专题21.4 二元二次方程(基础练)-2020-2021学年八年级数学下册课堂专练(沪教版)

第二十一章代数方程
专题21.4 二元二次方程（基础练）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在下列关于x的方程中，是二项方程的是（）
A．x3＝x B．x3＝0 C．x4﹣x2＝1 D．81x4﹣16＝0
【答案】D
【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；
方程的右边是0，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A．x3＝x即x3﹣x＝0不是二项方程；
B．x3＝0不是二项方程；
C．x4﹣x2＝1，即x4﹣x2﹣1＝0，不是二项方程；
D.81x4﹣16＝0是二项方程．
故选：D．
【知识点】高次方程
2.下列方程组中，属于二元二次方程组的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据二元二次方程组的定义进行判断．
【解答】解：A、是二元一次方程组，错误；
B、是分式方程，错误；
C、是三元二次方程组，错误；
D、是二元二次方程组，正确；
故选：D．
【知识点】高次方程
3.下列方程中，有实数解的方程是（）
A ．+1＝0 B．2x4﹣1＝0 C．x2+3x+6＝0 D ．＝
【答案】B
【分析】逐个对每一项进行分析解答，通过分析解答每一项的方程来了解它们有无实数解．
【解答】解：A．原方程移项得＝﹣1，而≥0，所以方程没有实数解；
B．对于2x4﹣1＝0，根的判别式△＝8＞0，所以方程有实数解；
C．对弈x2+3x+6＝0，根的判别式△＝9﹣24＜0，所以方程没有实数解；
D．解分式方程，得x＝1，为增根，所以方程没有实数解；
故选：B．
【知识点】高次方程、无理方程、分式方程的解、根的判别式
4.已知x，y满足方程组．则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用加减消元法化简原方程组，得出xy的值，再利用完全平方公式及开平方，得出x+2y的值，然后将要求的式子通分，最后将xy和x+2y的值代入即可得答案．
【解答】解：
②×3﹣①×2得：3xy+4xy＝108﹣94
∴xy＝2 ③
将③代入②得：x2+4y2＝17
∴（x+2y）2
＝x2+4y2+4xy
＝17+8
＝25
∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5
∴＝＝±
故选：D．
【知识点】高次方程
5.某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长
的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）
A．25本B．20本C．15本D．10本
【答案】C
【分析】设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．
故选：C．
【知识点】二元二次方程组
二、填空题（共5小题）
6.方程x3﹣64＝0的根是．
【答案】x=4
【分析】移项后根据立方的概念求解可得．
【解答】解：∵x3﹣64＝0，
∴x3＝64，
则x＝4，
故答案为：x＝4．
【知识点】高次方程
7.二项方程2x2+54＝0在实数范围内的解是．
【答案】无解
【分析】由2x2+54＝0，得x2＝﹣27，因为x2＞0，所以方程无解．
【解答】解：由2x2+54＝0，得
x2＝﹣27，
∵x2＞0，
∴方程无解
故答案为无解．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法、高次方程
8.方程中，﹣是方程的二次项．
【答案】x2、2xy、-y2
【分析】直接根据方程中次数为2的项便是二次项，进行解答便可．
【解答】解：方程x2+2xy﹣y2+x﹣5y+1＝0中，x2、2xy、﹣y2是方程的二次项．
故答案为：x2、2xy、﹣y2．
【知识点】方程的定义、高次方程
9.方程组的解是．
【分析】根据代入消元法解方程组即可得到结论．
【解答】解：方程组，
由①得，y＝2﹣x③，
把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
把x1＝3，x2＝﹣1分别代入③得，y1＝﹣1，y2＝3，
∴原方程组的解为：或．
故答案为：或．
【知识点】高次方程
10.已知方程组有两组不相等的实数解，则k的取值范围．
【答案】k＜1且k≠0
【分析】先把方程组转化成一元如此方程，根据判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：，
把②代入①得：（kx+2）2﹣4x﹣2（kx+2）+1＝0，
整理得：k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∵方程组有两组不相等的实数解，
∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2×1＝﹣16k+16＞0且k2≠0，
解得：k＜1且k≠0，
故答案为：k＜1且k≠0．
【知识点】高次方程
三、解答题（共5小题）
11.解方程组：．
【分析】先把第一个方程利用因式分解的方法化为x﹣3y＝0或x+y＝0，则原方程可转化为或，然后利用代入法解两个二元二次方程组即可．
【解答】解：，
由①得（x﹣3y）（x+y）＝0，
所以x﹣3y＝0或x+y＝0，
所以原方程可转化为或，
解得或或或，
所以原方程组的解为或或或．
【知识点】高次方程
12.（x3﹣3x2+x﹣2）（x3﹣x2﹣4x+7）+6x2﹣15x+18＝0．
【分析】设A＝x3﹣2x2﹣x+，B＝x2﹣x+，则原方程可化为：（A﹣B）（A+B）+6B﹣9＝0，利用因式分解法解方程可得：A+B﹣3＝0或A﹣B+3＝0，分别代入解方程可得结论．
【解答】解：设A＝x3﹣2x2﹣x+，B＝x2﹣x+，
则原方程可化为：（A﹣B）（A+B）+6B﹣9＝0，
A2﹣（B2﹣6B+9）＝0，
（A+B﹣3）（A﹣B+3）＝0，
A+B﹣3＝0或A﹣B+3＝0，
若A+B﹣3＝0，则x3﹣2x2﹣x++x2﹣x+﹣3＝0，
x3﹣x2﹣4x+4＝0，
x2（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x2﹣4）＝0，
x1＝1，x2＝±2，
若A﹣B+3＝0，则x3﹣2x2﹣x+﹣x2+x﹣+3＝0，
x3﹣3x2+x+1＝0，
x3﹣x2﹣（2x2﹣x﹣1）＝0，
x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（2x+1）＝0，
（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）＝0，
x1＝1，x2＝1，
所以，原方程的解为：x1＝1，x2＝2，x3＝﹣2，x4＝1+，x5＝1﹣．
【知识点】高次方程
13.已知
求证：（a2+b2m2）y2+2mnb2y+（n2﹣a2）b2＝0．
【分析】先把②式代入①式可以去掉x，然后整理y的函数，就可以很容易证明了．
【解答】证明：把②代入①，得
，
∴b2（m2y2+2mny+n2）+a2y2＝a2b2，
∴m2b2y2+2mnb2y+n2b2+a2y2﹣a2b2＝0，
∴（a2+b2m2）y2+2mnb2y+（n2﹣a2）b2＝0．
【知识点】高次方程
14.我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们
还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．
（2）用“转化”的思想求方程＝x的解．
（3）试直接写出的解．
【分析】（1）先提取公因式x，再因式分解可得x（x﹣1）（x+2）＝0，据此解之可得；
（2）两边平方后整理可得x2﹣2x﹣3＝0，解之可得；
（3）方程组“转化”为或，解二元一次方程即可求得．
【解答】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0
∴x（x2+x﹣2）＝0，
∴x（x﹣1）（x+2）＝0
则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0
解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，
故答案为1，2；
（2）∵＝x，
∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去，不合题意），x2＝3．
（3）∵，
∴或，
解得，．
故答案为，．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、一元一次方程的解、高次方程、无理方程
15.阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，
解这个方程得：y1＝1，y2＝5．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝5时，x2＝5，∴x＝±
所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为﹣﹣；（2）利用换元法解方程：＝2．
【答案】y2-4y-12=0
【分析】（1）直接代入得结果；
（2）设y＝把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
【解答】解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0．
故答案为：y2﹣4y﹣12＝0
（2）设y＝，则＝，
原方程变形为：+y﹣2＝0
去分母，得y2﹣2y+1＝0，
即（y﹣1）2＝0
解得，y1＝y2＝1
经检验，y＝1是分式方程的根．
所以＝1
即x2﹣2x﹣4＝0
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
经检验，1±是分式方程的根．
所以原分式方程的解为：x1＝1+，x2＝1﹣．
【知识点】高次方程、换元法解分式方程、算术平方根。