椭圆的标准方程课件
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2 2
y x 1 5 4
x y x y 上述椭圆 1 和 1 9 4 4 5 它们的焦点分别位于哪根坐标轴上？
2
2
2
2
y
y
P( x, y)
F2
F2
P( x, y)
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
y
P F2 P x
y
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c ，F2 0,c
a 2 c2 b2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
椭圆的故事
• 十五世纪前后， 欧洲人普遍认 为地球是宇宙 的中心 • 地球就被十一 个「天球」所 包围。
圆
定义
图像
椭圆
标准方程
…
类比联想
1.建立坐标系 2.设点的坐标 3.列等式
4.代坐标
y
5.化简方程
以圆心O为原点，建立直角坐标系， 设圆上任意一点P(x，y)
OP r
P ( x, y )
x
r
O
2
x y r
2 2
两边平方，得
x y r
2
2
<1>对于给定条件,是否只有一种建系方法? <2>不推导,你能写出另一种椭圆的标准方程吗? <3>椭圆的标准方程特点是什么? y y
P
F2
F1
o
F2
x
o
F1
x
P
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
y x 2 1a b 0 2 a b
2
2
基础练习
填空：
x y 3 5 2 1中, a=___,b=___, c=___. (1) 在椭圆 9 4
2
2
1 5 在椭圆 5x2 4 y 2 20 中，a=___, b=___, c=___. 2 (2)
例2 已知: 椭圆焦点坐标分别是(-4,0)(4,0),椭圆上
一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标 准方程 变式<1>已知:椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 且椭圆经过点 2, 4 5 ,求椭圆的标准方程．
5
学生练习
y x 若方程 1表示焦点在y轴上的椭圆, 5k k 3 则k的范围是 ________ .
2)a=4 ,c=1，焦点在坐标轴上；
2 2 x2 y 2 y x 1 或 1 16 15 16 15 3 3)焦距为2,且过(0, 15); (2,
5 2
)
x2 y 2 1 16 15
课后探索阶段
思考:平面内到两个定点的距离差、积、
商为定值的点的轨迹是否存在? 若存在轨迹是什么?
宇宙论的演变
• 在 1543 年，哥白尼提出了「日心说」的 理论。
开普勒的行星定律
开普勒（1571 1630）
焦点的由来
• 第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运行， 太阳位于椭圆的一个焦点上. 火星
太阳
学生活动
求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1)a=4,b= 15，焦点在x轴上；
x2 y 2 1 16 15
(0, 5),(0, 5) ____________
数学应用
例1 已知一个运油车上的储油罐横截面的外轮廓线 是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程.
y
.
F
数学应用
例1 已知一个运油车上的储油罐横截面的外轮廓线 是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程. y 解：以两焦点 F1 , F2所在直线为 x 轴， 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立 如图直角坐标系，则这个椭圆的标准 x F1 O F2 方程为 x2 y 2 2 1(a b 0) 由题意 2a 3, 2c 2.4 2 a b b2 a2 c2 1.52 1.22 0.81 a 1.5, c 1.2 x2 y2 因此所求椭圆标准方程为 2.25 0.81 1
如何根据标准方程判断焦点位于哪根坐标轴上？
x 2 y2 若P为椭圆 + =1上一个动点，则P到两 4 9 6 个焦点之间的距离之和为 ____________ 若P到其中一个焦点F1的距离是4，则P到另 外一个焦点F2的距离是____，其中a=____, 2 3 y b=____,焦点位于____轴上，焦点坐标是 2
圆
图像
椭圆
定义
…
试一试：取一条一定长的细绳， 把它的两端固定在画图板上的F1和F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时， 用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板
上慢慢移动．
F1
M F2
圆
图像
椭圆
定义
…
椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离
之和等于常数( 大于F1F2)的点的轨 迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点的距离叫做焦距.
2
2
例3、若动点P到两定点F1 （-4，0）、 F2 4， （ 0）的距离之和为8，则动 点P的轨迹是（ B ） A、椭圆 C、直线F1F2 B、线段F1F2 D、不存在
绳长＝ F1F2
绳长＜ F1F2
回顾反思
标准方程
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b a b
课后探索阶段
思考:平面内到两个定点的距离差、积、
商为定值的点的轨迹是否存在? 若存在轨迹是什么?
卡西尼卵形线
生活中，我们如何得到一个椭圆？
证明
Q1 F1 P F2
在圆柱上下两端放入两个 半球体，并与截面相切于 F1 和 F2 注意： PF1 = PQ1。
y x 1 5 4
x y x y 上述椭圆 1 和 1 9 4 4 5 它们的焦点分别位于哪根坐标轴上？
2
2
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y
y
P( x, y)
F2
F2
P( x, y)
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
y
P F2 P x
y
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c ，F2 0,c
a 2 c2 b2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
椭圆的故事
• 十五世纪前后， 欧洲人普遍认 为地球是宇宙 的中心 • 地球就被十一 个「天球」所 包围。
圆
定义
图像
椭圆
标准方程
…
类比联想
1.建立坐标系 2.设点的坐标 3.列等式
4.代坐标
y
5.化简方程
以圆心O为原点，建立直角坐标系， 设圆上任意一点P(x，y)
OP r
P ( x, y )
x
r
O
2
x y r
2 2
两边平方，得
x y r
2
2
<1>对于给定条件,是否只有一种建系方法? <2>不推导,你能写出另一种椭圆的标准方程吗? <3>椭圆的标准方程特点是什么? y y
P
F2
F1
o
F2
x
o
F1
x
P
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
y x 2 1a b 0 2 a b
2
2
基础练习
填空：
x y 3 5 2 1中, a=___,b=___, c=___. (1) 在椭圆 9 4
2
2
1 5 在椭圆 5x2 4 y 2 20 中，a=___, b=___, c=___. 2 (2)
例2 已知: 椭圆焦点坐标分别是(-4,0)(4,0),椭圆上
一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标 准方程 变式<1>已知:椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 且椭圆经过点 2, 4 5 ,求椭圆的标准方程．
5
学生练习
y x 若方程 1表示焦点在y轴上的椭圆, 5k k 3 则k的范围是 ________ .
2)a=4 ,c=1，焦点在坐标轴上；
2 2 x2 y 2 y x 1 或 1 16 15 16 15 3 3)焦距为2,且过(0, 15); (2,
5 2
)
x2 y 2 1 16 15
课后探索阶段
思考:平面内到两个定点的距离差、积、
商为定值的点的轨迹是否存在? 若存在轨迹是什么?
宇宙论的演变
• 在 1543 年，哥白尼提出了「日心说」的 理论。
开普勒的行星定律
开普勒（1571 1630）
焦点的由来
• 第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运行， 太阳位于椭圆的一个焦点上. 火星
太阳
学生活动
求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1)a=4,b= 15，焦点在x轴上；
x2 y 2 1 16 15
(0, 5),(0, 5) ____________
数学应用
例1 已知一个运油车上的储油罐横截面的外轮廓线 是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程.
y
.
F
数学应用
例1 已知一个运油车上的储油罐横截面的外轮廓线 是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程. y 解：以两焦点 F1 , F2所在直线为 x 轴， 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立 如图直角坐标系，则这个椭圆的标准 x F1 O F2 方程为 x2 y 2 2 1(a b 0) 由题意 2a 3, 2c 2.4 2 a b b2 a2 c2 1.52 1.22 0.81 a 1.5, c 1.2 x2 y2 因此所求椭圆标准方程为 2.25 0.81 1
如何根据标准方程判断焦点位于哪根坐标轴上？
x 2 y2 若P为椭圆 + =1上一个动点，则P到两 4 9 6 个焦点之间的距离之和为 ____________ 若P到其中一个焦点F1的距离是4，则P到另 外一个焦点F2的距离是____，其中a=____, 2 3 y b=____,焦点位于____轴上，焦点坐标是 2
圆
图像
椭圆
定义
…
试一试：取一条一定长的细绳， 把它的两端固定在画图板上的F1和F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时， 用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板
上慢慢移动．
F1
M F2
圆
图像
椭圆
定义
…
椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离
之和等于常数( 大于F1F2)的点的轨 迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点的距离叫做焦距.
2
2
例3、若动点P到两定点F1 （-4，0）、 F2 4， （ 0）的距离之和为8，则动 点P的轨迹是（ B ） A、椭圆 C、直线F1F2 B、线段F1F2 D、不存在
绳长＝ F1F2
绳长＜ F1F2
回顾反思
标准方程
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b a b
课后探索阶段
思考:平面内到两个定点的距离差、积、
商为定值的点的轨迹是否存在? 若存在轨迹是什么?
卡西尼卵形线
生活中，我们如何得到一个椭圆？
证明
Q1 F1 P F2
在圆柱上下两端放入两个 半球体，并与截面相切于 F1 和 F2 注意： PF1 = PQ1。