无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)教程文件

无穷限反常积分敛散性及审敛法则
一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。

让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/ 学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。

但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。

由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析
1. 本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。

例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容
1. 无穷限反常积分的定义与计算方法
2. 无穷限反常积分的性质
3. 无穷限反常积分的比较审敛法则
4. 条件收敛与绝对收敛
3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2 课时
四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。

五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

U2 5
a f(x)dx a f(x)dx
U2
u
i
f (x)dx
六.教学环境
网络环境下的多媒体教室与课堂互动。

七、教学过程
一、无穷限反常积分的定义
定义1设函数/定义在无穷区间存在极限
［a,)上，且在任何有限区间［a,u］上可积.如果
则称此极限J为函数f
f (x)dx ,并称
a
f (x)dx 发散.
类似地，可定义f在(
lim
u
u
a f(x)dx
J
在［a,)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
u
f(x)dx收敛.如果极限Jim a f(x)dx J不存在，亦称,b ］上的无穷积分: b b
f (x)dx lim f (x)dx.
u u
)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：
a
f (x)dx f (x)dx
a
f (x)dx,其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.
注: f (x)dx收敛的几何意义是：若f在［a,］上为非负连续函数，则介于曲线
f (x)，直线x a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J .
dx 例1讨论无穷积分1) 一., 2)
0 1 x , 3) 2
xe x dx.的收敛性.
例2讨论下列无穷积分的收敛性：1) 1
dx
了，
2)
2
dx ; x(ln
x)p'
、无穷积分的性质
由定义知道，无穷积分f(x)dx收敛与否，取决于积分上限函数F(u)
a
u 时是否存在极限•因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则. u
a f (x)dx 在
定理11.1无穷积分一f (x)dx收敛的充要条件是：任给>0,存在G> a ,只要U i,U2 G，便有
此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质.
k 1 f 1(x) k 2f 2(x)dx 也收敛，
定理11.2 (比较法则)设定义在［a,)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间［a,u ］
性质1 若
a
fMxjdx 与 f 2(x)dx 都收敛，k ! , k 2为任意
常数，则
k 1
f 1
(x) k 2 f 2 (x) dx k 1
h(x)dx k 2
f 2(x)dx .
a
必收敛, 质2若f 在任何有限区间
［a,u )上可积，且有
a
f (x) dx 收敛，则
f(x)dx 亦
并有
f(x)dx
f (x) dx •
证：
a
f (x) dx 由收敛, 根据柯西准则
(必要性)，任给 0 ,存在
u 2 5 G 时，总有
不等式，又有
再由柯西准则 又因
U
2
u
i
f (x) dx
U 2
u
i
f(x)dx
(充分性)，证得
u
f (x)dx
a
U 2 f (x)d^
U
2
U l
f (x)dx 收敛
f (x)dx ，令 u
U l
f (x) dx .利用定积分的绝对值
取极限，立刻得到不等式
f (x)dx 收敛时，称a f (x)dx 为绝对收敛.性质3指出：绝对收敛的无穷积分,
它自身也一定收敛.但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为
条件收敛.
性质3若f 在任何有限区间［a,u ］上可积，a b ，则
a
f (x)dx 与 © f (x)dx 同敛 b
态(即同时收敛或同时发散)，且有
f (x)dx = f (x)dx +
a
a
b
f (x)dx ,
性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出 f (x)dx 收敛的另一充要条
件：任给 >0，存在G 0，当u >G 时，总有
f(x)dx
事实上，这可由
u
f (x)dx f (x)dx
a
u
f (x)dx 结合无穷积分的收敛定义而
得.
三、比较判别法
u
首先给出无穷积分的绝对收敛判别法. 由于
a
f (x) dx 关于上限u 是单调递增的，因此
a
判别法:
f (x) dx 收敛的充要条件是
f(x) dx 存在上界•根据这一分析，便立即导出下述比较
f(x) g(x),x [a,),
(i)当 p 1,0 时， f (x)dx 收敛;
a
推论3若f 和g 都在任何［a,u )上可积，g(x) 0,且lim
x
g(x)
(i) 当0 c 时，由 g(x)dx 收敛可推知 f (x) dx 也收敛；
a
a
(ii)
当0 c 时，由
g(x)dx 发散可推知 f(x)dx 也发散.
a
a
四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法.
u
定理11.3 (狄利克雷判别法)若F(u) f(x)dx 在［a,)上有界，g(x)在［a,)
a
无穷积分
f (x) g( x) dx 收敛.
a
上当x 时单调趋于0，则无穷积分
f(x)g(x)dx 收敛.
a
定理 11.4 (阿贝尔(Abel)判别法)若
a
)上单调有界，则
上可积，且满足
则当a g (x)dx 收敛时a f (x) dx 必收敛(或当 解：由于
f (x)dx 发散时，a g(x)dx 必发散).
sin x 1 x 2
1 1 x 2
,x ［0,］，而
舟2为收敛，故o 晋dx
为
绝对收敛. dx
密作为比较对象
P
a
x
a
当选用
1
g(x)dx 时，比较判别法有如下两个推论 (称为柯西判别法).
(i)当 f(x) 1 r p ,x [a, x p )，且 p
1时， a
f (x)dx 收敛；
(ii)当
f(x)
1
p
,x [a, x
)且p 1时，
a
f (
x
)dx 发散.
推论 2设定义于［a,),
在任何有限区间
[a,.u ]上可积，且 lim x p f (x)
有：
.则
(ii)当 P 1,0
时,a f (x)dx 发散.
C,则有
f (x)dx 收敛，g(x)在[a,
a
x 的收敛性.
例3
讨论o
推论 ］(a 0)，且在任何有限区间［a,u ］上可积，则有:
1设f 定义于［a.
用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.
例5
讨论1弓知与1罟
dx(p
0)的收敛性.
解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论.下面分两种情形来讨论:
xs
^4
dx 1 1
s "t 2
dt ，它也是条件收敛的.从例
6
中三个无穷积分的收敛性可以
时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛.
八、学习评价
本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积 分进行
介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。

(i)当 p >1
时1罟dx
绝对收敛.这是因为
sin x x p
1
0,x
[a. ),而
色当
1
x p
p >1时收敛, 故由比较法则推知
1
sin x
x p
dx 收敛. (ii)当 0
sin x ,
厂dx x 条件收敛.
u sin xdx 1
cosl cosu
2，而 1
丄当p
0时单调趋于 p
尸
x
0(x
)，故由狄利克雷判
别法推知1勞,
dx 工当p
0时总是收敛的.
sin x
x p
sin 2x 1 cos2x
,x x 2x 2x
[1,)
cos2x
1 dx
1
2x
2 2
分不是绝对收敛的.所以它是条件收敛的.
cost
dt 是收敛的，而 t
dx
巴是发散的，因此当
2x
1时该无穷积
例6证明下列无穷积分都是条件收敛的.
1
cos
x 2
dx,
xsin x 4dx
sin x 2dx
1
cosx 2
dx
cost
dt.
1
2"
例5知它们是条件收敛的.对
于第一 X 2
二个无穷积分，经换元t
x 2而得
看到，当X
个。