2021年高三第一次摸底考试数学文试题 含答案

2021年高三第一次摸底考试数学文试题 含答案
一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1 ．已知集合,集合,,则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2 ．已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= （ ）
A ．5-5i
B ．7-5i
C ．5+5i
D ．7+5i
3 ．集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的
概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4 ．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）
A ．
B ．
C ．1
D ． 5．命题“对任意,都有”的否定为 （ ）
A ．对任意,使得
B ．不存在,使得
C ．存在,都有
D ．存在,都有
6．已知数列满足{}12430,,103
n n n a a a a ++==-则的前项和等于（ ） A ． B ． C ． D ．
7．执行如图所示的程序框图,若输入 （ ） A ． B ． C ．
D ．
8．直线被圆截得的弦长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．
9．函数的图象大致为（ ）
10．设的内角所对边的长分别为,若,则角=（）
A．B．C．D．
11．一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）
A．200+9πB．200+18π
C．140+9πD．140+18π
12．设函数.
若实数a, b满足, 则
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，
每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13．若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______.
14．若满足约束条件则____________.
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 ______.
16．函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则___________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
等差数列中,
(I)求的通项公式; (II)设
18（本小题满分共12分）
某小组共有五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2) 如下表所示:
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
体重指
标
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在
[18.5,23.9)中的概率
19.（本小题满分12分）如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.已知 .
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.
20．（本小题满分共12分）
已知函数
(I)求
(II)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围
21．(本小题满分12分)
椭圆C:=1(a>b>0)的离心率，a+b=3
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 如图，A,B,D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，
直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，
MN 的斜率为m ，证明2m-k 为定值。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲
如图，，分别为△的边，上的点，且不与△的顶点重合。

已知的长为，的长为，，的长是关于的方程的两个根。

（Ⅰ)证明：，，，四点共圆；
（Ⅱ）若∠，且，，
求，，，所在圆的半径。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。

（Ⅰ)当求的方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与
的异于极点的交点为，求。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数，其中。

（Ⅰ)当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为，求的值。

河北省邯郸市武安三中xx届高三（上）第一次摸底
数学试卷（文科）答案
一、选择题：
1、D
2、C
3、C4．B5、D
6．C7．A8．C9．D10．B
11．A12．A
二．填空题：．
13．﹣．
14．0．
15．．
16．．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴s n=
==
18．解答：（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），
（C，
19．解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD
∵PO、AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD；
（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO= ∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=BD=
因此，△PAO中AO2+PO2=6=PA2
∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，
得到三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=×S△ABC×PO==1
∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=
由此可得三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=×S△ABC×d=×= 因此，三棱锥P﹣BCE的体积V P﹣EBC=V P﹣
ABC﹣V E﹣ABC=．
20．解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，
f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，
当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，
f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）
21．（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．
联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．
所以，．
则．
四、请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
23．解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，
射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．
24．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．
由此可得x≥3或．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组：或．
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为，由题设可得=﹣1，故a=2．
%35152 8950 襐27562 6BAA 殪+30241 7621 瘡40510 9E3E 鸾39533 9A6D 驭29432 72F8 狸28986 713A 焺24967 6187 憇
27115 69EB 槫33282 8202 舂=e。