2020学年 陕西省西安市西北大学附中 高一下学期期中数学试题(解析版)

2020学年陕西省西安市西北大学附中高一下学期期中数学
试题
一、单选题
1．点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动
43
π
弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为（ ）
A ．1,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．122⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
C ．1,22⎛-- ⎝⎭
D ．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】点P 从()1,0出发,沿单位圆逆时针方向运动
43
π
弧长到达Q
点,43QOx π∴∠=，44cos ,33Q sin ππ⎛
⎫
∴ ⎪⎝
⎭，1,22Q ⎛∴-- ⎝⎭
，故选C. 2．设向量(1,0)a =r ，11
(,)22
b =r ，则下列结论正确的是（ ）
A ．a b =r r
B ．2
a b ⋅=r r C ．//a b r r D ．a b -r r 与b r 垂直
【答案】D
【解析】求出向量a r ，b r
的模和数量积，运用向量共线的坐标表示，即可判断A ，B ，C 均错，D 正确． 【详解】
1a =r ，1
2b ==r ，故答案A 不正确，
1
2
a b ⋅=r r ，故答案B 不正确，
11
1022
⨯≠⨯，则a r 与b r 不共线，故C 错误， 由题得11
(,)22
a b -=-r r ，则()0a b b -⋅=r r r ，
()a b b ∴-⊥r r r
，故答案D 正确
故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积，向量的模的坐标运算，向量共线、垂直的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．
3．若扇形的面积为
38
π
、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．
32
π B ．
34
π C ．
38
π D ．
316
π 【答案】B
【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π
8
，半径为1， ∴
2313824
l ππαα=∴= 故选B
4．在ABC ∆中，AB c =u u u r r ，AC b =u u u r r ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r
，则AD =u u u r （ ）
A ．2133b c +r r
B ．5233
-r r
c b
C ．2133
b c -r r
D ．1233
+r r
b c
【答案】C
【解析】由2BD DC =u u u r u u u r
得到23
BD BC =u u u r u u u r ，再由平面向量的线性运算，得
AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r ，BC AC AB =-u u u
r u u u r u u u r ，最后将AD u u u r 用基底,b c r r 来表示，即可得出答案.
【详解】
由2BD DC =u u u r u u u r
得23
BD BC =u u u r u u u r ，
又AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r Q ，BC AC AB =-u u u
r u u u r u u u r ，
221()333
AD AB AC AB AC AB ∴=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，
即2133
AD b c =-u u u r r r .
故选：C. 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理，其中向量的线性运算是关键，属于基础题. 5．函数2sin()4
y x π
=-的一个单调递减区间是（ ）
A ．5,44ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．3,44ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．37,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】将函数整理成2sin()4
y x π
=--，由正弦函数的单调性及复合函数的单调性法
则，可得答案． 【详解】
2sin()2sin()44
y x x ππ
=-=--，
由22()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，得：
322()4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈， ∴函数2sin(
)4y x π
=-的单调递减区间为[2,2]()44
k k k π3π
π-π+∈Z ， 当0k =时，函数2sin()4y x π
=-的一个单调递减区间是3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 故选：B. 【点睛】
本题考查复合三角函数的单调性，先将其变形再判断，考查分析与运算的能力，属于中档题．
6．已知()4
sin 5
πα+=且α是第三象限的角，则()cos 2πα-的值为（ ） A ．4
5
-
B ．35
- C ．45± D ．35
【答案】B
【解析】由sin()πα+的值及α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cos α的值，再利用诱导公式，则可求出()cos 2πα-的值． 【详解】 由()4
sin 5
πα+=
得4sin 5α=-，
αQ 为第三象限角，3
cos 5α∴=-，
3
cos(2)cos 5
παα∴-==-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了同角三角函数间的基本关系，三角函数的诱导公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 7．若1
tan 2
α=，则sin cos αα=（ ） A ．1 B ．23 C ．12
D ．
2
5
【答案】D
【解析】将sin cos αα化成二次齐次分式，利用同角三角函数间的商数关系，代入tan α
的值，即可得出答案. 【详解】
222
sin cos tan sin cos sin cos 1tan ααα
ααααα
=
=+
+Q ， 又1tan 2
α=
， 21
22sin cos 1
5
1()2
αα∴==+. 故选：D. 【点睛】
本题考查了同角三角函数的商数关系，化二次齐次分式求解.属于基础题. 8．为了得到函数3sin 2cos 2y x x =-的图像，只需把函数4sin cos y x x =的图像
（ ） A ．向右平移12
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度
C ．向左平移6π
个单位长度 D ．向右平移
6
π
个单位长度 【答案】A
【解析】利用恒等变换，将两个函数的解析式化简为同一种三角函数，再用平移规则，找出正确答案. 【详解】
4sin cos 2sin 2y x x x ==，
3sin 2cos 22sin(2)2sin 2()612
y x x x x ππ
=-=-=-，
故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数图象的平移，属简单题．
9．如图，22p =u r ，3q =r ，p u r 、q r 的夹角为4
π
，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，
D 为BC 的中点，则AD u u u r
为（ ）
A ．
152
B ．
132
C ．7
D ．18
【答案】A
【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r
，从而可用p u r 、q r 表示
AD u u u r
，进而可以求出它的模．
【详解】
根据向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r
，
52AB p q =+u u u r u r r Q ，3AC p q =-u u u r u r r
，
11(6)322
AD p q p q ∴=-=-u u u r u r r u r r ，
22
1934
AD p p q q ∴=-⋅+u u u r u r u r r r
又22p =u r ，3q =r ，p u r 、q r 的夹角为4
π，
221
9(22)3223cos 344
AD π∴=⨯-⨯⨯⨯+⨯u u u r
152
=
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则、向量的数量积的定义式以及向量的模计算．体现了数形结合的思想，同时也考查了学生应用知识分析解决问题的能力．
10．函数()()sin f x A x ωϕ=-0,0,2A πωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝
⎭的部分图像如图所示，则
()()()()123...11f f f f ++++=（ ）
A ．2
B ．22+
C ．222+
D ．222--【答案】C
【解析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的周期性即可得到结论． 【详解】
由图象可得：2A =，周期8T =， ∴
28
π
ω=，即4πω=，
图象过点（2，2）， 由五点作图法得
242
π
π
ϕ⨯-=
，则0ϕ=，
()2sin
4
f x x π
∴=，
且由周期为8可知，()()()()123...80f f f f ++++=
()()()()123...11(9)(10)(11)f f f f f f f ∴++++=++ ()()()123f f f =++ 232sin
2sin
2sin 4
44
π
ππ=++
2=+故选：C ． 【点睛】
本题考查了由图象求出三角函数的解析式，和周期函数的计算．属于基础题．
11．若1cos 7α=
，()sin 14
αβ+=
，02πα<<，02πβ<<，则角β的值为（ ） A ．
4
π
B ．
3
π C ．
8
π D ．
6
π 【答案】B
【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求出sin α，cos()αβ+的值，当
11cos()14
αβ+=
时，求出sin 0β<，矛盾，可得11cos()14αβ+=-，然后利用两角
差的余弦公式求得cos cos[cos()]βαβα=+-的值，可得β的值． 【详解】
αQ ，β均为锐角，
0αβπ∴<+<，
由1cos 7α=
，()sin 14αβ+=，
得sin α=
1
cos 7α=
，11cos()14
αβ+=±， 若11
cos()14
αβ+=
， 则sin sin[()]βαβα=+-
sin()cos cos()sin αβααβα=+-+
1110147147
=
⨯-⨯<， 与sin 0β>矛盾， 故11
cos()14
αβ+=-
， 则cos cos[()]βαβα=+-
cos()cos sin()sin αβααβα=+++
111147147
=-
⨯+ 12
=
， 又(0,
)2
π
β∈Q ，
3
π
β∴=
.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦、余弦公式，其中对cos()αβ+取值的分析是关键，属于中档题.
12．已知向量(cos 2,sin )a αα=r ，(1,2sin 1)b α=-r ，(,)2
π
απ∈，若25
a b ⋅=r r ，则
tan()4
π
α+=（ ）
A ．
14
B ．
15
C ．
16
D ．
17
【答案】D
【解析】通过数量积的坐标运算求得1sin a b α⋅=-r r
，结合题意可知，3sin 5
α=
，又由α的范围求得cos α的值，进而求出tan α的值，最后利用两角和的正切公式，求出结果. 【详解】
(cos 2,sin )a αα=r
Q ，(1,2sin 1)b α=-r
cos 2sin (2sin 1)a b ααα∴⋅=+-r r
21sin 5
α=-=
， 3
sin 5
α∴=，
又(
,)2
π
απ∈Q ，
4cos 5α∴=-，3
tan 4
α=-，
tan tan
4tan()41tan tan 4
π
απαπ
α+∴+=
-⋅ 31431()1
4-+=--⨯ 17
=。

故选：D. 【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，同角三角函数的关系，以及两角和的正切公式，属于中档题.
二、填空题
13．cos20cos40cos60cos80︒︒︒︒⋅⋅⋅=______． 【答案】
116
【解析】【详解】
cos20cos40cos60cos80︒⋅︒⋅︒⋅︒
2sin20cos20cos40cos60cos802sin20︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒
=
︒
2sin40cos40cos60cos804sin20︒⋅︒⋅︒⋅︒=︒
2sin80cos80cos60sin16018sin2016sin2016︒⋅︒⋅︒︒===︒．
故答案为：1
16
14．已知f （x ）＝2sin （2x 6π-）﹣m 在x ∈[0，2
π
]上有两个不同的零点，则m 的取值范围为________． 【答案】[1，2) 【解析】令t ＝2x 6π-
，由x ∈[0，2
π
]可得t ∈[6π-，56π]，由题意可得y ＝2sin t 和y ＝m 在[6π-
，56
π]上有两个不同的交点，从而求得m 的取值范围． 【详解】
令t ＝2x 6π-，由x ∈[0，2
π
]可得6π-≤2x 566ππ-≤，故 t ∈[6π-，56π]． 由题意可得g （t ）＝2sin t ﹣m 在t ∈[6π-，56
π
]上有两个不同的零点，
故 y ＝2sin t 和y ＝m 在t ∈[6π-，56
π
]上有两个不同的交点，如图所示：
故 1≤m ＜2， 故答案为[1，2）．
【点睛】
本题考查正弦函数的图象，函数的零点的判定方法，体现了数形结合及转化的数学思想，画出图形是解题的关键． 15．已知6sin sin αβ-=
3cos cos αβ+=，则2cos
2αβ+=______.
【答案】
14
【解析】将已知两式平方后再相加，结合同角三角函数间的平方关系，以及二倍角余弦公式，即可得到结果. 【详解】
6sin sin 3αβ-=
Q ①，3cos cos 3
αβ+=②， ∴①2+②2，得22(cos cos sin sin )1αβαβ+-= ，
1
cos()2
αβ∴+=-，
则由二倍角余弦公式可得：
2
1cos()1
cos 2
24
αβ
αβ+++=
=.
故答案为：14
. 【点睛】
本题考查了同角三角函数间的平方关系，以及二倍角余弦公式的应用，属于中档题. 16．在平行四边形ABCD 中, AD =" 1,"60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =u u u r u u u r
, 则AB 的长为 . 【答案】
1
2
【解析】设AB 的长为x ，因为AC =u u u r AB BC +u u u r u u u r ，BE =u u u r BC CE +u u u r u u u r ，所以·AC BE =u u u r u u u r
()AB BC +⋅u u u r u u u r ()BC CE +u u u r u u u r =2AB BC AB CE BC BC CE ⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1cos18022
x x x +⋅o +
1+1cos1202x ⋅o
=1，
解得12
x =，所以AB 的长为1
2.
【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.
三、解答题
17．已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝2
，且c ∥a ，求c ；
(2)若|b |＝，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【答案】（1）
或
；（2）
【解析】解：（1）设， ∵
，， ∴， ∴
，
∵， ∴， ∴
， 即
，
∴或
∴或
（2）∵， ∴，
∴， 即
，
又∵
，，
∴， ∴，
∵，， ∴，
∵， ∴.
18．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()
0,ωϕπ><的图像如图所示.
（1）求,ωϕ的值； （2）设()()4g x f x f x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，求函数()g x 的单调递增区间. 【答案】（1）2ω=，2
π
ϕ=-；
（2）[
,]()2828
k k k Z ππππ
-+∈. 【解析】（1）由图象可知44T π=，则T π=，可求出2ω=，再根据图象过点(,1)2
π
，
求出ϕ的值；
（2）利用第（1）题的结果，化简()f x ，再得出()g x 的解析式，利用正弦函数的单调性，求复合函数的单调区间. 【详解】 解：（1）由图可知
44
T π
=，则T π=， 22π
ωπ
∴=
=，
图象过点(
,1)2
π
，则222
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
，()k ∈Z
22
k π
ϕπ∴=-
又ϕπ<Q ，2
π
ϕ∴=-，
故2ω=，2
π
ϕ=-
；
（2）由（1）可得()sin(2)cos 22
f x x x π
=-=-，
则()()()4
g x f x f x π
=-
cos 2[cos 2()]4
x x π
=---
cos2sin 2x x =
1
sin 42
x = 由24222k x k ππ
ππ-≤≤+，
解得
2828
k k x ππππ-≤≤+， 故函数()g x 的单调递增区间为[,]()2828
k k k Z ππππ
-+∈. 【点睛】
本题考查了由三角函数的图象求解析式，余弦型复合函数的单调区间求解问题，属于中档题.
19．在平面直角坐标系xOy
中，已知向量
22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭u r ,(sin ,cos )n x x =r ,0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭. （1）若m n ⊥u r r
，求tan x 的值；
（2）若m u r 与n r
的夹角为
3
π
，求x 的值.
【答案】（1） 1 （2）512π 【解析】（1）. 若m n ⊥u r r
,则m n ⋅u r r ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值；
（2）.若m u r 与n r
的夹角为3
π
，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求的x 值． 【详解】
（1）由m n ⊥u r r
，则0m n x x ⋅=
-=u r r
x x ，所以sin =cos x x 所以tan =1x
（2
）1m ==u r ，
1n =
=r
sin 22
m n x x ⋅=
-u r r
又m u r 与n r 的夹角为3π
，则1=cos 32
m n m n π⋅⋅=u r r
u r r
即1=222
m n x x ⋅=
-u r r
即1
sin 42
x π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭ 由0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则4
4
4
x π
π
π
-
<-
<
所以=
4
6
x π
π
-
，即5=
+
=
4
6
12
x π
π
π 【点睛】
本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
20．已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、
()cos ,sin C αα，3,22
ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （1）若AC BC =u u u v u u u v
，求角α的值；
（2）若1AC BC ⋅=-u u u v u u u v ，求22sin sin21tan αα
α
++的值.
【答案】（1）
54π
；（2）95
- 【解析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tan α的值，根据α的范围求得α；（2）根据向量的基本运算根据 1AC BC ⋅=-u u u v u u u v
，求得sin α和
cos α的关系式，然后用同角和与差的关系可得到5
2sin cos 9
αα=-，再由化简可得
22sin sin 2 2sin cos 1tan ααααα
+=+，进而可确定答案．
【详解】
（1）∵AC BC =u u u r u u u r
，
化简得tan 1α=，
∵3,22ππα⎛⎫
∈
⎪
⎝
⎭
，∴54πα=． （2）∵ 1AC BC ⋅=-u u u v u u u v
，
∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-， ∴2sin cos 3αα+=
，∴52sin cos 9
αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25
2sin cos 1tan sin cos 9
ααααααααααα++==-++＝．
【点睛】
本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题，属于中档题. 21．设函数()sin sin()2
f x x x π
ωω=++，x ∈R .
（1）若1
2
ω=，求()f x 的最大值及相应的x 的取值范围； （2）若8
x π
=
是()f x 的一个零点，且010ω<<，求ω的值和()f x 的最小正周期.
【答案】（1）()f x
，相应的x 的取值集合为34,2x x k k Z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭
；
（2）())4
f x x π
=
-，T π=.
【解析】（1）利用诱导公式和辅助角公式基本公式将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，结合三角函数的性质，可得最大值，及相应的x 的取值范围； （2）当8
x π=
时，()0f x =，010ω<<，可求ω的值和()f x 的最小正周期．
【详解】
解：函数()sin sin()2
f x x x π
ωω=++
化简可得：()sin cos )4
f x x x x π
ωωω=-=
-，
())4
f x x π
ω∴=-，
（1）当1
2ω=时，1()sin()24
f x x π=-，
当1
2()242
x k k Z ππ
π-=+∈时，函数()f x ， 故
()f x ，
相应的x 的取值集合为34,2x x k k Z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭
； （2）()sin()08
84
f π
ππ
ω=
-=Q ，
,84
k k Z ππ
ωπ∴-=∈，即82,k k Z ω∴=+∈
又010ω<<，
0k ∴=，2ω=，
则函数())4
f x x π
=
-，
最小正周期为22
T π
π==. 【点睛】
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的性质的运用，属于中档题． 22．函数()sin (0,)2
y x π
ωϕωϕ=+><在同一个周期内，当4
x π
=
时y 取最大值1，
当712
x π
=
时，y 取最小值﹣1． （1）求函数的解析式y=f(x)；
（2）函数y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象？
（3）若函数f （x ）满足方程f(x)=a （0＜a ＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和． 【答案】（1）()sin(3)4
f x x π
=-
；（2）见解析；（3）
112
π
. 【解析】（1）通过同一个周期内，当4
x π
=
时y 取最大值1，当712
x π
=
时，y 取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f （x ）； （2）函数y=sinx 的图象经过左右平移，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=f （x ）的图象，确定函数解析式；
（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f （x ）=a （0＜a ＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和． 【详解】 （1）∵272124w πππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝
⎭ ，∴3w =， 又因
，∴
，又
，得
∴函数()sin 34f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
； （2）y=sinx 的图象向右平移个单位得
的图象，
再由
图象上所有点的横坐标变为原来的．
纵坐标不变，得到的图象，
∵的周期为
，
∴在[0，2π]内恰有3个周期，
∴在[0，2π]内有6个实根且，
同理，
， 故所有实数之和为．
【点睛】
本题考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象，考查数形结合的思想，考查计算能力，是中档题．。