高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系教案 新人教B版必修2

2.3.3 直线与圆的位置关系
示范教案
整体设计
教学分析
教材通过两个例题介绍了用代数方法研究直线和圆的位置关系，值得注意的是在教学中要引导学生对比例1的两种解法，使学生真正体会到解法2(几何法)的简便．
三维目标
1．掌握直线与圆的位置关系及其判定方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．能解决与直线和圆的位置关系有关的问题，培养学生数形结合的数学思想．
重点难点
教学重点：直线与圆的位置关系．
教学难点：求圆的切线方程．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
设计 1.我们已经学习了直线、圆的方程，那么如何用方程来讨论直线与圆的位置关系呢？教师点出课题．
设计 2.早晨起来，站在海边上向东方观看：太阳从海平面上缓缓升起．如果把远处的海平面抽象成直线，把太阳抽象成圆，那么其中呈现直线与圆的什么位置关系？今天，我们用方程来讨论，教师点出课题．
推进新课
新知探究
提出问题
初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？并画图表示.
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
讨论结果：
(1)相离、相切、相交．如下图所示．
(2)方法一：根据公共点的个数
方法二：根据圆心到直线距离d与半径r的大小关系．
如下表所示：
方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系．
应用示例
思路1
例1已知圆的方程是x 2＋y 2
＝2，直线方程是y ＝x ＋b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
解法一：所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时，方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧ x 2
＋y 2
＝2，y ＝x ＋b ，
①②
有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题． ②代入①，整理，得 2x 2＋2bx ＋b 2
－2＝0，③ 方程③的根的判别式
Δ＝(2b)2－4×2(b 2
－2) ＝－4(b ＋2)(b －2)．
当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点；
当b ＝2或
b ＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点． 以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(如下图)．
解法二：圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、无公共点的问题，可以转化为b 取何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题．
圆的半径r ＝2，圆心O(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b|
2
.
当d<r ，即－2<b<2时，圆与直线相交，有两个公共点；
当d ＝r ，|b|＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点； 当d>r ，|b|>2，即b<－2或b>2时，圆与直线相离，圆与直线无交点．
点评：解法一称为代数法，解法二称为几何法．几何法是判定直线与圆的位置关系的最优解法．
代数法步骤：
①将直线方程与圆的方程联立成方程组；
②利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程； ③求出其判别式Δ的值；
④比较Δ与0的大小关系，若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离．
几何法步骤：
①把直线方程化为一般式，求出圆心和半径； ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
③作判断：当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切；当d<r 时，直线与圆相交．
变式训练
判断下列直线与圆(x －1)2＋(y －1)2
＝1的位置关系： (1)x －y －2＝0；(2)x ＋2y －1＝0.
解：已知圆的圆心为C(1,1)，半径r ＝1.
(1)点C 到直线x －y －2＝0的距离为d 1＝|1－1－2|
12＋－
2
＝ 2. 又r ＝1，所以d 1>r ，可知直线与圆相离．
(2)点C 到直线x ＋2y －1＝0的距离为d 2＝|1＋2×1－1|12＋22
＝25
＝25
5. 因为d 2<r ，所以此直线与圆相交．
例2已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2
，求过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程(如下图)．
解法一：如果x 0≠0，且y 0≠0，则直线OM 的方程为y ＝y 0
x 0
x ，从而过点M 的圆的切线的
斜率为－x 0
y 0
，因此所求圆的切线方程为
y －y 0＝－x 0
y 0
(x －x 0)，
化简，得
x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 2
0.
因为点M(x 0，y 0)在圆上，所以 x 20＋y 20＝r 2.
所以，过圆x 2＋y 2＝r 2
上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为
x 0x ＋y 0y ＝r 2
.
如果x 0＝0或y 0＝0，我们容易验证，过点M(x 0，y 0)的切线方程也可以表示为x 0x ＋y 0y ＝r 2
的形式．因此，所求的切线方程为
x 0x ＋y 0y ＝r 2
.
解法二：设P(x ，y)为所求切线上的任意一点，当P 与M 不重合时，△OPM 为直角三角
形，OP 为斜边，所以OP 2＝OM 2＋MP 2，即x 2＋y 2＝x 20＋y 20＋(x －x 0)2＋(y －y 0)2
.
整理得x 0x ＋y 0y ＝r 2
.可以验证，当P 与M 重合时同样适合上式，故所求的切线方程是
x 0x ＋y 0y ＝r 2
.
解法三：设P(x ，y)为所求切线上的任意一点，当点M 不在坐标轴上时，由OM⊥MP 得k OM ·k MP ＝－1，即y 0x 0·y 0－y x 0－x ＝－1，整理得x 0x ＋y 0y ＝r 2
.可以验证，当点M 在坐标轴上时，P
与M 重合，同样适合上式，故所求的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2
.
点评：解决直线与圆相切问题的关键是如何利用圆的切线性质，即圆的切线垂直于经过切点的半径．解法一是利用圆的切线性质，求出切线斜率，从而得切线方程；解法二是利用圆的切线性质，得到直角三角形，由勾股定理解决；解法三是利用圆的切线性质，得两直线垂直，由斜率关系解决．解法一是通法，以后常用解法一来解决直线与圆相切的问题．
变式训练 1．直线 3x －y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3 D ．－33或3 3
解析：圆x 2＋y 2
－2x －2＝0的圆心为(1,0)，半径为3，因为直线3x －y ＋m ＝0为圆的切线，
因此圆心(1,0)到直线的距离为圆的半径 3.
从而d ＝|3×1＋－＋m|
32＋－
2
＝3， 解得m ＝±23－3， ∴m＝3或m ＝－3 3. 答案：C
2．求过点M(3,1)，且与圆(x －1)2＋y 2
＝4相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0， 因为圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，
所以|k －3k ＋1|k 2＋－2
＝2，解得k ＝－34.所以切线方程为y －1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －13＝0.
当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为x ＝3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x ＝3也符合题意．
所以直线l 的方程是3x ＋4y －12＝0或x ＝3.
3．设直线mx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2
＝1相切，求实数m 的值．
解：已知圆的圆心为O(0,0)，半径r ＝1，则O 到已知直线的距离d ＝|m×0＋－＋2|m 2＋－2＝2
m 2
＋1
. 由已知得d ＝r ，即2
m 2＋1
＝1，
解得m ＝± 3.
思路2
例3已知直线l ：3x ＋y －6＝0和圆心为C 的圆x 2＋y 2
－2y －4＝0，判断直线l 与圆的位置关系，如果相交，求它们交点的坐标．
解法一：由直线与圆的方程得⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋y －6＝0，
x 2＋y 2
－2y －4＝0.
消去y 得x 2
－3x ＋2＝0.
∵Δ＝(－3)2
－4·1·2＝1>0， ∴直线与圆相交，有两个交点．
解法二：圆的方程可化为x 2＋(y －1)2
＝5，
其圆心的坐标为(0,1)，半径长为 5.
圆心到直线的距离为d ＝5
10
< 5.
∴直线与圆相交，有两个交点．
由x 2
－3x ＋2＝0得x 1＝2，x 2＝1.当x 1＝2时，y 1＝6－3×2＝0； 当x 2＝1时，y 2＝6－3×1＝3， 得交点坐标为(2,0)、(1,3)．
点评：利用几何法判断比利用代数方法要快．但求交点坐标时仍需联立方程．
直线与圆的位置关系的判定：法一：看由它们的方程组成的方程组有解的个数；法二：可以依据圆心到直线的距离与半径的关系．
变式训练
1．直线l ：3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋y 2
＝4的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定
解析：圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|6|9＋16＝6
5<r ＝2，则直线l 与圆相交，有2个交
点．
答案：C
2．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2
＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )
A ．[－3， 3 ]
B ．[－3，3)
C ．[－
33，33 ] D ．[－33，33
) 解析：数形结合的方法．如下图所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，
∴直线l 的倾斜角θ的取值范围为[0°，30°]∪[150°，180°)． ∴直线l 的斜率的取值范围为[－33，3
3
]． 答案：C
例4已知过点M(－3，－3)的直线l 被圆x 2
＋y 2
＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．
分析：利用几何图形的性质，半弦长、半径与圆心到直线的距离所构成的直角三角形求解．
解：将圆的方程写成标准形式，得x 2＋(y ＋2)2
＝25. 所以圆心为(0，－2)，半径为r ＝5.
因为直线l 被圆截得的弦长是45，所以弦心距为
52
－
452
2
＝5，
即圆心到所求直线l 的距离为 5. 因为直线过点(－3，－3)，
所以可设所求直线l 的方程为y ＋3＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －3＝0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离 d ＝|2＋3k －3|k 2
＋1＝ 5. 两边平方整理得，2k 2
－3k －2＝0， 解得k ＝－1
2，k ＝2.
所以所求的直线方程为
y ＋3＝－1
2
(x ＋3)或y ＋3＝2(x ＋3)，
即x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝0.
点评：本题解法突出了适当地利用几何性质，有助于简化运算，强调图形在解题中的辅助作用，加强了形与数的结合．
变式训练
1．过直线y ＝x 上的一点作圆(x －5)2＋(y －1)2
＝2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2
关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为( )
A ．30° B．45° C ．60° D．90°
解析：如下图，过圆心O′作O′A 垂直于直线y ＝x ，垂足为A(3,3)．易知过点A 向圆所引两条切线是关于直线y ＝x 对称的．
又|O′A|＝22，|O′C|＝2，∠O′AC＝30°，即两切线l 1与l 2间夹角为60°. 答案：C
2．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．
分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其他问题易解．
解：设圆C 的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2
(r>0)，如下图．
则弦长p ＝2r 2
－d 2
，其中d 为圆心到直线x －y －1＝0的距离，
∴p＝2r 2
－
2
2
＝22.∴r 2
＝4.
∴圆的方程为(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y －1＝0，－2
＋＋2
＝4，
解得弦的两端点坐标是(2,1)、(0，－1)．
∴过弦两端点的该圆的切线方程是y ＝1和x ＝0.
知能训练
1．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．
答案：(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9或(x －3)2＋(y －1)2
＝9.
2．圆x 2＋y 2
＝2上的点到直线3x ＋4y ＋25＝0的距离的最小值为( ) A ．5－ 2 B ．5＋ 2 C ．3 D.5－ 2 答案：A
3．以M(－4,3)为圆心的圆与直线2x ＋y －5＝0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )
A ．0<r<2
B ．0<r< 5
C ．0<r<2 5
D ．0<r<10 答案：C
4．若经过两点A(－1,0)、B(0,2)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －a)2
＝1相切，则a ＝________.
答案：4± 5
5．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2
－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是__________．
解析：化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2
＝1.
因为直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2
＝1没有公共点，
因此圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径(r ＝1)．
故
|3－8＋m|
5
＞1 ⇔|m －5|＞5 ⇔m ＞10或m ＜0. 答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
6．从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2
＝4引切线，求切线方程．
解：把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2＝4，得(4－2)2＋52＝29>4，所以点P 在圆(x －2)2
＋y 2
＝4外．设切线斜率为k ，则切线方程为y －5＝k(x －4)，即kx －y ＋5－4k ＝0.又圆心坐
标为(2,0)，r ＝2.因为圆心到切线的距离等于半径，即|2k －0＋5－4k|k 2
＋1
＝2，k ＝21
20. 所以切线方程为21x －20y ＋16＝0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x ＝4.
7．圆x 2＋y 2
＝8内有一点P 0(－1,2)，AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当AB 的长最短时，求直线AB 的方程．
解：(1)当α＝135°时，直线AB 的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线AB 的方程为 y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1.
弦心距d ＝
1
2
，半径r ＝22，弦长|AB|＝2r 2
－d 2
＝28－1
2
＝30. (2)当AB 的长最短时，OP 0⊥AB，因为kOP 0＝－2，所以k AB ＝1
2，直线AB 的方程为y －2
＝1
2
(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. 拓展提升
(1)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2
有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围；
(2)若关于x 的不等式1－x 2
>x ＋b 解集为R ，求实数b 的取值范围．
解：(1)如下图，方程y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线l ；
方程y ＝1－x 2
表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆，
当直线过B 点时，它与半圆交于两点，此时b ＝1，直线记为l 1；
当直线与半圆相切时，b ＝2，直线记为l 2. 直线l 要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2)， 所以1≤b<2，即所求的b 的取值范围是[1，2)．
(2)不等式1－x 2>x ＋b 恒成立，即半圆y ＝1－x 2
在直线y ＝x ＋b 上方， 当直线l 过点(1,0)时，b ＝－1，所以所求的b 的取值范围是(－∞，－1)． 课堂小结
1．判断直线与圆的位置关系的方法：几何法和代数法． 2．求切线方程． 作业
本节练习B 2,3,4题．
设计感想
本节教学设计以例题教学为主，突出了圆的几何性质的应用．渗透了数形结合的思想．在设计过程中，考虑到高考要求，例题的难度有所增加，在实际教学中可选择应用．
备课资料
备选习题
1．圆(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝1的切线方程中有一个是( )
A ．x －y ＝0
B ．x ＋y ＝0
C ．x ＝0
D ．y ＝0
解析：圆心为(1，－3)，半径为1，故此圆必与y 轴(x ＝0)相切． 答案：C
2．圆x 2
＋2x ＋y 2
＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：C
3．已知圆x 2－4x －4＋y 2
＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________． 答案：
2
2
4．已知圆C 的圆心与点P(－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为__________．
解析：设圆心为C(a ，b)，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
k CP ＝－2－a 1－b ＝－1，线段PC 中点－2＋a 2，1＋b
2
在y ＝x ＋1上
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＋1＝0，a －b －1＝0 ⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝－1.
∴C(0，－1)．
设C 半径为r ，点C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ，
则d ＝|3×0＋－－11|32＋42
＝3. ∴r 2＝(|AB|2
)2＋d 2
＝9＋9＝18.
∴x 2
＋(y ＋1)2
＝18.
答案：x 2＋(y ＋1)2
＝18
5．直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：(x －3)2＋(y ＋6)2
＝25.
(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程．
(1)证明：设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有d ＝|6m ＋6－8m －3|4m 2
＋1，整理可得4(d 2－1)m 2
＋12m ＋d 2
－9＝0 ①，为使上面关于m 的方程有实数解，需要Δ＝122
－16(d 2
－1)(d 2
－9)≥0，解得0≤d≤10，可得d<5.故不论m 为何实数值，直线l 与圆C 总相交；
(2)解：由(1)可知0≤d≤10，即d 的最大值为10.根据平面几何知识可知：当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆C 截得的线段长度最短．所以当d ＝10时，线段(即弦
长)的最小长度为252－102
＝215.将d ＝10代入①可求得m ＝－16，代入直线l 的
方程得直线与圆C 截得最短线段时的方程为x ＋3y ＋5＝0.。