高一数学教案向量小结与复习

OB OA AB
(a) ()a
向
量 的
a 1 是一个向量,满足: 新疆 王新敞 奎屯
a a 2 >0 时, 新疆 王新敞
与 同向;
奎屯
a (x,y)
( )a a a
乘
<0 时, a 与 a 异向;
法
a =0 时,
=0 新疆 王新敞
奎屯
(a b) a b
a ∥ b a b
三、讲解范例：
例 1 在四边形 ABCD 中， AB · BC ＝ BC · CD ＝ CD · DA ＝ DA · AB ，试证明四边形 ABCD
是矩形 新疆 王新敞 奎屯 分析：要证明四边形 ABCD 是矩形，可以先证四边形 ABCD 为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直 新疆 王新敞 奎屯
为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进展考虑 新疆 王新敞 奎屯
运算类型 向 量 的
几何方法
1 平行四边形法那么 新疆 王新敞 奎屯
2 三角形法那么 新疆 王新敞 奎屯
坐标方法
ab (x1 x2, y1 y2 )
运算性质
abba (a b) c a (b c)
加 法
向
量
的
三角形法那么
减
法
AB BC AC
a b a (b) a b (x1 x2, y1 y2 ) AB BA
,
(线段定比分点的坐标公式)
.
当 λ＝1 时，得中点公式：
OP
＝
1 2
〔 OP1
＋ OP2
x
〕或者者
y
x1 y1
x2 , 2 y2 . 2
(5)平移公式
设 点 P(x, y) 按 向 量 a (h, k) 平 移 后 得 到 点 P(x, y) ， 那 么 OP ＝ OP + a 或 者 者
为正六边形，且
AB
＝a，
AE
＝b，用
a，b
表示向量
DE
、
AD
、
BC
、
EF
、
FA
、
奎屯
CD 、 AC 、 CE 新疆 王新敞 奎屯
解：DE ＝－a， AB ＝a＋b，BC ＝ 1 〔a＋b〕， EF ＝－ 1 〔a＋b〕，FA ＝ 1 〔a－b〕，CD
2
2
2
1
31
13
AC CE ＝ 〔b－a〕，
＝ a＋ b，
证明：设点 B′〔1，y〕是 AC 的一个分点，且 AB ＝λ，那么 1＝ 1 2
BC
1
解得 λ＝2 新疆 王新敞 奎屯
1 25
∴y＝
＝3 新疆 王新敞 奎屯
1 2
即点 B′与点 B 重合 新疆 王新敞 奎屯
∵点 B′在 AC 上，∴点 B 在 AC 上，
∴A、B、C 三点一一共线 新疆 王新敞 奎屯
奎屯
(3)两个向量垂直的充要条件
a a ⊥ b
· b ＝O
x x y y 0 1 2
12
新疆 王新敞
奎屯
(4)线段的定比分点公式
设点 P 分有向线段 P1P2 所成的比为 λ，即 P1P ＝λ PP2 ，那么
OP
1
＝
1
OP1
1
＋
1
OP2
(线段的定比分点的向量公式)
x
y
x1 x2 1 y1 y2 1
证明：设 AB ＝a， BC ＝b， CD ＝c， DA ＝d，那么
∵a＋b＋c＋d＝O
∴a＋b＝－〔c＋d) 新疆 王新敞 奎屯
两边平方得 ｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2， 又 a·b＝c·d ∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2〔1〕 同理｜a｜＋｜d｜2＝｜b｜2＋｜c｜2〔2〕 由(1)(2)得｜a｜2＝｜c｜2，｜d｜2＝｜b｜2， ∴a＝c，d＝b， 即 AB＝CD，BC＝DA ∴四边形 ABCD 是平行四边形
＝λ
BC
，从而建立方程来探究 新疆
王新敞
奎屯
解法一：假设满足条件的ｍ存在，由 A、B、C 三点一一共线，即 AB ∥ BC ，
∴存在实数 λ，使 AB ＝λ BC ，
ｉ－2j＝λ〔ｉ＋ｍj〕，
1
∴ｍ＝－2 新疆 王新敞
m 2 奎屯
∴当ｍ＝－2 时，A、B、C 三点一一共线 新疆 王新敞 奎屯
(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法那么的理解和运用，两边和其中一边的对角解斜三角形等；
(3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用 新疆 王新敞 奎屯
3 向量的概念 新疆 王新敞 奎屯
(1)向量的根本要素：大小和方向 新疆 王新敞 奎屯
(2) 向 量 的 表 示 ： 几 何 表 示 法 AB ， a ； 坐 标 表 示 法
评述：(1)一一共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点， 解题时可灵敏选择
新疆 王新敞
奎屯
(2)此题是存在探究性问题，这类问题一般有两种考虑方法，即假设存在法——当存在时；假设否认法 ——当不存在时
新疆 王新敞
奎屯
四、课堂练习： 1 判断题
新疆 王新敞
奎屯
(1) AB ＋ BA ＝O〔√〕 (2)O AB ＝O〔×〕 〔3〕 AB － AC ＝ BC 〔×)
解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：ｉ＝〔1，O〕，j＝〔O，1〕
∴ AB ＝〔1，O〕－2〔O，1〕＝〔1，－2〕， BC ＝〔1，O〕＋ｍ〔O，1〕＝〔1，ｍ〕， 由 A、B、C 三点一一共线，即 AB ∥ BC ，
故 1·ｍ－1·〔－2〕＝O 解得ｍ＝－2 新疆 王新敞 奎屯
∴当ｍ＝－2 时，A、B、C 三点一一共线 新疆 王新敞 奎屯
a•b b•a
向
a • b 是一个数
量
1 新疆 王新敞
a
0 或者者
b
0
时,
奎屯
的
a • b =0
a•b
数
a 0 b 0 2
且
时,
新疆
王新敞
奎屯
x1x2 y1 y2
量
a • b | a || b | cos(a,b)
积
(a) • b a • (b) (a • b) (a b) • c a • c b • c a2 | a |2 | a | x2 y2 | a • b || a || b |
新疆 王新敞
奎屯
于是 AB ＝－ CD ，即 a＝－c，
又 a·b＝b·c，故 a·b＝b·〔－a〕 ∴a·b＝O
∴ AB ⊥ BC
∴四边形 ABCD 为矩形 新疆 王新敞 奎屯
评述：向量具有二重性，一方面具有“形〞的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对 于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会
新疆 王新敞
奎屯
例 2 设坐标平面上有三点 A、B、C，ｉ，j 分别是坐标平面上 x 轴，y 轴正方向的单位向量，假设向量
AB
＝ｉ－2j，
BC
＝ｉ＋ｍj，那么是否存在实数ｍ，使
A、B、C
三点一一共线 新疆 王新敞
奎屯
分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由 A、B、C 三点一一共线 AB ∥ BC 存在实数 λ，使 AB
a a xi yj (x, y) (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ ｜
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
a 0 a a a (4)特殊的向量：零向量 ＝
｜
｜＝0 新疆 王新敞 奎屯
单位向量 0 为单位向量
｜
新疆
｜＝1 王新敞
0 奎屯
(5)相等的向量：大小相等，方向一样
( x1 ,
y1 )
(x2 ,
y2 )
xy11
x2 y2
a b (6)平行向量(一一共线向量)：方向一样或者者相反的向量，称为平行向量 记作 ∥ 由于向量可以进
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
展任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为一一共线向量 新疆 王新敞 奎屯
4 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示和性质 新疆 王新敞 奎屯
(2) OC ＝〔2，－16〕， OD ＝〔－8，8〕
(3) OA
· OB
＝33 新疆
王新敞
奎屯
五、小结
通过本节学习，要求大家在理解向量知识网络构造根底上，进一步熟悉根本概念及运算律，并能纯熟
重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，进步分析问题、解决问题的才能 新疆 王新敞 奎屯
六、课后作业：
七、板书设计〔略〕
教学过程：
一、引入
前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方
法 这一节，我们开始对本章进展小结与复习
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
二本章知识
1 本章知识网络构造 新疆 王新敞 奎屯
2 本章重点及难点 新疆 王新敞 奎屯
(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在 解斜三角形中的应用；
5 重要定理、公式： 新疆 王新敞 奎屯
(1)平面向量根本定理
e1 , e2 是同一平面内两个不一一共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数
1 , 2 ，使 a 1e1 2e2
(2)两个向量平行的充要条件
a b a b x y x y 0 ∥
＝λ
12
21
新疆 王新敞
＝ b－ a 新疆 王新敞
奎屯
2
22
22
6 点 A(－3，－4)、B〔5，－12〕 新疆 王新敞 奎屯
(1)求 AB 的坐标及｜ AB ｜；
(2)假设 OC ＝ OA ＋ OB ， OD ＝ OA － OB ，求 OC 及 OD 的坐标；
(3)求 OA · OB 新疆 王新敞 奎屯
解：(1) AB ＝〔8，－8〕，｜ AB ｜＝8 2
新疆
新疆
王新敞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
王新敞
奎屯
奎屯
答案：
AB
与
AC
方向一样，
BA
与 CB
方向一样 新疆 王新敞
奎屯
4 新疆 王新敞
AC
为
AB
与
AD
的和向量，且
AC
＝a，
BD
＝b，分别用
a、b
表示
AB
，
AD
新疆 王新敞
奎屯
奎屯
解： AB ＝ 1 〔a－b〕， 2
1 AD ＝ 〔a＋b〕
新疆 王新敞
奎屯
2
5 ABCDEF 新疆 王新敞
八、课后记及备用资料：
1 三点一一共线的证明 新疆 王新敞 奎屯
对于三点一一共线的证明，可以利用向量一一共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明 因为， 新疆 王新敞 奎屯
定比分点问题中所涉及的三个点必然一一共线，而三个点一一共线时，必然构成定比分点 新疆 王新敞 奎屯
例 1A〔－1，－1〕、B〔1，3〕、C〔2，5〕，求证 A、B、C 三点一一共线 新疆 王新敞 奎屯
2 选择题 新疆 王新敞 奎屯
a，b 为两个单位向量，以下四个命题中正确的选项是() A．a 与 b 相等 B．假设 a 与 b 平行，那么 a 与 b 相等 C a·b＝1 D．a2＝b2
新疆 王新敞
奎屯
答案：D
AB AC BA CB 3 A、B、C 是直线ｌ上的顺次三点，指出向量 、 、 、 中，哪些是方向一样的向量
即 sinAcosA＝sinBcosB
∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B 或者者 2A＝π－2B ∴A＝B 或者者 A＋B＝
2
∴△ABC 是等腰三角形或者者直角三角形 新疆 王新敞 奎屯
(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C
∴ ( a )2 ( b )2 ( c )2 , ∴a2＋b2＝c2 2R 2R 2R
2 利用正、余弦定理判断三角形形状 新疆 王新敞 奎屯
例 2 根据以下条件，判断△ABC 的形状
(1)acosA＝bcosB
(2)sin2Α＋sin2B＝sin2C，且 c＝2acosB 新疆 王新敞 奎屯
解：(1)∵acosA＝bcosB ∴ a cosB ∴ 2R sin A cosB , b cos A 2R sin B cos A
故△ABC 是直角三角形，且 C＝9O°，
a
2
∴cosB＝ ，代入 c＝2acosB 得 cosB＝ ∴B＝45°，A＝45°
芯衣州星海市涌泉学校课题：向量小结与复 习〔1〕
教学目的：
1 理解本章知识网络构造； 2 进一步熟悉根本概念及运算律；
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
3 理解重要定理、公式并能纯熟应用； 新疆 王新敞 奎屯
4 加强数学应用意识，进步分析问题，解决问题的才能
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
5 认识事物之间的互相转化； 6 培养学生的数学应用意识
x x h,
y
，曲线
y k.
y
f (x)
按向量
a (h, k)
平移后所得的曲线的函数解析式为：
y k f (x h)
(6)正、余弦定理
a
正弦定理：
b
c
2R.
sin A sin B sin C
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A cos A b2 c 2 a 2 2bc
新疆
新疆
新疆
王新敞
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
奎屯
教学重点：突出本章重、难点内容
教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别
授课类型：复习课
课时安排：1 课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学方法:自学辅导法
在给出本章的知识网络构造后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对根本概念、
根本运算律、重要定理、公式的熟悉程度 新疆 王新敞 奎屯