2022年湖北省黄冈市永西中学高三数学理联考试题含解析

2022年湖北省黄冈市永西中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质．
【分析】通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．
【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），
过P作PN垂直直线x=﹣1于N，
由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，
所以∠NPA=45°，
=cos∠NPA=．
故选B．2. 某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a1，a2，…，a10（如：a3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
A
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出大于115的．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出门票大于115的天数．
由统计表可知：参与统计的十天中，第2、7、8这3天门票大于115．
故最终输出的值为：3
故选：A．
3. 设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）
A．3 B． C. 2 D．
参考答案：
A
如图，取中点，，则，∴，
∵，∴，∴.
4. 设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）
A．B．C．D．4
参考答案：
A
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】利用线性规划的知识求出则Z max在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，
再利用基本不等式求的最小值．
【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D（4，6），
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，
则Z max在点D处取得最大值；
即4a+6b=12，
所以2a+3b=6，
所以，
当且仅当a=b=时取“=”．
故选：A．
5. 若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为( )
A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6
参考答案：
D
考点：复数的基本概念．
专题：计算题．
分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，而虚部不为0，得到结果．
解答：解：若复数为虚数单位）
==，
∵复数是一个纯虚数，
∴a﹣6=0，
∴a=6经验证成立，
故选D．
点评：本题考查复数的基本概念，考查复数的除法运算，考查复数是一个纯虚数，要求实部为零，而虚部不为0，本题是一个基础题．
6. 函数的定义域为( )
A．（1，3] B．（﹣∞，3] C．（0，3] D．（1，3）
参考答案：
A
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数的性质得到0＜x﹣1≤2，解出即可．
【解答】解：由1﹣log2（x﹣1）≥0，即log2（x﹣1）≤1，
解得0＜x﹣1≤2，即1＜x≤3，
所以函数的定义域为（1，3]．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的定义域、对数函数的图象与性质，是一道基础题．
7. 双曲线的焦点坐标为（）
A.（3，0）和（－3,0）
B.（2，0）和（－1，0）
C.（0，3）和（0，－3）
D.(0,1)和(0,－1)参考答案：
A 8. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）
A． B． C. D．
参考答案：
C
9. 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（）
（A）8，8（B）9，7 （C）10，6（D）12，4
参考答案：
B
略
10. 若集合，全集，则=（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
因为，所以,所以，选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 按下图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是.
参考答案：
（28,57] 12. 已知双曲线
的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C
的方程为
．
参考答案：
分析：
利用双曲线
的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，建立方程组，求出
a ，
b 的值，即可求得双曲线的方程．
解答：
解：∵双曲线
的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，
∴
，解得
，a=2
∴双曲线的方程为
故答案为：
13. 记“点M （x ，y ）满足x 2+y 2≤a（a ＞0）”为事件A ，记“M（x ，y ）满足”为事件
B ，若P （B|A ）=1，则实数a 的最大值为 ．
参考答案：
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，利用条件概率，判断圆与可行域的关系，再求出a 的最大值．
【解答】解：M （x ，y ）满足
，画出可行域如图所示三角形；
记“点M （x ，y ）满足x 2+y 2≤a（a ＞0）“为事件A ，
记“M（x ，y ）满足
”为事件B ，
若P （B|A ）=1，说明圆的图形在可行域内部，
实数a 的最大值是圆与直线x ﹣y+1=0相切时对应的值，
此时d=r ， 即
=
，
解得a=，
所以实数a 的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了线性规划的基本应用问题，利用目标函数的几何意义是解题的关键，是中档题．
14. 双曲线的焦点坐标是 ，渐近线方程是 ．
参考答案：
；
试题分析：由双曲线方程可知其焦点在轴上，且,,
所以焦点为;渐渐线方程即.
考点：双曲线的焦点,渐近线.
15. 设P是曲线为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____．
参考答案：
【分析】
由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．
【详解】曲线（θ为参数），即有
，
由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，
设P（x0，y0），M（x，y），
可得
，代入曲线方程，可得
2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，
即为8x2﹣4y2＝1．
故答案为：8x2﹣4y2＝1．
【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．
16. 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，，则C
的参数方程为
▲
．
参考答案：
17. 如图3.这是一个把k进掉数a（共有n位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为2，110011，6，则输出的b＝．
参考答案：
51
依程序框图得．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；
（2）若函数的最小值记为m，设，且有，试证明：. 参考答案：
（1）因为，
所以作出函数的图象如图所示.
从图中可知满足不等式的解集为.
（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
从而
.
当且仅当时，等号成立，
即，时，有最小值，
所以得证. 19. 各项均为正数的数列中，a1=1，S n是数列的前n项和，对任意，有（1）求常数P的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记，求数列的前n项和T n.
参考答案：
略
20. (本小题满分12分）已知,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)设,若,求的值.
参考答案：
(Ⅰ)∵∴
又∵,……3分∴
, ………………5分
∴.…………………6分
(Ⅱ)∵∴即
…………………8分
两边分别平方再相加得:∴∴……10分
∵且∴…………………12分
21. 某班高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．
参考答案：
(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，
所以全班人数为＝25.
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016. …………………4分
(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，…………………8分
其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6. …………………12分
略
22. 如图，已知AC是圆O的直径，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB．
（1）证明：BE∥平面PAD
（2）求证：平面BEO⊥平面PCD．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）证明平面OEB∥平面PAD，即可证明BE∥平面PAD；
（2）证明CD⊥平面PAD，利用平面OEB∥平面PAD，证明CD⊥平面OEB，即可证明：平面BEO⊥平面PCD．
【解答】证明：（1）连接OE，则OE∥PA，
∵OE?平面PAD，PA?平面PAD，
∴OE∥平面PAD，
∵∠DAC=∠AOB，∴OB∥AD，
∵OB?平面PAD，AD?平面PAD，
∴OB∥平面PAD，
∵OB∩OE=O，
∴平面OEB∥平面PAD，
∵BE?平面OEB，
∴BE∥平面PAD
（2）∵AC是圆O的直径，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥PA，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵平面OEB∥平面PAD，
∴CD⊥平面OEB，
∵CD?平面PCD，
∴平面BEO⊥平面PCD．
【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力属于中档题．。