2019年广东省惠州市博罗县杨侨中学高三数学理模拟试卷含解析

2019年广东省惠州市博罗县杨侨中学高三数学理模拟
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 计算：=（）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
参考答案：
A
【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．
【解答】解：===2，
故选A．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，
两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．
2. 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同
一个球面上，则该球的体积为
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
六棱柱的对角线长为：，球的体积为：V＝＝
3. 从1,2,3,4这四个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
基本事件总数n6，它们之和为偶数包含的基本事件个数m2，由此能求出它们之和为偶数的概率．
【详解】从1，2，3，4这4个数字中随机选择两个不同的数字，
基本事件总数n6，
它们之和为偶数包含的基本事件个数m2，
∴它们之和为偶数的概率为p．
故选：B．
【点睛】本题概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
4. 已知正项数列{a n}的前n项的乘积等于T n=（n∈N*），b n=log2a n，则数列{b n}的前n项和S n中最大值是（）
A．S6 B．S5 C．S4 D．S3
参考答案：
D
略
5. 设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1
＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．
【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a，
所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1．
因为∠F1MF2=90°，
所以，即，即，
因为，
所以．
故选：B．
6. 函数是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
参考答案：
A
7. 设z=1﹣i（i为虚数单位），若复数﹣z2在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）
A．B．2 C．D．
参考答案：
D
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．
【分析】把z=1﹣i代入﹣z2，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数﹣z2在复平面内对应的点的坐标，的的坐标，再由向量模的公式求解．
【解答】解：∵z=1﹣i，∴﹣z2=，
∴复数﹣z2在复平面内对应的点的坐标为（1，3），向量为=（1，3），
则||=．
故选：D．
8. 设集合A＝｛x|－1≤x≤2｝，B＝｛x|x2－4x＞0，｝，则A∩（C R B）＝（）
A． B．［0，2］ C．［1，4］ D．［0，4］
参考答案：
B
略
9. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当
时，，若函数至少6个零点，则取值范围是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
可得，即：，解得=．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的最大值为.
参考答案：
12. 在矩形中，为边的中点，若在该矩形内随机取一点，则取到的点与点的距离大于概率为．
参考答案：
试题分析：由题设所求质点应在矩形内且在以为圆心半径为的半圆外.由于矩形的面积为,以为圆心半径为的半圆的面积为,所以满足条件的概率为
.
考点：几何概型的计算公式及运用．
13. 设函数是偶函数，当时，，则的大小为（按由小到大的顺序）
略
14. 在△ABC中，AB＝3，BC＝5，CA＝7，点D是边AC上的点，且AD＝DC，则·＝________.
参考答案：
-
15. 已知数列为等差数列，且，，则
____________.
参考答案：
略
16. 点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为．
参考答案：
【考点】弧长公式．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；三角函数的求值．
【分析】由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．
【解答】解：点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，
所以Q（cos，sin），所以Q．
故答案为．
【点评】本题通过角的终边的旋转，求出角的大小是解题的关键，考查计算能力，注意旋转方向．
17. 若实数满足,,则的取值范围是。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且∠ACB=π．
（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
参考答案：
考点：正弦定理；等差数列的性质．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用a，b，c的等差关系，用c分别表示出a和b，利用余弦定理建立等式求得c．
（Ⅱ）利用正弦定理用θ的三角函数来表示出AC，BC，表示出三角形ABC的周长，化简整理后利用三角函数的性质求得周长的最大值．
解答：解（Ⅰ）∵a、b、c成等差数列，且公差为2，
∴a=c﹣4、b=c﹣2．
又∵，
∴，
∴，
∴，
恒等变形得c2﹣9c+14=0，
解得c=7或c=2．
又∵c＞4，
∴c=7．
（Ⅱ）在△ABC中，，
∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）
=|AC|+|BC|+|AB|===
，
又∵，
∴，
∴当即时，f（θ）取得最大值．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．学生熟练应用正弦和余弦定理的公式及变形公式是解题的基础．
19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=．
（Ⅰ）若2sinB+2sin（A﹣C）=，求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2，c=2，求△ABC的周长．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意和内角和定理表示出B，代入已知的式子利用两角差的正弦公式化简，求出sinA的值，由内角的范围求出角A的值；
（Ⅱ）由题意和三角形的面积公式列出方程求出ab的值，由余弦定理列出方程化简，即可求出a+b的值，再求出△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）由C=得A+B=π﹣C=，则B=﹣A，
因为2sinB+2sin（A﹣C）=，
所以2sin（﹣A）+2sin（A﹣）=，
则2（cosA+sinA）+2（sinA﹣cosA）=，
化简得，sinA=，
由0＜A＜π得A=或，
因为C=，所以；…
（Ⅱ）以为C=，△ABC的面积为2，
所以S=，则ab=8，
因为c=2，所以由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
则12=a2+b2﹣ab，即a2+b2=12+8=20，
所以a+b===6，
即△ABC的周长是．…
【点评】本题考查余弦定理，两角差的正弦公式，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题．
20. 已知数列满足，且，设.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
.
所以
…………………………………………………………………………13分
考点：（1）等比数列的性质；（2）数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，对数的运算以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消发类似于
，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等，当数列的通项公式中含有绝对值时，一定要考虑正负，在本题中分为和两种情况，在结合分组求和得解.
21. 已知函数f(x)=ax--2lnx
(1)若函数f(x)在其定义域内为递增函数，求实数a的取值函数；
（2）若函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为0，并且
.①若a1≥3，试证明;
②若a1=4，试比较与的大小，并说明你的理由。

参考答案：
21.解：(1)由f(x)可得f(x)=, ∴f(x)≥0在（0，+∞）恒成立
∴ax2-2x+a≥0恒成立，∴a≥在（0，+∞）恒成立
故a≥1--------------------------------------6（2）∵函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为0
∴f（1）=0，即a+a-2=0，解得a=1
∴f（x）=
∴ =
=---------------------------8
1用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立。

（ⅱ）假设n=k时，不等式成立，即a k≥k+2，那么a k-k≥2＞0，
∴a k+1=a k（a k-k）+1≥2（k+2）+1=（k+3）+k+2＞k+3，
综上述可知，对于所有n≥1都有
②及①知对于k≥2，有
∴------------------------------10∵ a1=4，∴，于是当k≥2时，
，
∴≤
=＜
略
22. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，且，
.
（I）求证：；
（II）若，求点到平面的距离。

参考答案：
(Ⅰ) 证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，且，∴和为两个全等的等边三角形，则
∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)
.
试题分析：（1）首先作出辅助线即取的中点，连接，然后由已知条件易得和
为两个全等的等边三角形，于是有，进而由线面垂直的判定定理可知所证结
论成立；(Ⅱ)首先根据已知边长的关系可得出，进而得出平面；
分别在等腰△PBD
和△PBD中计算其各自的面积，然后运用等体积法即可得出所求点到平面的距离即可.
试题解析：(Ⅰ) 证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，
且，∴和为两个全等的等边三角形，则
∴平面
，又平面，∴；
(Ⅱ)在△PBE中，由已知得，，则，所以，即，又，∴平面；在等腰△PBD中，
，所以△PBD面积为；又△BCD面积为，设点C 到平面PBD的距离为h，由等体积即V C－PBD＝V P－BCD得：，
所以，所以点点到平面的距离为．
考点：1、直线平面垂直的判定定理；2、点到平面的距离的求法；。