(课标通用)安徽省2019年中考数学总复习 单元检测5 四边形试题

单元检测(五) 四边形
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(xx·云南)一个五边形的内角和是()
A.540°
B.450°
C.360°
D.180°
答案A
2.(xx·桐城模拟)在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有()
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
答案B
解析平行四边形判定一:两组对边分别平行的四边形是平行四边形:①②;平行四边形判定二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形:③④;平行四边形判定三:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形:①③或②④;共有4种选法,故选B.
3.(xx·上海)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是()
A.∠A=∠B
B.∠A=∠C
C.AC=BD
D.AB⊥BC
答案B
解析∵∠A=∠B,AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,故A选项正确;∵∠A=∠C,一组对角相等是任意平行四边形都具有的性质,故B选项不能判断;∵对角线相等,平行四边形是矩形,故C选项能判断;∵AB⊥BC,∴∠B=90°,故D选项能判断.
4.(xx·浙江嘉兴)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是()
答案C
解析根据尺规作图以及菱形的判定方法.
5(xx·江苏淮安)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是
()
A.20
B.24
C.40
D.48
答案A
解析设菱形的两条对角线交于点O,则BO=4,CO=3,在Rt△BOC中,由勾股定理可得
BC==5,所以菱形的周长为:5×4=20.
6.
(xx·甘肃天水)如图所示,点O是矩形ABCD对角线AC的中点,OE∥AB交AD于点E.若
OE=3,BC=8,则OB的长为()
A.4
B.5
C. D.
答案B
解析∵四边形ABCD是矩形,
∠ABC=90°,AB∥CD,AB=CD,点O是AC的中点.
∵OE∥AB,∴OE∥CD,
∴OE是△ACD的中位线,
∴CD=2OE=6,∴AB=6.
在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∴AC=10.
∵OB是Rt△ABC斜边的中线,
∴OB=AC=5.
7.
(xx·山东烟台)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示,点O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为()
A.7
B.6
C.5
D.4
答案D
解析
(法一,排除法)连接AC,BD,∵菱形ABCD中,AC=6,BD=8,
∴CO=3,DO=4,CO⊥DO,
∴CD=5,而CN<CD,
∴CN<5,故排除A,B,C,故选D.
(法二,正确推导)可证△BMO≌△DNO,
∴DN=BM,由折叠的性质知,
B'M=BM=1=DN,由法一知,CD=5,
∴CN=4.
8.(xx·海南)如图1,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC、EG剪开,拼成如图2所示的▱KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱KLMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为()
A.24
B.25
C.26
D.27
答案B
解析设长方形纸片长、宽分别为x、y,正方形纸片边长为z,
四边形OPQR是正方形,
∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①;
∵▱KLMN的面积为50,
∴xy+z2+(z-y)2=50,
把①代入,得(2z-y)·y+z2+(z-y)2=50,
∴2zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50,整理,得2z2=50,
∴z2=25,
∴正方形EFGH的面积=z2=25,故选B.
9.(xx·安庆外国语学校模拟)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是()
A. B. C. D.-1
答案D
解析∵正方形ABCD的边长为1,∴∠DCA=45°,AC=.又∵正方形AB1C1D1是由正方形ABCD旋转45°而得到的,∴∠OB1C=90°,B1C=-1.∴四边形AB1OD的面积=S△ADC-×1×1-
×(-1)2=-1.∴选择D.
10.
(xx·四川眉山)如图,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF、BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案D
解析如图1,连接AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证△ADF≌△MCF,∴AD=MC,又∵
AD=BC,DC=AB=2AD,∴AB=BM.∴∠ABC=2∠ABF,故①正确;如图2,延长EF、BC,相交于点G.容易证明△DEF≌△CGF,∴FE=FG.∵BE⊥AD,AD∥BC,∴∠EBG=90°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EF=BF,②正确;由于BF是△BEG的中线,∴S△BEG=2S△BEF,而S△BEG=S四边形DEBC,所以S四边形DEBC=2S△EFB,故③正确;设∠DEF=x,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠G=x,∵FG=FB,∴∠G=∠FBG=x,∴∠EFB=2x,∵CD=2AD,F为CD中点,BC=AD,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF=x,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF,故④正确;故本题答案为D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(xx·福建)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于度.
答案108
解析如图,由正五边形的内角和,得∠1=∠2=∠3=∠4=108°,∠5=∠6=180°-108°=72°,∠7=180°-72°72°=36°.∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°,故答案为108.
12.
(xx·山东潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.
答案-1,
解析连接AM,在Rt△AB'M和Rt△ADM中,AB'=AD,AM=AM,
∴Rt△AB'M≌Rt△ADM,
∴∠DAM=∠B'AM==30°.
在Rt△ADM中,tan30°=,
∴DM=AD tan30°=1×.
∴M为-1,.
13.(xx·江苏苏州)如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为(结果保留根号).〚导学号16734159〛
答案2
解析连接PM,PN,∵四边形APCD,PBFE是菱形,
∴PA=PC,∵AM=MC,
∴PM⊥AC,同理PN⊥BE.
∴∠CPM+∠CPN=∠APC+∠BPE=90°,
∵∠DAP=60°,
∴∠CAP=∠NPB=30°,
设AP=x,则PB=8-x,
∴PM=x,PN=(8-x).
∴MN=
=
=,
∴当x=6时,MN有最小值,最小值为2.
14.(xx·铜陵模拟)在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为.
答案5.5或0.5
解析如图1,当E在线段AD上时,在菱形ABCD中,BE=BC=EF=5,因为M是EF的中点,所以
EM=EF=2.5.在矩形ABCD中,∠A=90°,AB=4.在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==3,所以AM=AE+EM=5.5;如图2,当点E在线段AD外时,同理可求AM=EM-AE=3-2.5=0.5.故选填5.5或0.5.
三、(本大题共2小题,每小题13分,满分26分)
15.
(xx·黑龙江大庆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F.
(1)证明:四边形CDEF是平行四边形;
(2)若四边形CDEF的周长是25 cm,AC的长为5 cm,求线段AB的长度.
(1)证明∵D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点,
是Rt△ABC的中位线,
∴ED∥FC.BC=2DE,
又EF∥DC,
∴四边形CDEF是平行四边形.
(2)解∵四边形CDEF是平行四边形,
DC=EF,
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴AB=2DC,
∴四边形DCFE的周长=AB+BC,
∵四边形DCFE的周长为25cm,AC的长为5cm,
∴BC=25-AB,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13(cm).
16.
(xx·安徽名校模拟)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:△ADF≌△CEF;
(2)求证:△DEF是等腰三角形.
解证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADC=∠B=90°.
由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,
∴AD=CE,∠ADC=∠CEA.
在△ADF与△CEF中,
∴△ADF≌△CEF(AAS).
(2)由(1)得△ADF≌△CEF,
∴EF=DF,∴△DEF是等腰三角形.
四、(本大题共2小题,每小题13分,满分26分)
17.
(xx·贵州遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.
(1)求证:OM=ON;
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.
(1)证明正方形ABCD中,AC=BD,OA=AC,OB=OD=BD,∴OA=OB=OD.
∵AC⊥BD,∴∠AOB=∠AOD=90°,
∴∠OAD=∠OBA=45°,
∴∠OAM=∠OBN,
又∵∠EOF=90°,∴∠AOM=∠BON,
∴△AOM≌△BON,∴OM=ON.
(2)解如图,过点O作OP⊥AB交AB于点P,
∴∠OPA=90°,∠OPA=∠MAE,
∵E为OM中点,
∴OE=ME,
又∵∠AEM=∠PEO,∴△AEM≌△PEO.
∴AE=EP.∵OA=OB,OP⊥AB,
∴AP=BP=AB=2,
∴EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,
∴OP=PB=2.
Rt△OEP中,OE=,
∴OM=2OE=2,Rt△OMN中,OM=ON,
∴MN=OM=2.
18.(xx·吉林)如图①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED 为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.
(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;
(2)当点D为AB中点时,▱ADEF的形状为;
(3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.
解(1)证明:如题图①,∵DE∥AC,
∴∠DEF=∠EFC.
∵∠DEF=∠A,∠A=∠EFC,∴EF∥AB.
∴四边形ADEF为平行四边形.
(2)菱形
理由如下:∵点D为AB中点,
∴AD=AB,
∵DE∥AC,点D为AB中点,
∴DE=AC,
∵AB=AC,∴AD=DE,
∴平行四边形ADEF为菱形.
(3)结论:四边形AEGF为矩形,
理由:如题图②,由①知四边形ADEF为平行四边形,
∴AF DE,AD=EF,
∵EG=DE,∴AF EG,
∴四边形AEGF是平行四边形.
∵AD=AG,∴AG=EF,
∴四边形AEGF为矩形.
五、(本大题共2小题,每小题14分,满分28分)
19.
(xx·安徽皖北十校联考)如图,已知等边△ABC,D为△ABC外一点,AD∥BC,且∠ADC=60°.
(1)求证:四边形ABCD为菱形;
(2)点E、F分别是AB、BC上的点,且AE=BF,AF与CE交于点H,求∠AHC的度数;
(3)连接HD,若HD平分∠AHC交AC于O点,OD=3,OH=1,求菱形ABCD的面积.
(1)证明∵AD∥BC,△ABC为等边三角形,
∠DAC=∠ACB=60°.
∵∠ADC=60°,∴△ADC为等边三角形,
∴AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD为菱形.
(2)解由题知,在△ABF和△CAE中,BF=AE,∠B=∠CAE,AB=CA,
△ABF≌△CAE(SAS).
∴∠BAF=∠ACE.
∵∠AEH=∠B+∠BCE,
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE.
即∠AHC=∠B+∠ACB=60°+60°=120°.
(3)解∵HD平分∠AHC,
∠OAD=∠AHD=60°.
∵∠ODA=∠ADH,
∴△OAD∽△AHD,∴,
∴AD2=OD·HD,
即AD2=3×(3+1)=12,
∵AD>0,∴AD=2,
∴S=AB·BC·sin∠B=2×2=6.
20.(xx·霍邱二模)在平行四边形ABCD中,∠BCD=120°,∠GCH=60°,∠GCH绕点C旋转角,角的两边分别与AB、AD交于点E、F,同时也分别与DA、BA的延长线交于点G、H.
(1)如图1,若AB=AD.
①求证:△BEC≌△AFC;
②在∠GCH绕点C旋转的过程中,线段AC、AG、AH之间存在着怎样的数量关系?并说明理由.
(2)如图2,若AD=2AB.经探究得的值为常数k,求k的值.
(1)①证明∵四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD,
∴四边形ABCD为菱形.
∵∠BCD=120°,
∴∠B=∠BAC=∠BCA=∠D=∠CAD=∠ACD=60°.
∴BC=AC,∠BCE+∠ACE=60°.
∵∠GCH=60°,∴∠FCA+∠ACE=60°.
∴∠FCA=∠BCE.
∴△BEC≌△AFC(ASA).
②解AC2=AG·AH,
理由:∵四边形ABCD为菱形,且∠GAE=∠HAF,
∴∠GAC=∠CAH.
∵∠CAD=60°,
∴∠G+∠ACE=60°.
∵∠FCA+∠ACE=60°,
∴∠G=∠FCA.
∴△AGC∽△ACH.
∴,
∴AC2=AG·AH.
(2)解过点C作CH⊥AD,垂足为H.
∵四边形ABCD为平行四边形,∠BCD=120°,
∴∠D=60°.
设HD=x,则有CD=2x,CH=x,
∵AD=2AB,∴AD=4x,AH=4x-x=3x.
∵AC2=AH2+CH2,
∴AC=2x.∴AC2+CD2=AD2.
∴∠ACD=∠CAE=90°.
在四边形AECF中,∠EAF=120°,∠ECF=60°,
∴∠EAF+∠ECF=180°,
∴∠CFH=∠CEA.
∵∠CHF=∠CAB=90°,
∴△CFH∽△CEA.
∴.
∵∠ACD=90°,∠D=60°,∴∠CAD=30°.
∴=2,即AE=2FH.
∴.∴k=.〚导学号16734160〛。