习题
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则这个矩阵称为矩阵A的行最简形矩阵。
定理:用初等矩阵左乘矩阵A，相当于对A进 行相应的初等行变换；
用初等矩阵右乘矩阵A，相当于对A进行相 应的初等列变换。
作业：已知矩阵方程AX B,其中
a11 a12 a13 a11 a12 a13
A a21
a22
a23
B
12
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，此行列式为范德蒙行列式．
例 设四阶行列式
a1 a2 a3 p
D b1
b2
b3
p ,
c1 c2 c3 p
d1 d2 d3 p
则其第1列元素的代数余子式之和
0 A11+A21+A31+A41=_____.
行和或列和相等的行列式
0333 3:计算: D 3 0 3 3
3
2
,
求An
解：由于An PQ PQ PQPQ
P(QP)(QP)(QP)Q
计算QP
2 1
32
2
1
3 2
1 0
0 1
E
故An PnQ
而n
E, n是偶数 ，n是奇数
故An
PQ E，n是偶数
(5)EA A AE. OA O AO.
若A2
O,
A不一定是O矩阵，如
1 1
1 1
但如果AAT O,则A O,
所以如果A2 O,且A对称，则A O
教材P13：已知A PQ,其中
2 P 1
3 1 2, 0
0 2 1,Q 1
(2)行 列 式 中 有 一 行(列 ） 元 素 全 为 零, 则 此 行 列式必等于零.
x1 1 2
例:已知 f x 1 x 1 1 求 x3 的系数.
32 x 1
1 1 2x 1 思考:如何求常数项
解
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
1 1 2x 1
对应于 1 (1234) a11a22a33a44 x3,
列
式
(1,2,3, 1) 5, (1,2, 2,3) 4,
1 则4阶行列式(3,2,1, (1 2 )) __________
例：
11 1 1 12 3 4 D 1 4 9 16 1 8 27 64
(2 1)(3 1)(4 1) (3 2)(4 2) (4 3)
设, 都是三维列向量，且
1 1/ 2 1/ 3
T 2 1 2 / 3,则 T _______
3 3 / 2 1
对于矩阵乘法
(1)交换律不一定满足; (2)由AB O,不能推出A O或B O; (3)消去律不一定满足，AB AC不能推出B C; (4)结合律与分配律成立,
第一章 矩阵
矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算 及理论贯穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握 要扎实深入。
理解矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、 三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。
熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及运算规律，
掌握矩阵的初等变换，了解分块矩阵及其运算。
习题P22（4）
例如
1 1 2 1 0 1 1 1
4 0
是一行阶梯形矩阵
0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
如果行阶梯形矩阵具有这样的特性：
(1)非零行向量的第一的非零元素为1，
(2)含这些元素的列的其他元素都为零，
7
PQ
4
172，n是奇数
总结：在矩阵乘法中，特别是乘幂运算中 可利用结合律简化计算。 注意交换律不一定成立。
1 1 1 1
例:设 A 2 2 2 2 求A100
3 3 3 3 4 4 4 4
提示:
1 1 1 1 1
A 2 2 2 2 21 1 1 1
方 ●公式法
法 ●拆项法
●乘积法
计算行列式的方法比较灵活， 同一行列式可以有多种计算方 法；有的行列式计算需要几种 方法综合应用
在计算时，首先要仔细 考察行列式在构造上的特点， 利用行列式的性质对它进行 变换后，再考察它是否能用 常用的几种方法．
利用行列式的定义:
(1)如果一个n阶行列式中等于零的元素比 n2 n还多，则此行列式必等于零.
3303 3330
分析特点：各列（各行）的元素的和相等。
(3)将A分解为B C, A B C B,C形式简单，且BC CB. 则An (B C)n Bn Cn1Bn1C Cnn1BC n1 C n 如习题教材例12
复习:
行阶梯形矩阵的特点： （1）可画出一条阶梯线，线的下方全为0； （2）每个台阶只有一行， （3）每行左起第一个非零元素称为非零元，
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
求X .
a12 a22 , a32
方法：分析A和B的联系，
C2 C1 C2 C3
AB
小结:第二章:主要内容行列式的计算
●定义法
行 ●化三角形法
列 式
●递推法
的 ●加边法
计 算
●数学归纳法
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
1
1 1 1 1
A100 1099 21 1 1 1 1099 2 2 2 2
3
3 3 3 Biblioteka 44 4 4 4总结: 求An的一般方法： （1）数学归纳法
（2）若A T ,则An ( T )n ( T )n1 A
1 t1243a11a22a34a43 2x3 故 x3 的系数为1.
a1 0 0 b1
(3).四阶行列式 0 0
a2 b2 b3 a3
0
0 (a1a4 b1b4 )(a2a3 b2b3)
b4 0 0 a4
(4).若1,
2
,
3
,
1,
都
2
是4维
列
向
量,
且
行
定理:用初等矩阵左乘矩阵A，相当于对A进 行相应的初等行变换；
用初等矩阵右乘矩阵A，相当于对A进行相 应的初等列变换。
作业：已知矩阵方程AX B,其中
a11 a12 a13 a11 a12 a13
A a21
a22
a23
B
12
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，此行列式为范德蒙行列式．
例 设四阶行列式
a1 a2 a3 p
D b1
b2
b3
p ,
c1 c2 c3 p
d1 d2 d3 p
则其第1列元素的代数余子式之和
0 A11+A21+A31+A41=_____.
行和或列和相等的行列式
0333 3:计算: D 3 0 3 3
3
2
,
求An
解：由于An PQ PQ PQPQ
P(QP)(QP)(QP)Q
计算QP
2 1
32
2
1
3 2
1 0
0 1
E
故An PnQ
而n
E, n是偶数 ，n是奇数
故An
PQ E，n是偶数
(5)EA A AE. OA O AO.
若A2
O,
A不一定是O矩阵，如
1 1
1 1
但如果AAT O,则A O,
所以如果A2 O,且A对称，则A O
教材P13：已知A PQ,其中
2 P 1
3 1 2, 0
0 2 1,Q 1
(2)行 列 式 中 有 一 行(列 ） 元 素 全 为 零, 则 此 行 列式必等于零.
x1 1 2
例:已知 f x 1 x 1 1 求 x3 的系数.
32 x 1
1 1 2x 1 思考:如何求常数项
解
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
1 1 2x 1
对应于 1 (1234) a11a22a33a44 x3,
列
式
(1,2,3, 1) 5, (1,2, 2,3) 4,
1 则4阶行列式(3,2,1, (1 2 )) __________
例：
11 1 1 12 3 4 D 1 4 9 16 1 8 27 64
(2 1)(3 1)(4 1) (3 2)(4 2) (4 3)
设, 都是三维列向量，且
1 1/ 2 1/ 3
T 2 1 2 / 3,则 T _______
3 3 / 2 1
对于矩阵乘法
(1)交换律不一定满足; (2)由AB O,不能推出A O或B O; (3)消去律不一定满足，AB AC不能推出B C; (4)结合律与分配律成立,
第一章 矩阵
矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算 及理论贯穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握 要扎实深入。
理解矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、 三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。
熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及运算规律，
掌握矩阵的初等变换，了解分块矩阵及其运算。
习题P22（4）
例如
1 1 2 1 0 1 1 1
4 0
是一行阶梯形矩阵
0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
如果行阶梯形矩阵具有这样的特性：
(1)非零行向量的第一的非零元素为1，
(2)含这些元素的列的其他元素都为零，
7
PQ
4
172，n是奇数
总结：在矩阵乘法中，特别是乘幂运算中 可利用结合律简化计算。 注意交换律不一定成立。
1 1 1 1
例:设 A 2 2 2 2 求A100
3 3 3 3 4 4 4 4
提示:
1 1 1 1 1
A 2 2 2 2 21 1 1 1
方 ●公式法
法 ●拆项法
●乘积法
计算行列式的方法比较灵活， 同一行列式可以有多种计算方 法；有的行列式计算需要几种 方法综合应用
在计算时，首先要仔细 考察行列式在构造上的特点， 利用行列式的性质对它进行 变换后，再考察它是否能用 常用的几种方法．
利用行列式的定义:
(1)如果一个n阶行列式中等于零的元素比 n2 n还多，则此行列式必等于零.
3303 3330
分析特点：各列（各行）的元素的和相等。
(3)将A分解为B C, A B C B,C形式简单，且BC CB. 则An (B C)n Bn Cn1Bn1C Cnn1BC n1 C n 如习题教材例12
复习:
行阶梯形矩阵的特点： （1）可画出一条阶梯线，线的下方全为0； （2）每个台阶只有一行， （3）每行左起第一个非零元素称为非零元，
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
求X .
a12 a22 , a32
方法：分析A和B的联系，
C2 C1 C2 C3
AB
小结:第二章:主要内容行列式的计算
●定义法
行 ●化三角形法
列 式
●递推法
的 ●加边法
计 算
●数学归纳法
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
1
1 1 1 1
A100 1099 21 1 1 1 1099 2 2 2 2
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3 3 3 Biblioteka 44 4 4 4总结: 求An的一般方法： （1）数学归纳法
（2）若A T ,则An ( T )n ( T )n1 A
1 t1243a11a22a34a43 2x3 故 x3 的系数为1.
a1 0 0 b1
(3).四阶行列式 0 0
a2 b2 b3 a3
0
0 (a1a4 b1b4 )(a2a3 b2b3)
b4 0 0 a4
(4).若1,
2
,
3
,
1,
都
2
是4维
列
向
量,
且
行