新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．13
2．已知向量(2,0,2)a =-，则下列向量中与a 成45的夹角的是（ ） A ．(0,0,2) B ．(2,0,0) C ．()0,2,2 D ．(
)2,2,0- 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．26 B ．36 C ．56 D ．
13 4．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）
A 25
B 5
C ．45
D ．1
5．已知在平行六面体1111ABCD A BC D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）
A 3
B ．2
C 5
D 66．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的
中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )
A ．13
B ．223
C ．324
D ．12
7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )
A ．
12 B ．
22 C ．13 D ．16 8．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．105
B ．1010
C ．32
D ．62
9．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A ．130
B ．140
C ．150
D ．160
10．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）
A 3
B 6
C ．217
D 21 11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，
且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．1
D ．2
12．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，
，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．211
C ．32
D ．42
二、填空题
13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().
A P A
B R λλ=∈若平面PMN 与平面AB
C 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．
14．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 中点M 到C 的距离CM = _______.
15．已知空间直角坐标系中点()123p ，，
，()321Q ，，，则||PQ =__________． 16．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -中，M 为棱11D C 的中点，则直线BM 和平面11AC B 所成角的正弦为_____________________.
17．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 .
18．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB
AC AA ，则异面直线1BA 与
1AC 所成的角等于_________ 19．已知平面α⊥平面β，且l αβ⋂=，在l 上有两点A ，B ，线段AC α⊂，线段BD β⊂，并且AC l ⊥，BD l ⊥，6AB =，24BD =，8AC =，则CD =______． 20．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________
三、解答题
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，223AB DC ==，AC BD F ⋂=，且PAD △与ABD △均为正三角形，AE 为PAD △的中线，点G 在线段AE ，且2AG GE =.
（1）求证：GF //平面PDC ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值.
22．如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，,E F 分别为,AD BC 的中点.以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =.
（1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ；
（2）若23BE =，求点F 到平面BEM 的距离.
23．如图，已知ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，//AD EG 且2AD EG =，//GD CF 且2GD FC =，2DA DG ==.
（1）求平面BEF 与平面CDGF 所成二面角的余弦值；
（2）设M 为FG 的中点，N 为正方形ABCD 内一点（包含边界），当//MN 平面BEF 时，求线段MN 的最小值.
24．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.
（1）求证：//EF 平面SAB ；
（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.
25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形//,2,4,,AB DC BC CD AD AB M N ====分别是,AB AD 的中点.
（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；
（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积.
26．如图：三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且222AD AB CD ===，2BC =；BM AC ⊥，BN AD ⊥，垂足分别为M ，N .
（1）求证：AMN 为直角三角形；
（2）求直线BC 与平面BMN 所成角的大小.
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2
HP 的范围.
【详解】
根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：
作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥
作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离.
设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤
∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长
∴PN PF =
由两点间距离公式可得()()2212x x z =
-+-()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥
综上可得132
x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213
x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
所以213HP ≥（当时2x = 取等）
故选:D
【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.
2．B
解析：B
【分析】
根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到答案
【详解】
根据夹角余弦值cos a b
a b θ⋅=
对于A 若()b 0,0,2,=则-222==-222a b a b ⋅⨯，而2cos 452︒=，故不符合条件 对于B 若()b 20,0,=，则222==222a b
a b ⋅⨯，而2cos 452
︒=，故符合条件 对于C 若()b 0,22,=，则-21==-cos 45222
a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 对于D 若()b 2-20=
，，则21=
=cos 45222a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 故选B
【点睛】 本题考查了向量的数量积，运用公式代入进行求解，较为简单
3．A
解析：A
【分析】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为
26
． 【详解】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1
,AE DC ＞26922=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为
26
． 故选A ．
【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推
理能力.
4．A
解析：A
【分析】
建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.
【详解】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有
()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故
()0,2,PB a b =--=
PBC 的面积为
(122
BC PB ⨯⨯==126105a ==时，面积取得最小值为
=，故选A. 【点睛】
本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.
5．D
解析：D
【分析】
由()2211
+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果 【详解】
∵()2211
+BC CC AC AB =+ =222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6．
∴AC =
故选D ．
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出
现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
6．B
解析：B
【分析】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得
11,1,2
2MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．
【详解】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，
则11cos 18MB AA MB AA θ⋅
===⋅ ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3
，故选B ． 【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7．C
解析：C
【分析】 根据题意，以D 为坐标原点，直线1DA
DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果
【详解】
以D 为坐标原点，直线1DA
DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110
E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，
设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则
100
n AC n AD ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨
-+=⎩ 可得2a b
a c =⎧⎨=⎩
可取()21
2n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为12121
33
D E n d n
⋅+-=
=
= 故选C 【点睛】
本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。

8．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】
以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,
,1)2
M ∴1
(0,
,1)2AM =，52
AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110
cos ,10AM B C AM B C AM B C
⋅===⋅ 故选A. 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．
9．D
解析：D 【解析】
设直四棱柱1111ABCD A BC D -中，对角线1
19,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC
,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，
在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得2
21
156AC AC A A =-= 同理可得2211200102BD D B D D =
-==
因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211
(
)()1450822
AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何
体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
10．B
解析：B 【分析】
以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】
由题意111
11cos 602
AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=． 以1
,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，
2
2
1111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，
22
2()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=
2
2
2211111()2222
BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅=，
∴111
6cos ,32AC BD AC BD AC BD ⋅<>==
=⋅⋅．∴1BD 与AC 6
故选：B ． 【点睛】
本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．
11．A
解析：A 【分析】
由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长. 【详解】
设AB a =，AD b =，1AA c =，棱长为t ，则两两夹角为60︒， 11AC AB AD A A a b c
=++=+-， 2
2
2
2
2
222
1
22232AC a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=， 1
2AC t ∴=. 2m ∴=.
故选：A . 【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =，是基础题.
12．D
解析：D 【分析】
作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求． 【详解】
如图，()2,3A -，()3,2B -，
作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，
3AC ∴=，5CD =，2DB =，
沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，
CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，
2
22||()AB AB AC CD DB ∴==++
222
222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅
19254232322⎛⎫
=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭．
42AB ∴=．
即AB 的长为42． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-
【分析】
从二面角的大小入手，利用空间向量求解. 【详解】
以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图
则()()()()()
10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,
由111
A P A
B λ=可得()
11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,
设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00
n NM n NP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩,即
)03120x z x y z λλ+=⎧⎪
⎨
--+=⎪⎩
，
令1z =-，可得()
()321,
,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，
所以1cos45n m
n m n ⋅︒==，即2n =，所以2
1211231λλ+⎛⎫++= ⎪
-⎝⎭
，解得2λ=-. 【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.
14．【解析】中点
【解析】
中点32,,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
MC ==
15．【解析】
16．【分析】以为原点建立空间直角坐标系写出相应点的坐标从而表示出和平面的法向量根据向量的夹角公式得到答案【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系如图所示设正方体棱长为则所以设面的法向量为所以取得设 解析：
9
【分析】
以D 为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，从而表示出BM 和平面11AC B 的法向量，根据向量的夹角公式，得到答案. 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则()12,0,2A ，()10,2,2C ，()2,2,0B ，()0,1,2M
所以()10,2,2BA =-，()12,0,2BC =-，()2,1,2BM =--， 设面11BAC 的法向量为(),,m x y z =，
所以11
00BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，220220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，
取1z =，得()1,1,1m =，
设直线BM 和平面11AC B 所成的角为θ，
所以sin cos ,m BM m BM m BM
θ⋅==
⋅
()()()
22
2222
211121
39
212111-⨯+-⨯+⨯=
=
-+-+⨯++， 所以直线BM 和平面11AC B 所成角的正弦值为3
9
. 故答案为：
39
.
【点睛】
本题考查利用空间向量的方法求线面角，属于中档题.
17．【详解】以D 为原点DADCDD1所在直线分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系如图所示则A(100)B(110)D1(001)C1(011)O(1)=(010)=(-101)设平面ABC1D1的法向量 解析：
【详解】
以D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图所示,
则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),C 1(0,1,1),O (12，12
,1), =(0,1,0),
=(-1,0,1),
设平面
ABC 1D 1的法向量n =(x,y,z),
由1·AB y 0{·AD x z 0n n ===-+=，
，
得
令x =1,得n =(1,0,1). 又
=(-
1
2,12
-,0), ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d=
1
·n OD n
==.
18．【分析】建立空间直角坐标系分别求得再利用即可得到所求角大小【详解】三棱柱为直三棱柱且以点为坐标原点分别以为轴建立空间直角坐标系设则又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于【点睛】本题考查了异面直线 解析：60
【分析】
建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1
,1)BA ，1(1,0,1)AC ，再利用
111
11
1,cos BA AC BA AC BA AC 即可得到所求角大小．
【详解】
三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,且BAC 90︒∠=
∴ 以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，1AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
设1=1AB AC AA ==，则
(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)C
1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC ∴
111
11
1011011
1
co 2
,s 22BA AC BA AC BA AC 又
异面直线所成的角在（0,90]
∴ 异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60︒ ．
【点睛】
本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．
19．26【分析】推导出=从而=（）2=由此能出CD 【详解】∵平面α⊥平面β且α∩β=l 在l 上有两点AB 线段AC ⊂α线段BD ⊂βAC ⊥lBD ⊥lAB=6BD=24AC=8∴=∴=（）2==64+36+57
解析：26 【分析】
推导出CD =CA AB BD ++，从而2CD =（CA AB BD ++）2=222
CA AB BD ++，由此
能出CD ． 【详解】
∵平面α⊥平面β，且α∩β=l ，在l 上有两点A ，B ，线段AC ⊂α，线段BD ⊂β， AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB=6，BD=24，AC=8， ∴CD =CA AB BD ++，
∴2CD =（CA AB BD ++）2 =222CA AB BD ++ =64+36+576 =676， ∴CD=26． 故答案为26． 【点睛】
本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
20．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB
【解析】
分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．
详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD
中
OD =
=⇒=
故全面积为：
1111122⨯⨯⨯⨯
故答案为
4
. 点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2
. 【分析】
（1）连结EC ，证明GF ∥EC ，GF //平面PDC 即得证；
（2））取AD 的中点O ，连结PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值.
【详解】
解：（1）连结EC ，
DC ∥AB
∴2AF AB FC CD
==， 2AG GE
=∴GF ∥EC ， EC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ∴GF ∥平面PDC .
（2）取AD 的中点O ，连结PO ，易知,,P G O 三点共线且PO AD ⊥，
平面PAD ⊥平面ABCD 且AD 为交线，
∴PO ⊥平面ABCD ，
连结BO ，易知BO AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知平面PAD 的法向量1
(0,1,0)n →=， 易知(0,0,1)G ，(0,3,0)B ，333(,0)2
C ， ∴(0,3,1)GB →=-，333(,1)22
GC →=--， 设面GBC 的法向量2(,,)n x y z →
=， ∴223033302n GB y z n GC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
，令2y =，则236,z x == ∴223(3
n →=- . 设所求锐二面角的平面角大小为θ，则
121293cos 31
n n n n θ→→→→⋅=
=， 所以平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值为
9331
. 【点睛】
方法点睛：二面角的求法 方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）
方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n →→
；再代入公式cos m n
m n α→→→→=±（其
中,m n →→分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）
22．（1）证明见解析；（2）3.
【分析】
（1）记AF BE O =，连接NO ，证明,,AF BE AF NO ⊥⊥即可证明结论；
（2）先证明NO ⊥平面ABFE ，再以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MBE 的法向量()0,1,1n =，再代入点到平面的距离的向量公式计算结果．
【详解】
（1）证明：记AF BE O =，连接NO ，
可知四边形ABFE 是菱形，所以AF BE ⊥，且O 为AF ，BE 的中点，
又NF NA =，所以AF NO ⊥，
又因为NO BE O =，NO ，BE ⊂平面NEB ，
所以AF ⊥平面NEB ，
AF ⊂平面AFN ，
∴平面AFN ⊥平面NEB .
（2）因为
23BE =，所以3EO =， 四边形DEBF 是平行四边形，∴23NF DF BE ===，
所以226FO EF EO =
-=， 所以226NO NF FO =-=，
所以2229NO EO NE +==，所以NO BE ⊥， 又由（1）可知：NO AF ⊥，且AF
BE O =，AF ，BE ⊂平面ABFE ， 所以NO ⊥平面ABFE ，以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角
坐标系， 则()0,6,0A ，()
3,0,0B -，()3,0,0E
，()0,6,0F -，()0,0,6N ，
OM ON NM ON AB =+=+()()0,0,63,6,0=+--()3,6,6=-- 所以()3,6,6M --，所以()0,6,6BM =-，()23,0,0BE =，
()3,6,0FB =- 设(),,n x y z =是平面BEM 的法向量，则 0660000230y z x n BM y z n BE x ⎧⎧-+==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩
，取1y =，得()0,1,1n =， 则点F 到平面BEM 的距离632
FB n
d n ⋅===.
【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键点是垂直关系的证明，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直，第二个关键是点M 的坐标的求解方法.
23．（1229，（222 【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
（2）设(),,0N x y ，即可表示出MN ，再根据//MN 平面BEF ，即可得到
0m MN =，即可得到x 与y 的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,0,0A ，()0,0,2G ，()0,2,1F ，()1,0,2E ，则()1,2,2BE =--，
()1,2,1FE =-，()2,0,0DA =，设面BEF 的法向量为(),,n x y z =，则
22020x y z x y z --+=⎧⎨-+=⎩
，令2x =，则3y =，4z =，所以()2,3,4n =，而平面CDGF 的法向量为()2,0,0DA =
设平面BEF 与平面CDGF 所成二面角为θ，显然二面角为锐角，所以2224229cos 292234n DA n DA θ===++ （2）设(),,0N x y ，[],0,2x y ∈，依题意30,1,
2M ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，则3,1,2MN x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为//MN 平面BEF ，所以()23162390m MN x y x y =+--=+-=
所以()222913314714422
MN x y y y =+-+=-+ 又因为函数2133147422y x x =-+，对称轴为31
3122131324
x -=-=>⨯，且开口向上， 所以函数2133147422y x x =-+在[]0,2上单调递减，所以当2y =时，min 222MN =，此时3
,2,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以线段MN 的最小值为222
【点睛】
本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
24．（1）证明见解析；（2）77. 【分析】
（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出 平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；
（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.
【详解】
（1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点，
∴//FI SA ，//IE AB ，且FI
EI I =， ∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ， 同理AB
平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ， 又∵FI EI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，
又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FI
IE I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，
∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .
（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，
设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 因为2SD =，SB SC =，2EF =， 所以2222222222224
(3)(1)(2)334222x y z x y z x y z x y z ⎧⎪++=⎪⎪-+-+=+-+⎨⎪⎛-⎛⎫⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎩，
求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，
设(,,)n x y z =⊥平面SBC ，
∴320220n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，令1y =，则31,z x ==， 所以3,1,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，因为AD ⊥平面SCD ，所以取(1,0,0)m =为平面SCD 的法向量， ∴373cos |cos ,|1113
m n
m n m n θ⋅=〈〉===⋅++ 所以二面角B SC D --7 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S 点坐标，考查了空间想象力及计算能力.
25．（1）证明见解析；（2）1.
【分析】
（1）连接DM ，证出MN AD ⊥，PD MN ⊥，再利用面面垂直的判定定理即可证明. （2）连接BD ，以点D 为坐标原点，以,,DA DB DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(0,0,)(0)P m m >，根据空间向量的数量积求出m ，再根据锥体的体积公式即可求解.
【详解】
（1）连接DM ，显然//DC BM 且DC BM =，
∴四边形BCDM 为平行四边形，
//DM BC ∴且DM BC =，AMD ∴△是正三角形，MN AD ∴⊥，
又PD ⊥平面,ABCD MN ⊂平面,ABCD PD MN ∴⊥,
,PD AD D MN ⋂=∴⊥平面PAD ，又MN ⊂平面PMN ，
∴平面PMN ⊥平面PAD .
（2）连接BD ，易知//,,BD MN BD AD BD PD ∴⊥⊥. 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0)D N C -， 设(0,0,)(0)P m m >，(1,0,),(2,3,0)PN m CN ∴=-=-.
设平面PNC 的法向量为(,,)a x y z =，00
a PN a CN ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即0,230,x mz x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令3,(3,2,3)z a m m ==，
而平面PND 的一个法向量为(0,1,0)b =，
2221|cos ,|cos602343m a b m m ︒〈〉==
=++ 解得33m =，所以113(24)31323
V =⨯⨯+⨯⨯=.
【点睛】
方法点睛：
证明面面垂直的常用方法：
证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义证明.
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
26．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】
（1）先证明CD ⊥平面ABC ，可得CD BM ⊥，则可得BM ⊥平面ACD ，即可得出BM AD ⊥，进而AD ⊥平面BMN ，即得出AD MN ⊥可说明；
（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.
【详解】
解：（1）AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，
1,2AB AD ==，3BD ∴=， 2,1BC CD ==，∴222BC CD BD +=，BC CD ∴⊥， AB BC B ⋂=，CD 平面ABC ，
BM ⊂平面ABC ，CD BM ∴⊥，
BM AC ⊥，AC CD C =，BM ∴⊥平面ACD ，
AD ⊂平面ACD ，BM AD ∴⊥，
BN AD ⊥，BN BM B ⋂=，AD ∴⊥平面BMN ，
MN ⊂平面BMN ，AD MN ∴⊥，∴AMN 为直角三角形；
（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()2,0C ，()
2,0D -， ()2,0BC =，()2,1AD =--.
由（1）得AD ⊥平面BMN ，∴AD 为平面BMN 的法向量，
∴2sin cos ,2
AD BC
AD BC AD BC θ⋅===⋅
∴直线BC 与平面BMN 所成角大小为
4
. 【点睛】 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。