11-第五节 函数的应用(二)-课时1 函数的零点与方程的解高中数学必修一人教A版

间 −2, −1 内存在零点，B正确；
在区间
1 2
,
2 3
1
2
1
8
= > 0,
2
3
=
1
− ,
27
1 = 0,所以
内至少存在一个零点，且 = 1也是 的零点，综上，
至少有3个零点，C错误； 的零点即方程 3 − 2 + 1 = 0的解，故
两者个数相等，D错误.
9.已知函数 的图象是连续不断的,且, 有如下的对应值表:
1 = 4 + 2 > 0,
正确；函数 的零点是方程 = 0的实数根，是函数 的图象与
轴的交点的横坐标，D正确，C错误.
4.函数 =
A.0
1
e
− lg 的零点个数为( C )
B.1
C.2
【解析】 函数 的零点个数可转化为函数
=
=
1
和
e
1
和
e
= lg 的图象的交点个数.作出
A. 0,1
B. 1,2
C. 2,3
D. 3,4
【解析】 由题意得， 在 0, +∞ 上单调递增.又
1
2
2 = lg 2 − = lg
区间为 2,3 .
2
10
< 0， 3 = lg 3 > 0，所以函数 的零点所在
8.[2024黑龙江双鸭山市一中期末]关于函数 = 3 − 2 + 1的零点，下
少有1个零点，在区间 4,5 内至少有1个零点.综上，函数 在区间[1,6]内
的零点至少有3个.
10.若 < < ,则函数 = − − + ( − )( − ) +
− )( − 的两个零点分别位于区间( A )
A. , 和 , 内
D.
2.[2024北京通州区期末]函数 = ( 2 − 1)ln 的零点为( A )
A.1
B.1或−1
C.e
D.e或−e
【解析】 = 2 − 1 ln 的定义域为 0, +∞ .令
= 2 − 1 ln = 0,得 2 − 1 = 0或ln = 0,解得 = 1或 = −1

1
2
3
4
5
6

123.56
21.45
−7.82
11.57
−53.76
−126.49
则函数 在区间[1,6]内的零点有( D )
A.2个
B.3个
C.至多2个
D.至少3个
【解析】 因为函数 的图象是连续不断的，且 2 3 < 0, 3 4 <
0, 4 5 < 0，所以 在区间 2,3 内至少有1个零点，在区间 3,4 内至
= − 1 2 − 4 2 − 5 > 0,
（换元后转化为一元二次方程）,则൞ − 1 > 0,
解得
2 − 5 > 0,
5<<
7
,即实数的取值范围为(
3
7
5， ).
3
, 2 < ≤ ,
14.若函数 = ቊ
（其中 > 0,且 ≠ 1）存在零点，则
log − 2 , >
内，故选A.
知识点3 与函数的零点（方程的解）有关的含参问题 4年5考
11.[2024广西柳州期末]已知函数 = 3 − 2 + + 的零点为−1和3,
则 + =( A )
A.−8
B.−4
C.4
D.8
−1 − 1 − + = 0,
= −5,
【解析】 由题意,得ቊ
D. −4, −3
5 − 4, ≤ 0,
【解析】 由 = 0，得 = ቊ 2
令
− 4, > 0,
5 − 4, ≤ 0,
=ቊ 2
作出函数 及 = 的图象，
− 4, > 0,
如图所示.由图可知，当 ∈ (−4, −3]时，直线 = 与
函数 的图象有3个交点，从而函数 有3个零点.
实数的取值范围是 ( C )
1
A.[ , 1)
2
∪ 1,3
B.(1,3]
C. 2,3
D.(2,3]
【解析】 由函数的解析式可知 > 2，因为指数函数 = 单调递增，在
区间(2, ]上无零点，所以函数 = log − 2 在区间 , +∞ 上存在零点.
由于 = log − 2 单调递增，故当 = 时，有log − 2 < 0 = log 1，
又 2 − 4 + 1 − > 0对 > 0恒成立，即 < 2 − 4 + 1对 > 0恒成立,
而 2 − 4 + 1 = − 2
2
− 3 ≥ −3，则 < −3,所以 ∈ −4, −3 .
16.易错题 已0

< < 2,
且关于的方程 = 有
解得ቊ
所以 + = −8.
27 − 9 + 3 + = 0,
= −3,
12.已知函数 = 5 + 2 − 在 1,2 内存在零点,则实数的取值范围为
( A )
A. 7,29
B. 7, +∞
C. 1,29
D. 7,14
【解析】 方法一（直接法） 因为 在区间 1,2 内单调递增,所以根据
2 022,2 023 内无法确定是否有零点，故A，C错误;因为 2 023 > 0,
2 024 < 0, 2 023 ⋅ 2 024 < 0,所以函数 在 2 023,2 024 内一
定存在零点，故B错误，D正确.
3

7.函数 = lg − + 1的零点所在区间为( C )
A.
7
−1,
3
B. −1, 5
C.
7
5,
3
D.
1+ 5 5
,
2
3
)
【解析】 由函数 = 4 − − 1 2 + 2 − 5有两个零点,可知关于的
方程4 − − 1 2 + 2 − 5 = 0有两个不相等的实根.设 = 2 ,则 > 0,
依题有关于的方程 2 − − 1 + 2 − 5 = 0有两个不相等的正实根
A.函数 在 2 022,2 023 内一定不存在零点
B.函数 在 2 023,2 024 内一定不存在零点
C.函数 在 2 022,2 023 内一定存在零点
D.函数 在 2 023,2 024 内一定存在零点
【解析】 因为 2 022 > 0， 2 023 > 0，所以函数 在
第四章 指数函数与对数函数
过基础 教材必备知识精练
过能力 学科关键能力构建
第五节 函数的应用（二）
课时1 函数的零点与方程的解
过基础 教材必备知识精练
知识点1 函数的零点与方程的解 4年1考
1.下列图象对应的函数没有零点的是( B
A.
B.
)
C.
【解析】 函数图象与轴无交点即函数没有零点.故选B.
致图象如图所示，
0 = 2 + 1 < 0,
−1 = 2 > 0,
由图象，得
1 = 4 + 2 < 0,
2 = 6 + 5 > 0,
5
解得−
6
<<
1
− ，所以实数的取值范围是
2
5
1
− ,−
6
2
.
（2）若方程的两根均在区间 0,1 内，求实数的取值范围.
0 = 2 + 1 > 0,
17.[2024广东潮州期末]已知函数 = ln − 有两个零点，分别为
2, +∞
和,则 + 的取值范围是________.
【解析】 因为函数 = ln − 的两个零点分别为，，所以
ln − = ln − = 0,所以 ln = ln .不妨设0 < < ,则
13.[2024江苏淮安调研]已知函数 = 2 − + 4在 1,2 内有且只有一
个零点,则实数的取值范围是( D )
B. 8,10
A.[8,10)
D. 4,5
C.[4,5)
【解析】 因为函数 = 2 − + 4在 1,2 内有且只有一个零点，所以
4

关于的方程 + 4 = ，即 + = 在 1,2 内有且只有一个实根,所以
令 − 3 = 2 + log 2 − 3 = 0,解得 = 2，所以方程 − 3 = 0的实根
之和为−8 + 2 = −6.
知识点2 函数零点存在定理
6.[2024山东德州期末]连续函数 在定义域内的有关数据如下：
2 022 > 0， 2 023 > 0， 2 024 < 0，则下列叙述正确的是( D )
1 = 7 − < 0,
零点存在定理可得ቊ
解得7 < < 29.故选A.
2 = 29 − > 0,
方法二（分离参数法） 令 = 5 + 2 − = 0,得 = 5 + 2.令
= 5 + 2,则 在上为增函数,所以当1 < < 2时,
7 = 1 < < 2 = 29,所以的取值范围为 7,29 .
log 2 , ≥ 2, [1,2)
且仅有一个实数根，则实数的取值范围为______．
【解析】 作出 = 和 = 的图象，如
图所示.因为关于的方程 = 有且仅有
一个实数根，所以函数 = 与 = 的图
象有且仅有一个交点，由图可知1 ≤ < 2，
则实数的取值范围是[1,2).
列说法正确的是( B )
A. 1,0 是 的一个零点
B. 在区间 −2, −1 内存在零点
C. 只有2个零点
D. 的零点个数与方程 3 − 2 + 1 = 0的解的个数不相等
【解析】 函数零点是一个数值，而不是一个点，A错误；
−2 = −3 < 0, −1 = 2 > 0,且 的图象在上连续，所以 在区
−ln = ln ，即ln = ln
因为函数 = +
1

1
在

1
,所以

=
1
,其中0

< < 1,所以 + = +
1
.

0,1 上单调递减,当0 < < 1时, > 1 = 2,
所以 + = + > 2,故 + 的取值范围是 2, +∞ .
（舍去）.
3.（多选）下列说法中正确的是(
BD
)
A.函数 = + 1, ∈ [−2,0]的零点为 −1,0
B.函数 = 2 − 1的零点为0
C.函数 的零点即函数 的图象与轴的交点
D.函数 的零点即方程 = 0的实数根
【解析】 函数的零点是数，不是点，A错误；由2 − 1 = 0，得 = 0，B
18.已知关于的方程 2 + 2 + 2 + 1 = 0.
（1）若方程有两根，其中一根在区间 −1,0 内，另一根在区间 1,2 内，
求实数的取值范围；
【解析】令 = 2 + 2 + 2 + 1，则函数 的图
象与轴的交点的横坐标分别在区间 −1,0 和 1,2 内，其大
B. −∞, 和 , 内
C. , 和 , +∞ 内
D. −∞, 和 , +∞ 内
【解析】 由于 = − − > 0， = − ( − ) < 0，
= − − > 0，因此 的两个零点分别在区间 , 和 ,
= lg 的图象，如图所示，有2个
交点，所以 的零点个数为2.
D.3
1 − , ≤ 0,
5.[2024湖南株洲炎陵一中开学考试]已知函数 = ൝
则
2 + log 2 , > 0,
−6
方程 − 3 = 0的实根之和为____.
【解析】 当 ≤ 0时,令 − 3 = 1 − − 3 = 0,解得 = −8;当 > 0时,
从而 − 2 < 1 ⇒ < 3，所以实数的取值范围是 2,3 ．
5 − − 4, ≤ 0,
15.[2024广东汕尾期末]若函数 = ቊ
恰有3个
2
lg − 4 + 1 − , > 0
零点,则实数的取值范围为( D )
A.(−3, −2]
B. −3, −2
C.(−4, −3]
2
函数 = +
=+
4
在

4
与

= 的图象在 ∈ 1,2 时有且只有一个公共点.因为
4
2
1,2 上单调递减,所以2 + < < 1 +
4
，即4
1
< < 5.
变式: 已知条件变[2024河南南阳期中]若函数
= 4 − − 1 2 + 2 − 5有两个零点,则实数的取值范围为( C