高中物理 第二章第6节力的分解目标导学 教科版必修1

6．力的分解
答案：（1）分力（2）逆运算（3）对角线（4）邻边（5）无数（6）实际作用效果（7）垂直（8）F cos θ（9）F sin θ
1．力的分解
（1）定义：求一个已知力的分力叫力的分解．
（2）分解依据
力的分解是力的合成的逆运算，仍然遵循平行四边形定则，即把一个已知力作为平行四边形的对角线，则与已知力共点的平行四边形的两个邻边就表示这个力的两个分力．如图，如果没有其他限制，对于一条对角线可以作出无数个不同的平行四边形，即一个力F可以分解成无数对大小、方向不同的分力．
【例1－1】下列说法错误的是（）
A．力的分解是力的合成的逆运算
B．把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同C．力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则
D．分力一定小于合力
解析：力的合成是求几个力的合力，而力的分解是求一个力的分力，且都满足平行四边形定则，因此，A、C均正确；合力与分力有等效替代关系，所以合力的作用效果与分力的共同作用效果一定相同，B正确；分力可以大于合力，如两力大小相等、方向相反时，合力为零．
答案：D
【例1－2】下列说法中正确的是（）
A．一个2 N的力可分解为7 N和4 N的两个分力
B．一个2 N的力可分解为9 N和9 N的两个分力
C．一个6 N的力可分解为4 N和3 N的两个分力
D．一个8 N的力可分解为4 N和3 N的两个分力
解析：力的分解是力的合成的逆运算，若分力为F1、F2，则合力的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，按此原则A、D错误，B、C正确．
答案：BC
谈重点力的分解中合力与分力的关系
力的分解是力的合成的逆运算，遵循平行四边形定则，分力可以大于、等于、小于合力，但分力仍然介于两分力之差与两分力之和范围内；分力夹角越大，分力越大．2．实际分解力的方法
在实际分解一个力时，一般沿这个力产生的两个效果的方向进行分解．
基本步骤为：
（1）画出已知力的示意图；
（2）根据力的两个效果确定分力的方向；
（3）以该力为对角线作出两个分力方向的平行四边形，共点的两邻边即为两个分力．求分力的方法：
（1）作图法
利用平行四边形作出分力的图示后，按给定的标度求出两分力的大小，用量角器量出各分力与已知力间的夹角即为分力的方向．
（2）计算法
利用平行四边形作出分力的图示后，根据几何知识求出分力的大小，并确定其方向．【例2】如图所示，一个质量为m＝2 kg的均匀球体，放在倾角θ＝37°的光滑斜面上，并被斜面上一个竖直的光滑挡板挡住，处于平衡状态．求出球体对挡板和斜面的压力的大小．（g＝10 N/kg）
解析：如图所示，球的重力产生了两个效果：使球垂直压紧斜面的分力F1和使球垂直
压紧挡板分力F2，则F1＝
mg
cos θ
＝25 N，F2＝mg tan θ＝15 N
答案：15 N 25 N
点技巧分力的求解
分解后形成的平行四边形中，如果出现直角三角形，可以应用三角函数公式表示出各力大小关系，求出未知力．常用三角函数关系如下，a、b为两直角边，c为斜边，θ为a 对的角：
sin θ=a c
cos θ=b c
tan θ=a b
3．正交分解
（1）目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好的“合”．
（2）适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成．
（3）步骤：
①建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
②正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号F x和F y表示，如图所示．
③在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出F x、F y的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解．
④分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：
F x ＝F 1x ＋F 2x ＋… F y ＝F 1y ＋F 2y ＋…
⑤求共点力的合力：合力大小F ＝F 2
x ＋F 2
y ，合力的方向与x 轴的夹角为α，则tan α＝F y F x ，即α＝arctan F y F x
．
【例3】在同一平面内共点的四个力F 1、F 2、F 3、F 4的大小依次为19 N 、40 N 、30 N 和15 N ，方向如图所示，求它们的合力的大小．
解析：如图（a ）所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x 轴、y 轴上的合力F x 和F y ，有
F x ＝F 1＋F 2cos 37°－F 3cos 37°＝27 N F y ＝F 2sin 37°＋F 3sin 37°－F 4＝27 N
因此，如图（b ）所示，合力F ＝F 2x ＋F 2
y ≈38.2 N，tan φ＝F y F x
＝1，即合力的大小约为38.2 N ，方向与F 1夹角为45°，斜向上． 答案：38.2 N
点技巧 正交分解法的优点及建立坐标系原则 优点：
（1）借助数学中的直角坐标系来描述力．
（2）几何图形关系简单，是直角三角形，计算更加方便．
（3）分解多个力后，可将矢量运算转化为代数运算求合力．原则：
应当使尽量多的力落在坐标轴上，减少被分解力的个数．
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2，则F1＝
mg tan α，F2＝mg
cos α
．
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2，则F1＝mg tan
α，F2＝mg
cos α
．
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分
力F2，则F1＝F2＝mg
2sin α
．
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC
的分力F2，此时有：F1＝mg tan α，F2＝mg
cos α
．
【例4－1】为了行车方便与安全，许多高大的桥要造很长的引桥，这样做的主要目的是（）
A．减小过桥车辆的重力
B．减小过桥车辆受到的摩擦力
C．减小过桥车辆对桥面的压力
D．减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力
解析：如图所示，重力G产生的效果是使物体下滑的分力F1和使物体压紧斜面的分力F2，则F1＝G sin θ，F2＝G cos θ，倾角θ减小，F1减小，F2增大．
高大的桥造很长的引桥主要目的是减小桥面的坡度，即减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力，从而使行车安全，选项D正确．
答案：D
【例4－2】如图所示，一位重600 N的演员模型悬挂在绳上静止．若AO绳与水平方向的夹角为37°，BO绳水平，则AO、BO两绳受到的力各为多大？（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）
解析：模型对竖直绳的拉力F 等于模型的重力G ，由于该力的作用AO 、BO 也受到拉力的作用，因此F 产生了沿AO 方向、BO 方向使O 点拉绳的分力F 1、F 2，将F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力．如图所示，由画出的平行四边形可知：
AO 绳上受到的拉力
F 1＝
G sin 37°＝
600
sin 37° N ＝1 000 N
BO 绳上受到的拉力
F 2＝
G tan 37°＝600
tan 37° N ＝800 N
答案：1 000 N 800 N 析规律 分力方向的确定
（1）确定力的实际作用效果是正确进行力的分解的前提，力的作用效果的确定：一方面靠自己观察感受，另一方面靠分析推理．
（2）分解力时要注意合力与分力必须作用在同一物体上．
（3）实际分解力时，并非必须按实际效果方向进行分解，有时根据题目需要可任意方
向分
5．对力的分解的个数的讨论
力分解时有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形（或三角形）．若可以构成平行四边形（或三角形），说明该合力可以分解成给定的分力，即有解．如果不能构成平行四边形（或三角形），说明该合力不能按给定的分力分解，即无解．
具体情况有以下几种：
条件一：已知两个分力的方向．
分析：将力F分解为沿OA、OB两个方向上的分力时，可以从F矢端分别作OA、OB的平行线，即可得到两个分力F1和F2．如图所示，有一解．
条件二：已知一个分力的大小和方向．
分析：已知合力F及其一个分力F1的大小和方向时，先连接F和F1的矢端，再过O点作射线OA与之平行，然后过合力F的矢端作分力F1的平行线与OA相交，即得到另一个分力F2，如图所示，有一解．
条件三：已知两分力的大小．
分析：已知合力F和两个分力F1、F2的大小时，以O为圆心，F1大小为半径画圆弧，再以F的矢端为圆心，F2的大小为半径画圆弧，两圆弧的交点即为F1的矢端，如图所示，有两解，但当F1＝F2时有一解．
条件四：已知一个分力的方向和另一个分力的大小．
分析：已知合力F、分力F1的方向OA及另一个分力F2的大小时，以合力F的矢端为圆心，以F2为半径画圆弧：
（1）若F2＜F sin θ，弧与OA无交点，即三力构不成封闭三角形，则无解；（2）若F2＝F sin θ，弧与OA有一个点，则有一解；（3）若F2＞F，弧与OA无交点，则有一解；（4）若F sin θ＜F2＜F，弧与OA有两个交点，则有两个解．
【例5－1】将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时（）
A．有无数组解
B．有两组解
C．有唯一解
D．无解
解析：设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2小＝F sin 30°＝5 N．而5 N＜F2＜10 N，F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形，故此时有两组解，B正确．
答案：B
【例5－2】把一个已知力F 分解，要求其中一个分力F 1跟F 成30°角，而大小未知；
另外一个分力F 2＝33
N ，但方向未知，则F 1的大小可能是（ ） A ．33F B ．32
F C ．3F D ．233
F 解析：F sin 30°＝12，因为33F ＞F 2
，由图知，F 1的大小有两种可能值．
在直角三角形OAF 中，
OA ＝F cos 30°＝32
F ． 在直角三角形F 1AF 中，
F 1A ＝F 22－(F 2)2＝36
F ． 由对称性可知，
AF1′＝F1A＝
3
6 F．
F1′＝OA＋AF1′＝23 3
F
答案：AD
点技巧对矢量三角形的理解
矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代．把代表两个分矢量的有向线段首尾相连，则合矢量就从第一个矢量的起点到第二个矢量的末端，如果三个力能构成封闭三角形，则可以构成合力、分力关系，如果三个力不能构成封闭三角形，则不可以构成合力、分力关系．若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段首尾相连必定构成封闭三角形．。