2；
(3)600×840+480×15%
=120+72
=192(人)．
答：估计近视度为150≤x <200的学生共约有192人．
故答案为：192．
(1)根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
(2)先求出女生身高在E 组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
(3)分别用男、女生的人数乘D 组的频率，计算即可得解．
本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法、正确读懂扇形图的信息、理解中位数和众数的概念是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设甲玩具的成本是x 元，乙玩具的成本是y 元，
依题意得：{x +y =3000.9×(1+60%)x +0.9×(1+50%)y −300=114
， 解得：{x =100y =200
． 答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元．
(2)设购进m 个甲玩具，n 个乙玩具，
依题意得：100m +200n =1000，
∴m =10−2n ．
又∵m ，n 均为正整数，
∴{m =8n =1或{m =6n =2或{m =4n =3或{m =2n =4
， ∴共有4种进货方案，
方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；
方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；
方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；
方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具．
【解析】(1)设甲玩具的成本是x 元，乙玩具的成本是y 元，根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，及两个玩具均按标价9折出售后共获利114元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m 个甲玩具，n 个乙玩具，根据总价=单价×数量，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出各进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
20.【答案】(1)证明：∵∠ACB =90°，CD 平分∠ACB ，
∴∠BCD =∠ACD =12∠ACB =12×90°=45°，
∵BD//AC，
∴∠D=∠ACD=45°，
∴∠D=∠BCD，
∴BC=BD；
(2)解：在Rt△ACB中，BC=√AB2−AC2=√62−32=3√3，
∴BD=3√3，
∵∠BCD=∠D=45°，
∴∠CBD=90°，
∴CD=√BC2+BD2=√(3√3)2+(3√3)2=3√6．
【解析】(1)证明∠D=∠BCD得到BC=BD；
(2)先利用勾股定理计算出BC，然后利用勾股定理计算出CD．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
21.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求作．
(2)如图，正方形DEFG即为所求作．
(3)如图，线段HI即为所求作．
(4)如图，△JKL即为所求作．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质以及面积为1，画出图形即可．
(2)画出边长为√13的正方形即可．
(3)利用勾3，4，弦5，画出线段即可．
(4)画出直角边分别为√2，2√2的直角三角形即可．
本题考查作图−应用与设计，勾股定理以及逆定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)过A 作AE ⊥BC 于E ，如图：
∵等腰Rt △ABC ，AE ⊥BC ，
∴BE =CE ，△ABE 是等腰直角三角形，
∵B 的坐标是(0,1)，C 的坐标是(2,1)，
∴BC//x 轴，BC =2，
∴BE =AE =1，
∴A(1,2)，
设直线AB 解析式为y =kx +b ，则{2=k +b 1=b
， 解得{k =1b =1
， ∴直线AB 解析式为y =x +1，
当直线l//AB 时，设直线l 解析式为y =x +c ，则−1=−1+c ，
解得c =0，
∴直线l 解析式为y =x ；
(2)如图：
设直线DC 解析式为y =mx +n ，则{
−1=−m +n 1=2m +n
， 解得{m =23n =−13
， ∴直线DC 解析式为y =23x −13， 设直线BD 解析式为y =sx +t ，则{−1=−s +t 1=t
， 解得{s =2t =1
，
∴直线BD 解析式为y =2x +1，
∵直线l ：y =kx +b 与△ABC 有公共点，
∴由图可得2
3≤k ≤2；
(3)如图：
∵B(0,1)，A(2,1)，
∴S △ABO =12OB ⋅x A =12×1×1=1
2，
过O 作AB 平行线，由(1)知直线AB 解析式为y =x +1，故所作平行线解析式为y =x ，当P 在直线y =x 上时，S △PAB =12，
而P 又在直线DC ：y =23x −13上，
由{y =x y =23x −13
得{x =−1y =−1， ∴此时P 1(−1,−1)，
根据对称性，若E 在y 轴上，且OB =BE ，则过E(0,2)作直线EF//AB ，当P 在直线EF 上时，S △PAB =12，
此时直线EF 为y =x +2，
由{y =x +2y =23x −13得{x =−7y =−5， ∴P 2(−7,−5)，
综上所述，P 坐标为(−1,−1)或(−7,−5)．
【解析】(1)过A 作AE ⊥BC 于E ，由等腰Rt △ABC ，AE ⊥BC ，B 的坐标是(0,1)，C 的坐标是(2,1)，可得A(1,2)，用待定系数法可求得直线AB 解析式为y =x +1，当直线l//AB 时，设直线l 解析式为y =x +c ，即可达到直线l 解析式为y =x ；
(2)求出直线DC 解析式为y =23x −13和直线BD 解析式为y =2x +1，数形结合可得，直线l ：y =kx +b 与△ABC 有公共点，23≤k ≤2；
(3观察可得S △ABO =12OB ⋅x A =12，故过O 作AB 平行线y =x ，当P 在直线y =x 上时，
S △PAB =12，由{y =x
y =23x −13得P 1(−1,−1)，根据对称性，过E(0,2)作直线EF//AB ，当
P 在直线EF 上时，S △PAB =12，此时直线EF 为y =x +2，由{y =x +2y =23x −13得P 2(−7,−5)． 本题考查一次函数综合应用，涉及等腰直角三角形、互相平行的两直线解析式、三角形面积等，解题的关键是由S △ABO =12，过O 和E(0,2)作AB 平行线，构造同底等高的三角形．。