2013高考数学考点06 指数函数

考点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数
【高考再现】
热点一 指数函数、对数函数
2.（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的 定义域;则A
B =
（ ）
A ．(1,2)
B ．[1,2]
C ．[,)12
D ．(,]12
【答案】D
【解析】{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A
B =+∞⇒=
3.（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12
x
y e =
上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为 （ ）
A ．1ln 2-
B ．2(1ln 2)-
C ．1ln 2+
D ．2(1ln 2)+
4.（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,
且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.
5.（2012年高考（北京文））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,
22()()f a f b +=_________.
【答案】2 【解析】
()lg ,()1f x x f ab ==,lg()1ab ∴=，
2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==.
6.（2012年高考（上海理））已知函数
||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函
数,则a 的取值范围是_________ .
7.（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f .
(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;
(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数
)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.
【解析】（1）由220
10
x x ->⎧⎨
+>⎩，得11x -<<，
由220lg(22)lg(1)lg
11x x x x -<--+=<+，得221101
x
x -<<+……….3分 因为10x +>，所以21
12210(1),33
x x x x +<-<+∴-<<，
由11
213
3x x -<<⎧⎪
⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<……………………………………….6分
【方法总结】
热点二 幂函数、二次函数
7.（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式2
20x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的
取值范围是_________. 【答案】(0,8)
【解析】因为不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a <<. 8.（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x
g x =-.若
,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.
【答案】(4,0)-
9.（2012年高考（山东理））设函数21
(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x
=
=+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是
（ ）
A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>
B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<
C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<
D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>
10.（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a b
a b
≤>,设
()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的
实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是
_________________.
11.（2012年高考（北京理））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x
g x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.
40m -<<,又由于条件2的限制,可分析得出(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负,因此就需要在这个
范围内()g x 有取得正数的可能,即4-应该比12,x x 两个根中较小的大,当(1,0)m ∈-时,34m --<-,解得交集为空,舍去.当1m =-时,两个根同为24->-,也舍去,当
(4,1)m ∈--时,242m m <-⇒<-,综上所述(4,2)m ∈--.
【方法总结】
【考点剖析】
一．明确要求
二．命题方向
1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．
2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．
3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．
4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．
5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．
6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 三．规律总结
1.指数规律总结
两个防范
(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点
画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，1a . 2.对数函数规律总结
三个关键点
画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.
四种方法
对数值的大小比较方法
(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较． 3.幂函数的规律总结 五个代表
函数y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝x 3
，y ＝x 1
2，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的
代表． 两种方法
【基础练习】
1.(教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b
【答案】 C
【解析】 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1.
2.（经典习题）若函数f (x )＝1
2x
＋1
，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值
D ．单调递增有最大值
3.(教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±
1
2
4．(经典习题)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4
解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2
由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≠0，
b ＝－2，2a 2＝4.
因此f (x )＝－2x 2＋4.
5.(经典习题)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
15log 30.3，则( )．
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞a ＞b
【名校模拟】
一．基础扎实
1. (北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)若2log 3a =，3log 2b =
，
4log 6c =，则下列结论正确的是（ ）
（A ）b a c <<（B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）b c a << 【答案】D
【解析】32log (1,)a =∈+∞，2
3log (0,1)b =∈，
26666
42221log log log log (1,)2
c ===
=∈+∞ 而36
22log log >，∴a>c>b ∴故选D
2. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设
()
()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
4.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考文）若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是
A. 2a b ab +<
B. 1
12
2
a b >
C. ln a ＞ln b
D. 0.30.3a b <
【解析】A 根据指数幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B 、C 、D 中的表达式成立，不成立即为选项A 中的表达式。

4.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，
()()f a f b =，则a b +的取值范围是 （ ）
(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞
5. (仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题文)设,2log ,3log ,log 323===c b a π则
A 、c b a >>
B 、b c a >>
C 、c a b >>
D 、a c b >>
答案：A
解：23323log 2
1,log 21,1log ==>=c b a π 1log 0,1log 2
3
32<<> 2
10,121<<<<∴c b 故c b a >>
6．(湖北省八校2012届高三第一次联考文)已知函数3
1
()log z f x e x
-=+，若实数0x 是方程()0f x =的解，且101,()x x f x >则的值（ ）
A ．等于0
B ．不大于0
C ．恒为正值
D ．恒为负值
7.
（湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）设
233y
x M +=
,()
xy
y
x P N 3
,3==
+（其中
y
x <<0），则
,,M N P
大小关系为 （ ）
A ．
P N M << B ．M P N << C ．N M P << D ．M N P <<
二．能力拔高
8.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）已知函数()()21,43,x f
x e g x x x =-=-+- 若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为
（ ）
A ．[]1,3
B ．()1,3
C ．22,22⎡⎤-+⎣⎦
D ．()
22,22-+
【答案】D 【解析】函数()1x f
x e =-的值域为(1,+)-∞，()243g x x x =-+-的值域(,1],
-∞若存在()()f a g b =，则需()1,g b >-
22431,420,222 2.b b b b b -+->-∴-+<∴-<<+.
9.(2012上海第二学学期七校联考理)函数()1y f x =+为定义在R 上的偶函数，且当1x ≥时，
()21x f x =-，则下列写法正确的是（ ）
A. 132323f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B. 213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C. 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D. 321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
10.（2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 在[-2，1]上的最小值为
A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3
11. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若函数y =)1(log 2+-ax x a 有最小值，则a 的取值范围是 ( ) A.0<a <1 B. 0<a <2，a≠1
C. 1<a <2
D.a ≥2
【答案】C
【解析】解：需要对a 分类讨论
2111040,21
01222当时，有最小值，则说明x 有最小值，故x =中判别式小于零即-当1>时，有最小值，则说明x 有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去。

a y ax ax a a a y ax >-+-+<∴>>>-+综上可知答案选C
12.(湖北省武汉外国语学校 钟祥一中2012届高三4月联考文)设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”.若2
()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”
，则m 的取值范围为（ ） A ．(2,4]-
B ．9
(,2)4
-
-
C ．9
(,2]4
-
- D ．9
(,)4
-
+∞
1
3(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数)32(log )(2
4x x x f -+=，（1）求函数的定义域；（2）求)(x f 的单调区间；
三．提升自我
14.（成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测理）已知函数.（m为常数），对任意，均有恒成立.下列说法：
①若为常数)的图象关于直线x=1对称，则b=1;
②若，则必有；
③已知定义在R上的函数对任意X均有成立，且当
时,；又函数（c为常数），若存在使得
成立，则C的取值范围是(-1,13).其中说法正确的个数是
(A)3 个（B)2 个（C)1 个（D)O 个
③正确.综上所述，其中说法正确的个数是3，选A.
15.（北京2011—2012学年度第二学期高三综合练习（二）文）已知函数
22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ，
{}()0,T x g x x ==∈R ，记card ,card S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不可能的是( )
A ．card 1,card 0S T ==
B ．card 1,card 1S T ==
C ．card 2,card 2S T ==
D ．card 2,card 3S T ==
16.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)一个工厂生产某种产品每年需要固定
投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件．当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）
当20x >时，260100160y x x =--=-
【原创预测】
1.已知函数12
()f x x =,给出下列命题：
①若1x >，则()1f x >；
②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若120x x <<，则
1212()()()22
f x f x x x
f ++<．
其中，所有正确命题的序号是 ．
2.若函数2()log (5)(01)a f x x ax a a =-+>≠且满足对任意的1212,2
a
x x x x <≤当时，
21()()0,f x f x -<则实数a 的取值范围为 。

答案：125a << 解析：由题意得，122a x x <≤
时，()()210f x f x -<，即函数在区间(,)2
a
-∞上为减函数，
g x x ax
=-+，所以
1
()0
2
a
a
g
>
⎧
⎪
⎨
>
⎪⎩
，解得125
a
<<。

设()25。