2017届高三物理二轮复习第三篇 高分专项提能：高考大题分层练 7 含解析

高考大题分层练
7.解析几何、函数与导数(C组)
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1.椭圆Γ：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知=.
(1)求椭圆的离心率.
(2)过点M(-2a，0)的直线交椭圆Γ于P，Q(不同于左、右顶点)两点，且+=.当△PQF1面积最大时，求直线PQ的方程.
【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0).由=，可得a2+b2=7c2.又b2=a2-c2，则=，所以椭圆的离心率e=.
(2)椭圆的离心率是，所以b2=a2，所以椭圆方程可写为3x2+4y2=3a2. 设直线PQ的方程为x=my-2a，联立直线和椭圆方程，消去x得
(3m2+4)y2-12may+9a2=0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则y1+y2=，y1y2=.依题意，该方程的判别式Δ>0，
即m2-4>0，
由焦半径公式得=，=.
因此+=可化为=. ①
将y1+y2=，y1y2=代入①式得，=，解得a=32.
所以=·=·. ②
令t=(t>0)，则②式可化为
=·≤·=192.
当且仅当t2=时，“=”成立，此时m=±.
所以直线PQ的方程为x=y-64或x=-y-64.
2.已知函数f(x)=ln+x2-ax(a为常数，a>0).
(1)求证：当0<a≤2时，f(x)在上是增函数.
(2)若对任意的a∈(1，2)，总存在x0∈，使不等式f(x0)>m(1-a2)成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)f′(x)==.
得f′(x)≥0，
所以f(x)在上单调递增.
(2)1<a<2，x≥，由(1)知f(x)在上单调递增，
所以存在x0∈，不等式f(x0)>m(1-a2)成立，得f(x)max>m(1-a2)，即f(1)=ln+1-a>m(1-a2)，a∈(1，2).
令g(a)=ln+1-a+m(a2-1)，a∈(1，2)，g(1)=0.
g′(a)=·-1+2ma=-1+2ma==，
导函数的零点a=，
当m≤0时，g′(a)<0，则g(a)<g(1)=0，a∈(1，2)，不合题意，
当≤1，且m>0时，即m≥，g′(a)>0，g(a)在a∈(1，2)上单调递增，
故g(a)>g(1)=0，
当1<<2时，即<m<，g(a)在上递减，上递增，不合题意；
当≥2时，即m≤，g(a)在(1，2)上单调递减，不合题意.
综上，实数m的取值范围是.
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