2024-2025学年广东省佛山市顺德区北滘中学高一(上)第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年广东省佛山市顺德区北滘中学高一（上）第一次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|1−x>0}，B={x|x>0}，则A∩B=( )
A. {x|0<x<1}
B. {x|x>1}
C. {x|x>0}
D. {x|x≥1}
2.若1∈{x,x2}，则x=( )
A. 1
B. −1
C. 0或1
D. 0或1或−1
3.不等式x(x+2)<3的解集是( )
A. {x|−3<x<1}
B. {x|−1<x<3}
C. {x|x<−3，或x>1}
D. {x|x<−1，或x>3}
4.命题“∃x>0，x2>x3”的否定是( )
A. ∀x>0，x2≤x3
B. ∀x≤0，x2≤x3
C. ∃x>0，x2≤x3
D. ∃x≤0，x2≤x3
5.若“m−2<x<m+2”是“1<x<3”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )
A. 1≤m≤2
B. 1<m<3
C. −1<m<2
D. 1≤m≤3
6.若x>1，则4x+1
x−1
的最小值为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
7.若正数x，y满足4x+y=4，则1
x +1
y
的最小值为( )
A. 2
B. 9
4C. 3 D. 8
3
8.已知集合M={x|x2−3x+2=0}，N={x|x2−ax+3a−5=0}，若M∪N=M，则实数a的取值集合是( )
A. ⌀
B. {2}
C. {a|2<a<10}
D. {a|2≤a<10}
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题为真命题的是( )
A. ∃x∈R，x2≤1
B. a2=b2是a=b的必要不充分条件
C. 集合{(x,y)|y=x2}与集合{y|y=x2}表示同一集合
D. 设全集为R，若A⊆B，则∁R B⊆∁R A
10.已知a>b>c>0，则下列不等式一定成立的是( )
A. a−b>b−c
B. ab>bc
C. a2>b2
D. b
a <a
b
11.若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是( )
A. ab有最大值1
4
B. a+b有最大值2
C. 1
a +1
b
有最小值4 D. a2+b2有最小值2
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.集合{1,2}的子集个数为______．
13.若0<x<1
2
，则x(1−2x)的最大值是______．
14.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费为y1(单位：万元)，仓库到车站的距离为x(单位：千米)，x>0，其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站______千米处，才能使两项费用之和最少.最少费用是______万元．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
(1)求不等式x2−5x≥6的解集．
(2)已知x>0，y>0，2x+3y=1，求xy的最大值，并求取最大值时x和y的值．
(3)比较a2+13与6a+3的大小．
16.(本小题15分)
设全集U=R，已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|2<x<8}，C={x|x≥a+1}．
(1)求A∪B，A∩∁U B；
(2)若A∩C=A，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知集合A={x|−2≤x−1≤5}、集合B={x|m+1≤x≤2m−1}(m∈R)．
(1)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围；
(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知集合M={x|2x2+5x−2a−1≤0}，集合A={x|1≤x≤3}．
(1)∃x0∈R，使x20−2x0+2a−1=0(a∈N∗)成立，求实数a的值及集合M；
(2)命题p：∀x∈A，有x+a≥0，命题q：∃x∈R，使得x2−2x−2a+1≤a2成立.若命题p为假命题，q 为假命题，求实数a的取值范围；
(3)若∀x∈A，都有x2+ax+1≥0，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为40m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为840元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为42元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为16元/ m2.受地域影响，AD的长度最多能达到4m，其余边长没有限制．
(1)设总价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，试建立S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.A
5.D
6.C
7.B
8.D
9.ABD
10.BCD
11.ABC
12.4
13.18
14.4 7.2
15.解：(1)不等式x 2−5x ≥6化为：x 2−5x−6≥0，解得x ≤−1或x ≥6，所以不等式x 2−5x ≥6的解集为(−∞,−1]∪[6,+∞)．
(2)由x >0，y >0，得1=2x +3y ≥2 2x ⋅3y ，则xy ≤124，当且仅当2x =3y =12，即x =14,y =16时取等号，
故xy 取得最大值1
24．
(3)a 2+13−(6a +3)=a 2−6a +10=(a−3)2+1>0，
所以a 2+13>6a +3． 16.解：(1)因为集合A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|2<x <8}，所以A ∪B ={x|−2≤x <8}，
因为∁U B ={x|x ≤2或x ≥8}，
所以A ∩∁U B ={x|−2≤x ≤2}；
(2)因为A ∩C =A ，所以A ⊆C ，
所以a +1≤−2，
解得a ≤−3，
所以a 的取值范围为(−∞,−3]．
17.解：(1)由题意可知A ={x|−2≤x−1≤5}={x|−1≤x ≤6}，又A ∩B =⌀，当B =⌀时，m +1>2m−1，解得m <2，
当B ≠⌀时，m +1≤2m−1，m +1>6或2m−1<−1，解得m >5，综上所述，实数m 的取值范围为(−∞,2)∪(5,+∞)；
(2)∵命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A 的真子集，当B ≠⌀时，
可得{
m +1≤2m−1m +1≥−12m−1≤6
，解得2≤m ≤72，当B =⌀时，由(1)可得m <2．
综上所述，实数m 的取值范围为(−∞,72]. 18.解：(1)由存在x 0∈R ，使x 20−2x 0+2a−1=0成立，
可得Δ=4−4(2a−1)≥0，解得a ≤1，
而a ∈N ∗，则a =1，集合M ={x|2x 2+5x−3≤0}={x|−3≤x ≤12}；
(2)命题p ：∀x ∈A ，有x +a ≥0，即a ≥−x ，则a ≥−1，由命题p 为假命题，得a <−1；
又命题q ：∃x ∈R ，使得x 2−2x−2a +1≤a 2成立，且为假命题，则¬q ：∀x ∈R ，使得x 2−2x−2a +1>a 2为真命题，
即∀x ∈R ，(x−1)2>a 2+2a ，因此a 2+2a <0，解得−2<a <0，由命题p 为假命题，q 为假命题，得−2<a <−1，
所以实数a 的取值范围为(−2,−1)．
(3)任意的x ∈A ，都有x 2+ax +1≥0，则x 2+1≥−ax ，则x 2+1x ≥−a ，而x 2+1x =x +1x ≥2 x ⋅1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，因此−a ≤2，解得a ≥−2，
所以实数a 的取值范围为[−2,+∞)．
19.解：(1)设DQ =y ，则x 2+4xy =40，可得y =10x −x 4
>0，总造价为S =840x 2+42×4xy +16×2y 2=840x 2+168x ×(10x −x 4)+32×(10x −x 4)2=800x 2+3200x 2
+1520，且x∈(0,4]；
(2)由S=800x2+3200
x2+1520≥800×2x2⋅4
x2
+1520=4720，
当且仅当x2=4
x2
时，即x=2时，等号成立，所以x=2时，S最小值为4720．。