2017-2018学年高三数学苏教版必修4学案：2.2.1 向量的加法

2.2　向量的线性运算
2.2.1　向量的加法
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点)
2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　向量的加法
阅读教材P63第1,2自然段及P64思考前的有关内容，完成下列问题．
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算叫做向量的加法．
图2­2­1
2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则：
已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则向量叫OA → AB → OB
→ 做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝＋＝.
OA → AB → OB
→
图2­2­2
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线的非零向量a ，b ，作＝a ，＝b ，以OA ，OC 为邻边OA → OC
→ 作▱OABC ，则以O 为起点的对角线上的向量＝a ＋b ，如图．这个法则叫做OB
→ 向量加法的平行四边形法则．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( )(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( )
(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( )
【解析】　(1)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(2)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×教材整理2　向量加法的运算律阅读教材P 63，完成下列问题．(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .
(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(3)a ＋00a ＝a .＝＋(4)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.
1．化简：＋＋＋＝________.AO → OB → CD → BC
→ 【解析】　(＋)＋＋AO → OB → CD → BC
→ ＝(＋)＋AB → BC → CD → ＝＋AC → CD → ＝AD →
【答案】　AD
→
2.＋＋＝________.
AB → BC → CA
→ 【解析】　＋＋＝＋＝0.AB → BC → CA → AC → CA
→ 【答案】　0
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　
[小组合作型]
向量的加法运算
　(1)在正六边形ABCDEF 中，＝a ，＝b ，则＝________，
AB → AF → AC
→ ＝________，＝________.
AD → AE
→
(2)＋＋＋＋＝________.
AB → DF → CD → BC → FA
→ 【精彩点拨】　(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．(2)由向量加法的三角形法则求解．
【自主解答】　(1)如图，连结FC 交AD 于点O ，连结OB ，由平面几何知识得四边形ABOF ，四边形ABCO 均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a ＋b .AO → AB → AF
→ 在平行四边形ABCO 中，
＝＋＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b .＝2＝2a ＋2b .
AC → AB → AO → AD → AO
→ 而＝＝a ＋b ，
FE → AO
→ 由三角形法则得：＝＋＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b .AE → AF → FE
→ (2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.AB → DF → CD → BC → FA → AB → BC → CD → DF → FA → 【答案】　(1)2a ＋b 2a ＋2b a ＋2b (2)0
1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.
2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
[再练一题]
1．四边形ABCD 是边长为1的正方形，＝a ，＝b ，＝c ，作向量AB → BC → AC
→ a ＋b ＋c ，并求|a ＋b ＋c |.
【导学号：06460042】
【解】　如图，延长AC 到E ，使AC ＝CE ，则＝，CE → AC
→ ∴a ＋b ＋c ＝＋＋＝，AB → BC → CE → AE
→ 即为所求作的向量．
AE
→ ∵四边形ABCD 是边长为1的正方形，∴||＝，AC
→ 2∴||＝2||＝2.AE → AC
→ 2故|a ＋b ＋c |＝2.
2利用向量证明几何问题
　在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F ，E ，使
BE ＝DF (如图2­2­3)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．
图2­2­3
【精彩点拨】　要证AECF 是平行四边形，只要证＝.AE → FC
→ 【自主解答】　因为＝＋，＝＋，
AE → AB → BE → FC → FD → DC
→
又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以＝.AB → DC
→ 因为FD ＝BE ，且与的方向相同，所以＝.
FD → BE → FD → BE
→ 所以＋＝＋，即＝，所以AE 与FC 平行且相等，所以四AB → BE → FD → DC → AE → FC
→ 边形AECF 是平行四边形．
用向量证明几何问题的一般步骤：
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量；(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.
[再练一题]
2．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且＝，＝D ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
AO → OC → OB → O
→
【证明】　如图，
＝＋，＝＋，AB → AO → OB → DC → DO → OC → 又∵＝，＝，AO → OC → OB → DO → ∴＝.
AB → DC → 即AB ∥CD ，且||＝||，AB → DC
→ ∴四边形ABCD 是平行四边形．
[探究共研型]
向量加法在实际问题中的应用
探究1　速度、位移等物理量是向量吗？为什么？
【提示】　是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．
探究2　利用向量加法解决实际问题的关键是什么？
【提示】　关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题．
　已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问：(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
【精彩点拨】　(1)结合向量共线知识求解；(2)借助三角形的边角关系求解．
【自主解答】　(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km /h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度．MA → MN
→ 设MC ⊥MA ，
||＝||＝10，∠CMN ＝30°.MA → MB
→ ∵＋＝，MA → MB → MN → ∴四边形MANB 为菱形．
则∠AMN ＝60°，∴△AMN 为等边三角形．
在△MNB 中，||＝||＝||＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，BN → MN → MB
→ ∴∠CMB ＝30°，
所以小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西
30°.
解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答
.
[再练一题]
3．小雨滴在无风时以4 m /s 的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以3 m/s 的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？(提示：
tan 37°＝)
3
4【解】　如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，OA → OB
→ 以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则就是小雨滴实际飞行的速度．
OC
→ 在Rt △OAC 中，||＝4 m/s ，||＝3 m/s ，OA → AC
→ 所以||＝＝5 m/s.OC
→
|OA →
|2＋|AC → |2
且tan ∠AOC ＝＝，即∠AOC ≈37°.
|AC →
||OA → |
34所以小雨滴实际飞行速度为5 m/s ，方向约为南偏东37°.
[构建·体系
]
1．在△ABC 中，＝a ，＝b ，则a ＋b ＝________.AB → BC
→ 【解析】　a ＋b ＝＋＝.AB → BC → AC
→ 【答案】　AC
→
2．如图2­2­4所示，在平行四边形ABCD 中，＋＋＝________.(填序号)
BC → DC → BA
→
图2­2­4
①；②；③；④.
AD → DB → BC → CB → 【解析】　∵四边形ABCD 为平行四边形，∴＝，
BC → AD →
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.BC → DC → BA → AD → DC → BA → AC → BA → BC → 【答案】　③
3．在四边形中，若＝＋，则四边形ABCD 一定是________．AC → AB → AD
→ 【解析】　结合平行四边形法则可知，ABCD 一定是平行四边形．【答案】　平行四边形4．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5
km ”，则a ＋b 表示
________.
【导学号：06460043】
【解析】　如图所示，
＝a ＋b ，||＝5，||＝5，且AB ⊥BC ，则||＝5，∠BAC ＝45°.AC → AB → BC → AC
→
2【答案】　向东南走5 km
25．如图2­2­5所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .
图2­2­5
求证：＋＝＋.AB → AC → AP → AQ → 【证明】　∵＝＋，AP → AB → BP
→ ＝＋，
AQ → AC → CQ → ∴＋＝＋＋＋.
AP → AQ → AB → AC → BP → CQ →
又∵BP ＝QC 且与方向相反， ∴＋＝0，∴＋＝＋，BP → CQ → AP → AQ → AB → AC → 即＋＝＋.
AB → AC → AP → AQ →
我还有这些不足：
(1)　(2)　
我的课下提升方案：(1)　(2)　
学业分层测评(十五)　向量的加法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若a 与b 是互为相反向量，则a ＋b ＝________.【解析】　由题意可知，a ＋b ＝0.【答案】　0
2．下列等式不成立的是________．①0a ＝a ；②a ＋b ＝b ＋a ；＋③＋＝2；④＋＝.
AB → BA → AB → AB → BC → AC →
【解析】　∵，是互为相反向量， ∴＋＝0，故③错误．AB → BA
→ 【答案】　③
3．(2016·南通高一检测)在▱ABCD 中，||＝3，||＝4，则：AB → BC
→ (1)||________7(填“＞”“＜”或“≥”“≤”)；AC
→ (2)若||＝5，则此四边形为________．AC
→
【解析】　(1)三角形两边之和大于第三边；
(2)由||2＋||2＝||2，可知△ABC 为直角三角形，所以应填“矩形”．AB → BC → AC
→ 【答案】　(1)＜　(2)矩形
4．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是________．
图2­2­6
①＝，＝；AB → CD → BC → AD → ②＋＝；AD → OD → DA → ③＋＝＋；AO → OD → AC → CD → ④＋＋＝.
AB → BC → CD → DA → 【解析】　因为＋＝，＋＝，AO → OD → AD → AC → CD → AD
→ 所以＋＝＋.
AO → OD → AC → CD →
【答案】　③
5．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图2­2­7所示，化简下列各式：
图2­2­7
(1)＋＝________；DE → EA
→ (2)＋＋＝________；BE → AB → EA
→ (3)＋＋＝________；DE → CB → EC
→ (4)＋＋＋＝________.BA → DB → EC → AE
→ 【解析】　(1)＋＝；
DE → EA → DA
→ (2)＋＋＝＋＋＝＋＝0；BE → AB → EA → EA → AB → BE → EB → BE
→ (3)＋＋＝＋＋＝；
DE → CB → EC → DE → EC → CB → DB → (4)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝.BA → DB → EC → AE → BA → AE → EC → DB → BC → DB → DC → 【答案】　(1)　(2)0　(3)　(4)DA → DB → DC
→
6．某人在静水中游泳，速度为4 km /h.如要他向垂直于河对岸的方向游3向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿________方向前进，速度为
________．
【解析】　如图所示，∵OB ＝4，OA ＝4，3∴OC ＝8，∴∠COA ＝60°.【答案】　与水流方向成60°8 km/h(答案不唯一)
7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
AB → BC → CD
→
【导学号：06460044】
【解析】　在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABD 是等边三角形，则BD ＝1，则|＋|＝||＝1.
BC → CD → BD
→ 【答案】　1
8．(2016·苏州高一检测)已知△ABC 是正三角形，给出下列等式：①|＋|＝|＋|；AB → BC → BC → CA → ②|＋|＝|＋|；AC → CB → BA → BC → ③|＋|＝|＋|；AB → AC → CA → CB → ④|＋＋|＝|＋＋|.
AB → BC → AC → CB → BA → CA → 其中正确的有________．(写出所有正确等式的序号)【解析】　＋＝，＋＝，AB → BC → AC → BC → CA → BA
→ 而||＝||，故①正确；AC → BA
→ ||≠|＋|，故②不正确；AB → BA → BC
→ 画图(图略)可知③，④正确．【答案】　①③④二、解答题
9．如图2­2­8所示，两个力F 1和F 2同时作用在一个质点O 上，且F 1的大小为3 N ，F 2的大小为4 N ，且∠AOB ＝90°，试作出F 1和F 2的合力，并求出合力的大小．
图2­2­8
【解】　如图所示，表示力F 1，表示力F 2，以OA → OB
→ OA ，OB 为邻边作▱OACB ，
则是力F 1和F 2的合力．
OC
→ 在△OAC 中，||＝3，||＝||＝4，且OA ⊥AC ，则OA → AC → OB
→ ||＝＝5，OC
→
|OA →
|2＋|AC → |2即合力的大小为5 N.
10．已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点．求证：＋＝＋.
EF → EF → AB → DC →
【证明】　如图所示，在四边形CDEF 中，
＋＋＋＝0，
EF → FC → CD → DE
→ ∴＝－－－EF → FC → CD → DE → ＝＋＋.①CF → DC → ED → 在四边形ABFE 中，
＋＋＋＝0，∴＝＋＋.②EF → FB → BA → AE → EF → BF → AB → EA → ①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)EF → EF → CF → DC → ED → BF → AB → EA → CF → BF → ED → EA → ＋(＋)．
AB → DC → ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，
∴＋＝0，＋＝0，CF → BF → ED → EA
→ ∴＋＝＋.
EF → EF → AB → DC → [能力提升]
1．(2016·南京高一检测)下列命题中正确命题的个数为________．①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；
②△ABC 中，必有＋＋＝0；
AB → BC → CA
→ ③若＋＋＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；AB → BC → CA
→ ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．
【解析】　①假命题，当a ＋b ＝0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A ，B ，C 三点共线时，也可以有＋＋＝0；AB → BC → CA
→ ④假命题，只有当a 与b 同向时才相等．【答案】　1
2．若|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的取值范围是________．【解析】　当a 与b 同向时，|a ＋b |取最大值13；当a 与b 反向时，|a ＋b |取最小值3.【答案】　[3,13]
3．设a ＝(＋)＋(＋)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正AB → CD → BC → DA
→ 确的序号是________．
①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.【解析】　∵a ＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)AB → CD → BC → DA → AB → BC → CD → DA
→ ＝＋＝0，∴①③⑤正确．
AC → CA
→
【答案】　①③⑤
4．如图2­2­9所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，||＝||＝||，求＋OA → OB → OC → OA
→ ＋.
OB → OC →
图2­2­9
【解】　如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知＋＝O .
OA → OB → D
→ 由||＝||，∠AOB ＝120°，OA → OB
→ 知∠BOD ＝60°，||＝||.OB → OD
→ 又∠COB ＝120°，且||＝||，OB → OC
→ ∴＋＝0，OD → OC
→ 故＋＋＝0.
OA → OB → OC →。