2021-2022学年江西省宜春市丰城田家炳高级中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年江西省宜春市丰城田家炳高级中学高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果x∈R，那么函数f（x）=cos2x+sinx的最小值为（）
A．1B． C． D．﹣1
参考答案：
D
【考点】三角函数的最值．
【分析】化简函数f（x），利用x∈R时，sinx∈[﹣1，1]，即可求出函数f（x）的最小值．
【解答】解：函数f（x）=cos2x+sinx
=1﹣sin2x+sinx
=﹣+，
当x∈R时，sinx∈[﹣1，1]，
所以sinx=﹣1时，函数f（x）取得最小值为﹣1．
故选：D．
2. ，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
3. 下列函数中哪个与函数相同（）
A. B. C. D.
参考答案：
B 4. 设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集
是（）。

A． B．
C． D．
参考答案：
D
5. 与函数有相同图像的一个函数是
A. B.其中
C. D.其中
参考答案：
D
略
6. 设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=( )
A．（﹣4，3）B．（﹣4，2] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3）
参考答案：
B
【考点】区间与无穷的概念；交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，
∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，
故选B．
【点评】本题考查交集及其去运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
7. 已知，关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的解，则满足b，c的条件是( )
A．b＜0，c＜0 B．b＜0，c=0 C．b＞0，c=0 D．b＞0，c＜0
参考答案：
B
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】作出是f（x）的图象，利用换元法结合一元二次方程根的取值和分布关系进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
设f（x）=t，当t=0时，方程有3个根；
当t＞0时，方程有4个根，
当t＜0时，方程无解
∴要使关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c=0
等价为t2+bt+c=0有一个正实数根和一个等于零的根．
∴c=0，
此时t2+bt=t（t+b）=0，
则另外一个根为t=﹣b，
即f（x）=﹣b＞0，
即b＜0，c=0．
故选：B．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．综合性较强，难度较大．
8. 已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若
的保值区间是，则的值为（）
A．1 B． C．
D．
参考答案：
A
9. 的值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D。

10. 函数的图象可由函数的图象如何变换得到（）
(A) 向左平移个单位长度得到(B) 向右平移个单位长度得到
(C) 向左平移个单位长度得到(D) 向右平移个单位长度得到
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等差数列{a n}中，a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则该数列的公差为．
参考答案：
3
略
12. 实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最小值为．
参考答案：
﹣
【考点】7F：基本不等式．
【分析】由x2+y2+xy=1，可得（x+y）2=1+xy≤1+，即可得出．
【解答】解：由x2+y2+xy=1，可得（x+y）2=1+xy≤1+，
解得：x+y≥﹣，当且仅当x=y=﹣时取等号．
故答案为：﹣．
13. 反函数是_____________________________。

参考答案：
14. sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是__________．
参考答案：
sin2＞sin1＞sin3＞sin4
考点：正弦函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据正弦函数的图象和性质结合三角函数的诱导公式和函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵1是第一象限，2，3是第二象限，4是第三象限，
∴sin4＜0，sin2＞sin3＞0，
∵sin1=sin（π﹣1），
且2＜π﹣1＜3，
∴sin2＞sin（π﹣1）＞sin3，
即sin2＞sin1＞sin3＞sin4，
故答案为：sin2＞sin1＞sin3＞sin4
点评：本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及正弦函数的单调性是解决本题的关键
15. 如图，在中，, , 是中点, 若, 则
参考答案：
1
16. △ABC中，，则△ABC的面积等于______________参考答案：
17. 数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，其前n项和为S n，则
（1）a1+a3+a5+…+a99= ；
（2）S4n= ．
参考答案：
（1）50；（2）8n2+2n．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】（1）由已知数列递推式可得a2n+1+a2n﹣1=2．分别取n=1、3、5、…、49，可得a1+a3+a5+…+a99的值；
（2）由已知数列递推式结合（1）可得（k∈N*）．设b n=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣
1+a4n=16n﹣6（n∈N *），则{b
n}为首项为10，公差为16的等差数列．由此求得S4n=b1+b2+…+b n ．
【解答】解：（1）∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，
∴a2n+1+a2n=4n﹣1，a2n﹣a2n﹣1=4n﹣3．
两式相减得a2n+1+a2n﹣1=2．
则a3+a1=2，a7+a5=2，…，a99+a97=2，
∴a1+a3+a5+…+a99=25×2=50；
（2）由（1）得，a3=2﹣a1，a2n+3+a2n+1=2，
∴a2n+3=2﹣a2n+1=2﹣（2﹣a2n﹣1）=a2n﹣1（n∈N*）．
当n=2k（k∈N*）时，a4k+3=a4k﹣1=…=a3=2﹣a1；
当n=2k﹣1（k∈N*）时，a4k+1=a4k﹣3=…=a1．
由已知可得a4k﹣1+a4k﹣2=8k﹣5，a4k﹣a4k﹣1=8k﹣3（k∈N*）．
∴a4k﹣2=8k﹣5﹣a4k﹣1=8k﹣7+a1，a4k=8k﹣3+a4k﹣1=8k﹣1﹣a1．
∴（k∈N*）．
设b n=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=16n﹣6（n∈N*），
则{b n}为首项为10，公差为16的等差数列．
∴S4n=b1+b2+…+b n=．
故答案为：（1）50；（2）8n2+2n．
【点评】本题考查数列递推式，考查了逻辑思维、推理论证以及计算能力，考查等差数列前n项和的求法，题目难度较大．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题8分）
对划艇运动员甲、乙二人在相同条件下进行6次测试，测得他们的速度的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31
乙：33，29，38，34，28，36
根据以上数据判断，谁更优秀。

参考答案：
19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
参考答案：
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．
（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15
户，月
平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．
【解答】（本小题10分）
解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得
（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1
得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）
（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）
因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5
得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）
抽取比例==，
所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
20. 已知为单位向量，||=．
（1）若∥，求?；
（2）若、的夹角为45°，求|+|；
（3）若若﹣与垂直，求若与的夹角．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用．
【分析】（1）讨论当，夹角为0°时，当，夹角为180°时，由向量的数量积的定义，计算即可得到所求值；（2）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
（3）运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）若∥，可得
当，夹角为0°时， ?=；
当，夹角为180°时， ?=﹣；
（2）?=||?||?cos＜，＞=1??=1，
则|+|2=||2+2?+||2=1+2+2=5，
即|+|=；
（3）由（﹣）?=0得2=?，设，夹角为α，
则cosα===，
所以，夹角为45°．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和模的求法，注意讨论向量同向或反向，考查向量的夹角的求法，注意运用夹角公式，属于基础题．
21. 已知公差不为零的等差数列{a n}中，，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）解方程组即得，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的
前项和．
【详解】（Ⅰ）由题意：,
化简得，因为数列的公差不为零，，
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
故数列的前项和．
【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22. （12分）已知向量=（cos（﹣θ），sin（﹣θ）），
=．
（1）求证：．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=﹣k+t，满足，试求此时的最小值．
参考答案：
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数中的恒等变换应用．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）利用向量的数量积公式求出，利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0，利用向量垂直的充要条件得证．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简方程，将方程中的k用t表示，代入，利用二次函数最值的求法求出最小值．解答：（1）证明∵=cos（﹣θ）?cos（﹣θ）+sin（﹣θ）?sin=sinθcosθ﹣sinθcosθ=0．
∴．
（2）解由得=0，
即?（﹣k+t）=0，
∴﹣k+（t3+3t）+=0，
∴﹣k+（t3+3t）=0．
又=1，=1，
∴﹣k+t3+3t=0，
∴k=t3+3t．
∴==t2+t+3=2+．
故当t=﹣时，有最小值．
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法．。