【新】2019-2020学年度高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案
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想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能
力和解决实际问题的能力。
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的
数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，
分值 5~9 分。
命
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三
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想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
|a| 的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘 积。
（4）向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系： a a a2 | a |2 。 ②乘法公式成立
在课堂上 老师的 对文本 的理解 老师的 理解,老 师的知 识和生 活经验 ,学生 可能有 自己的 理解,站 在一个 小角度 理解文 本,也许 会更好 的理解 学生,所 以学生 敢在教 室里的 意见。 这些课 堂活动 可以刺 激学生 的思维 ,锻炼 他们的 能力。 所以,学 生应该 更多,提 问,讨论 ,使各 种课堂 活动,精 彩纷呈 。
题 角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
走
预测 2017 年高考：
向
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度
问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算
和性质；
教
学 多媒体课件准备来自在课堂上 老师的 对文本 的理解 老师的 理解,老 师的知 识和生 活经验 ,学生 可能有 自己的 理解,站 在一个 小角度 理解文 本,也许 会更好 的理解 学生,所 以学生 敢在教 室里的 意见。 这些课 堂活动 可以刺 激学生 的思维 ,锻炼 他们的 能力。 所以,学 生应该 更多,提 问,讨论 ,使各 种课堂 活动,精 彩纷呈 。
a b a b a2 b 2 a 2 b 2 ； a b 2 a2 2a b b 2 a 2 2a b b 2 ；
③平面向量数量积的运算律 交换律成立： a b b a ；
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想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
2 （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 教 0≤≤180。 学 过 程
C （2）数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）。规定 0 a 0 ； 向量的投影：︱ b ︱cos = a b ∈R，称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影
1．平面向量的数量积
①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
教
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
学
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂
目 直关系。
标
2．向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际
教学资料参考范本
【新】2019-2020 学年度高三数学一轮复习第 15 讲平面向量 的数量积及应用教案
撰写人：__________________ 部 门：__________________ 时 间：__________________
在课堂上 老师的 对文本 的理解 老师的 理解,老 师的知 识和生 活经验 ,学生 可能有 自己的 理解,站 在一个 小角度 理解文 本,也许 会更好 的理解 学生,所 以学生 敢在教 室里的 意见。 这些课 堂活动 可以刺 激学生 的思维 ,锻炼 他们的 能力。 所以,学 生应该 更多,提 问,讨论 ,使各 种课堂 活动,精 彩纷呈 。
一．知识梳理： 1．向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a，作 OA ＝ a ， OB ＝ b ，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π） 叫 a 与 b 的夹角； 说明：（1）当 θ＝０时， a 与 b 同向； （2）当 θ＝π 时， a 与 b 反向； （3）当 θ＝ 时， a 与 b 垂直，记 a ⊥ b ；
想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能
力和解决实际问题的能力。
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的
数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，
分值 5~9 分。
命
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三
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想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
|a| 的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘 积。
（4）向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系： a a a2 | a |2 。 ②乘法公式成立
在课堂上 老师的 对文本 的理解 老师的 理解,老 师的知 识和生 活经验 ,学生 可能有 自己的 理解,站 在一个 小角度 理解文 本,也许 会更好 的理解 学生,所 以学生 敢在教 室里的 意见。 这些课 堂活动 可以刺 激学生 的思维 ,锻炼 他们的 能力。 所以,学 生应该 更多,提 问,讨论 ,使各 种课堂 活动,精 彩纷呈 。
题 角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
走
预测 2017 年高考：
向
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度
问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算
和性质；
教
学 多媒体课件准备来自在课堂上 老师的 对文本 的理解 老师的 理解,老 师的知 识和生 活经验 ,学生 可能有 自己的 理解,站 在一个 小角度 理解文 本,也许 会更好 的理解 学生,所 以学生 敢在教 室里的 意见。 这些课 堂活动 可以刺 激学生 的思维 ,锻炼 他们的 能力。 所以,学 生应该 更多,提 问,讨论 ,使各 种课堂 活动,精 彩纷呈 。
a b a b a2 b 2 a 2 b 2 ； a b 2 a2 2a b b 2 a 2 2a b b 2 ；
③平面向量数量积的运算律 交换律成立： a b b a ；
页码 / 总页数
想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
2 （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 教 0≤≤180。 学 过 程
C （2）数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）。规定 0 a 0 ； 向量的投影：︱ b ︱cos = a b ∈R，称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影
1．平面向量的数量积
①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
教
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
学
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂
目 直关系。
标
2．向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际
教学资料参考范本
【新】2019-2020 学年度高三数学一轮复习第 15 讲平面向量 的数量积及应用教案
撰写人：__________________ 部 门：__________________ 时 间：__________________
在课堂上 老师的 对文本 的理解 老师的 理解,老 师的知 识和生 活经验 ,学生 可能有 自己的 理解,站 在一个 小角度 理解文 本,也许 会更好 的理解 学生,所 以学生 敢在教 室里的 意见。 这些课 堂活动 可以刺 激学生 的思维 ,锻炼 他们的 能力。 所以,学 生应该 更多,提 问,讨论 ,使各 种课堂 活动,精 彩纷呈 。
一．知识梳理： 1．向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a，作 OA ＝ a ， OB ＝ b ，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π） 叫 a 与 b 的夹角； 说明：（1）当 θ＝０时， a 与 b 同向； （2）当 θ＝π 时， a 与 b 反向； （3）当 θ＝ 时， a 与 b 垂直，记 a ⊥ b ；
想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。