2021_2022学年高中数学课时分层作业8二项式系数的性质(含解析)北师大版选修2_3

课时分层作业(八)
(建议用时：60分钟)
[根底达标练]
一、选择题
1．在(a －b )20
的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数一样的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项
D ．第18项
B [第6项的二项式系数为
C 5
20，又C 15
20＝C 5
20，所以第16项符合条件．]
2．⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n
的展开式的二项式系数之和为32，那么展开式中含x 项的系数是( )
A ．5
B ．20
C ．10
D ．40
C [根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 那么有2n
＝32，可得n ＝5，
T r ＋1＝C r 5x
2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r
， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，
所以展开式中含x 项的系数是C 3
5＝10，应选C.]
3．设(1＋x ＋x 2)n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2n x 2n
，那么a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n
B.3n
－12 C ．2n ＋1 D.3n
＋12
D [令x ＝1，得3n
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n
＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n
＋1
2
.应选D.]
4．设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n
的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是
( )
A ．第9项
B ．第8项
C ．第9项和第10项
D ．第8项和第9项
A [因为展开式的第5项为T 5＝C 4
n x n －43
－4
，所以令
n －4
3
－4＝0，解得n ＝16.所以展开
式中系数最大的项是第9项．]
5．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b
等于( )
A ．20
B ．21
C ．22
D ．23
C [由a ＝7，可知b 左肩上的数为6，右肩上的数为(11＋5)即16，所以b ＝6＋16＝22.] 二、填空题
6．在⎝
⎛⎭⎪⎫ax －1x 4
a ＝________. －1或3 [由题意可得(a －1)4
＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3.]
7．假设(x 2
＋1)(2x ＋1)9
＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2
＋…＋a 11(x ＋2)11
，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．
－2 [令x ＝－1，那么原式可化为[(－1)2
＋1][2×(－1)＋1]9
＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11
，
∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.]
8．(a ＋a )n
的展开式中奇数项系数和为512，那么展开式的第8项T 8＝________. 120a 132 [C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n ＝10，所以T 8＝C 710a 3(a )7
＝120a 132.] 三、解答题
9．求(1＋x ＋x 2
)(1－x )10
展开式中x 4
的系数．
[解] (1＋x ＋x 2
)(1－x )10
＝(1－x 3
)·(1－x )9
，要得到含x 4
的项，必须第一个因式中的1与(1－x )9
展开式中的项C 4
9(－x )4
作积，第一个因式中的－x 3
与(1－x )9
展开式中的项C 1
9(－x )作积，故x 4
的系数是C 1
9＋C 4
9＝135.
10．对二项式(1－x )10
，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中各二项式系数之和；
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和. [解] (1)展开式共11项，中间项为第6项，
T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5
.
(2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210
＝1 024. (3)设(1－x )10
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 10x 10
， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，
令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1.
[能力提升练]
1．(1＋2x )8
展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，那么b a
的值为( ) A.
1285 B.2567 C.5125 D.1287
A [a ＝C 4
8
＝70，设b ＝C r 82r
，那么⎩⎪⎨⎪⎧
C r 82r
≥C r －182r －1
，
C r 82r ≥C r ＋182r ＋1
，
得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 5825
＝
7×28
，所以b a ＝1285
.]
2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如下图的三角形数阵．记S (m ，
n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，那么S (10,6)对应于数阵中的数是( )
A ．91
B ．101
C ．106
D ．103
B [设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，那么b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n
＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2
－n ＋1，∴b 10＝102
－10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101.]
3．(x －1)11
展开式中x 的偶次项系数之和是________． －1 024 [令f (x )＝(x －1)11
，偶次项系数之和是
f (1)＋f (－1)2
＝
(－2)11
2
＝－1 024.]
4．(1＋x )10
＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2
＋…＋a 11x 10
，假设数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，那么k 的最大值是________．
6 [(1＋x )n
展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第6项的二项式系数最大，故k 的最大值为6.]
5．f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n
(m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2
的系数取最小值时n 的值；
(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和． [解] (1)由C 1
m ＋2C 1
n ＝11， 所以m ＋2n ＝11，
x 2的系数为C 2m ＋22C 2
n ＝
m (m －1)
2
＋2n (n －1)＝m 2－m
2＋(11－m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －2142
＋
351
.
16
因为m∈N＋，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次项的系数之和为30.。