高中数学《古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型》导学案

3.2.1古典概型的特征和概率计算公式
3.2.2建立概率模型
[航向标·学习目标]
1．理解古典概型的两个基本特征．
2．掌握古典概型的概念及概率的计算公式．
[读教材·自主学习]
1．基本事件：一次试验中可能出现的□01每一个结果称为一个基本事件．2．基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是不可能同时发生的．一次试验中，只可能出现一种结果，即出现一个基本事件．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和．
3．古典概型：(1)□02有限个，每次试验只出现其中的一个结果．(2)每一个试验结果出现的可能性□03相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．
4．古典概型的计算公式：对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含
的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为□04P(A)＝m n.
[看名师·疑难剖析]
1．古典概型试验有两个共同的特征
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限个，即只有有限个不同的基本事件．
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．
2．古典概型的概率公式(等可能性事件的概率)
(1)若试验的结果是由n个基本事件组成，并且每个基本事件的发生是等可能的，而随机事件A包含的基本事件数为m，则由互斥事件的概率加法公式可得：
所以古典概型中，P(A)＝A包括的基本事件个数总的基本事件个数
.
这就是概率的古典定义．
(2)用集合观点来理解事件A与基本事件的关系(如下图)：在一次试验中，等可能出现n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含每个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数(记
作card(A))与集合I的元素个数(记作card(I))的比值，即P(A)＝card(A) card(I)
＝
m
n.
考点一基本事件的计数问题
例1一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)两只都是白球包含几个基本事件？
[分析]由题目可获取以下主要信息：
①本次摸球事件中共有5只球，其中3只白球，2只黑球．
②题目中摸球的方式为一次摸出两只球，每只球被摸取是等可能的．
解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白球的基本事件数．[解](1)解法一：采用列举法分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，有以下基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号时)．
解法二：采用列表法
设5只球的编号为：a、b、c、d、e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
(2)解法一中“两只都是白球”包括(1,2)(1,3)(2,3)三种．解法二中，包括(a，
b)，(b，c)，(c，a)三种．
类题通关
求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决，并且注意以下几个方面：①用列举法时要注意不重不漏；②用列表法时注意顺序问题；③树状图法若是有顺序问题时，只做一个树状图然后乘以元素个数．
[变式训练1]连续掷3枚均匀硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)请写出这个试验的所有基本事件；
(2)“恰有两枚正面向上”这个事件包含哪几个基本事件？
解(1)这个试验的所有基本事件为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
考点二古典概型的判断
例2下列概率模型中，是古典概型的个数为()
(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；
(2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
(4)抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型．第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
[答案] A
类题通关
一个试验是否为古典概型，关键是看这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，即判断试验是否同时满足这两个特征(或条件).
[变式训练2]判断下列试验是否是古典概型，并说明理由．
(1)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求点数和为7的概率；
(2)求近三天中有一天降雨的概率；
(3)10个人(包括甲和乙)站成一排，求其中甲、乙相邻的概率．
解(1)、(3)为古典概型．因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(2)不适合等可能性，故不为古典概型．
考点三古典概型的概率计
例3袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
[分析]求古典概型的概率应按下面四个步骤进行：
(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(3)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(4)利用公式P(A)＝m
n
求出事件A的概率．
[解]设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个．即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝6
15＝2 5.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为8
15.
[变式训练3]先后抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5小于10的概率．
解从图中容易看出基本事件与所描点一一对应共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所
以P(A)＝1
4.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所
以P(B)＝5
9.
[例](12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
(一)精妙思路点拨
(二)分层规范细解
(1)甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名①的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，
(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.②2分
从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种.4分
选出的两名教师性别相同的概率为
P＝4
9.6分
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名①的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，
(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，
(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.
②
8分
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种，10分
选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝6
15＝2
5.12分
(三)来自一线的报告
通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)
(四)类题练笔掌握
用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
解所有可能的基本事件共有27个，如图所示：
(1)记“3个矩形都涂同一种颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有
3个，故P(A)＝3
27
＝1
9.
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有6
个，故P(B)＝6
27＝2 9.
(五)解题设问
(1)本题是古典概型吗？________.
(2)用哪种方法列举所有可能的基本事件最方便、最合适？________.
答案(1)是
(2)树状图法
1.袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，________不是基本事件．()
A.{正好2个红球} B．{正好2个黑球}
C.{正好2个白球} D．{至少1个红球}
答案 D
解析至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件.
2.下列对古典概型的说法中正确的是()
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
②每个事件出现的可能性相等
③每个基本事件出现的可能性相等
④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝k n
A.②④B．①③④
C.①④D．③④
答案 B
解析②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.
3.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.
答案1 3
解析本题主要考查古典概型．采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的
概率为1
3.
4.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________.
答案1 2
解析设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为1
2.
5.抛掷一枚骰子，设正面出现的点数为x，
(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件).
(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答).
①x的取值为2的倍数(记为事件A)；
②x的取值大于3(记为事件B)；
③x的取值不超过2(记为事件C)；
④x的取值是质数(记为事件D).
(3)判断(2)中的事件是否为古典概型，并求其概率.
解根据定义判断.
(1)1,2,3,4,5,6；
(2)①事件A为2,4,6；
②事件B为4,5,6；
③事件C为1,2；
④事件D为2,3,5；
(3)是古典概型，其中
P(A)＝3
6
＝1
2
，P(B)＝3
6
＝1
2
，
P(C)＝2
6
＝1
3
，P(D)＝3
6
＝1
2.
一、选择题
1.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相
同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件共有________个．()
A.7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析符合要求的基本事件是(－9,0)，(－7,0)，(－5，0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0).
2.下列是古典概型的是()
A.任意抛掷两枚不均匀的正方体骰子各一次，求所得点数之和为3的概率
B.求任意一个正整数的平方的个位数字是1的概率
C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D.从区间[1,3]内任取一个数，求取到2的概率
答案 C
3.在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm，从中任取一根，取到长度超过30 mm的纤维的概率是()
A.3
4 B.
3
10
C.2
5D．以上都不对
答案 B
解析在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，所以所求事件的概率为12
40
＝3
10.
4.把3枚硬币一起掷出，出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是()
A.2
3 B.
3
8 C.
1
8 D.
1
3
答案 B
解析该试验的基本事件空间为{(正，正，反)，(正，正，正)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，且每一个基本事件发生的可能性相等而“两正一反”包含了其中3个基本事件，所以概率为3
8
，故选B.
5.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺
年卡送给同一人的概率是()
A.1
2 B.
1
3 C.
1
4 D.
1
5
答案 A
解析(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以选A.
6.两个骰子的点数分别为b、c，则方程x2＋bx－c＝0有两个实根的概率为()
A.1
2 B.
15
36 C.
19
36 D.
5
6
答案 C
解析共有36个结果，若方程有解，则Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，满足条件的数记为(b2,4c)，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，
(36,24)，19个结果，P＝19 36.
二、填空题
7.一叠卡片共有10张，分别写上1～10十个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张卡片，则P(抽到的数大于6)＝________，P(抽到的数大于7小于9)＝_______，P(抽到的数为偶数)＝________.
答案2
5
1
10
1
2
解析从10张卡片中任抽一张有10种抽法．即10个基本事件，其中抽到的数大于6包括7,8,9,10四个基本事件．由于抽到每一张的可能性都相等，故P(抽
到的数大于6)＝4
10＝2
5.同理可证P(抽到的数大于7小于9)＝
1
10
，P(抽到的数为偶
数)＝5
10＝1 2.
8.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于40的概率为________.
答案2 5
解析从5个数字中任取两个不同的数字组成两位数有20个，其中大于40
的数有8个，故P＝8
20＝2 5.
9.有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________.
答案1 4
解析卡片如下图.
0，11，22，3…19，20共20张．任取一张“其各位数字之和小于14”的分两种情况：①两个1位数从0，1到6，7共有7种选法；②有两位数的
卡片从9，1010，11…15，16和19，20共8种选法，P＝1－7＋8
20
＝1－3
4
＝1
4.
故如上式得P＝1
4.
三、解答题
10.先后抛掷两枚骰子，每次各1枚，求下列事件发生的概率.
(1)事件A：“出现的点数之和大于3”；
(2)事件B：“出现的点数之积是3的倍数”.
解先后抛掷两枚骰子可能出现的情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，(2,3)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，(6,3)，…，(6,6)，基本事件总数为36.
(1)在上述基本事件中，“点数之和等于3”的事件只有(1,2)，(2,1)两个可能．点数之和等于2的只有(1,1)一个可能的结果，记点数之和不大于3为事件A1，则事件A1包括3个基本事件.
∴事件“出现的点数之和大于3”发生的概率为P(A)＝36－3
36
＝11
12.
(2)与(1)类似，在上述基本事件中，“点数之积是3的倍数”的事件有20个可能的结果.
所以事件“出现的点数之积是3的倍数”发生的概率为P(B)＝20
36＝5 9.
11.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭
配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.
(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；
(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率.
解设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.
则基本事件有：
(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，
(2,3)，(2,4)，(2,5)，
(3,4)，(3,5)，
(4,5)，
即共有15个基本事件.
(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，
故P(A)＝2
15
，
即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率是2
15.
(2)芳香度之和不小于3的有13种，故P(B)＝13 15.
即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率是13
15.
12．某电脑公司有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.
(1)写出所有选购方案(可利用树状图或列表法表示)；
(2)若(1)中各选购方案被选中的可能性均相同，则A型号电脑被选中的概率是多少？
(3)现已知该中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如右图所示)，其中有A型电脑，恰好用去人民币10万元，求购买的A种型号电脑有几台？
解(1)树状图如下图，列表如下：
所以有6种可能结果：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)．
(2)因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)，(A，E)，所以A型号电脑被选中的概率是1
3.
(3)由(2)可知，当选用方案(A，D)时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，
y 台，根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝36，6000x ＋5000y ＝100000， 解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－80，y ＝116.
经检验不符合题意，舍去．
当选用方案(A ，E )时，设购买A 型号、E 型号电脑分别为x 、y 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝36，6000x ＋2000y ＝100000，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7，
y ＝29，
故该中学买了A 型电脑7台．
13．编号分别为A 1，A 2，…，A 16，的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人， ①用运动员编号列出所有可能的抽样结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．
解 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．
(1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13.从中随
机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝5
15＝1 3.。