中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第二章 方程(组)与不等式(组)第7讲 分式方程及其应用

超过 1 000 元，求商场共有几种进货方案？
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解：(1)设甲种玩具的进价为 x 元/件，则乙种玩具的进价
为(40－x)元/件，
根据题意，得
，
解得 x＝ ，
经检验，x＝ 是原方程的解，且符合题意．
∴40－x＝ .
答：甲，乙两种玩具的进价分别是 元/件， 元/
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3.分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未知数的取 值范围发生了变化，有可能产生增根，因此在解分式方程时 一定要验根，否则极有可能误将增根当成原分式方程的根.
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巩固提升
1．(2017·哈尔滨)方程x＋2 3＝x－1 1的解为( C )
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解：(1)设排球的单价为x元，则足球的单价为(x＋30)元， 根据题意，得50x0＝x＋80300， 解得x＝50. 经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意． 则x＋30＝80. 答：排球的单价是50元，足球的单价是80元；
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(2017·安顺)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，
已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为 40
元，用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的
件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共 48 件，其中甲种玩具
的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不
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1．分式方程x(x＋3 1)＝1－x＋3 1的根为( B )
A．－1
B．3
C．－1或3
D．1或－3
2．某同学解方程
1 x
－
x－2 x
＝1的过程如下，他的解答过程中
从第几步开始出现错误( A )
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解：去分母，得 1－(x－2)＝1
去括号，得 1－x＋2＝1
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ห้องสมุดไป่ตู้
(1)求今年 4 月份每辆 A 型车销售价多少元(用列方程的方法 解答)；
(2)该车行计划 5 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货 才能使这批车获利最多？
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A、B 两种型号车的进货和销售价格如下表：
A 型车
B 型车
进货价格(元/辆)
1 100
1 400
销售价格(元/辆) 今年的销售价格
2 400
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解：(1)设去年4月份每辆A型车的销售价为x元，那么今 年4月份每辆A型车的销售价为(x＋400)元，根据题意， 得32 x000＝32 00x0＋(14＋0025%)， 解得x＝1 600. 经检验，x＝1 600是原方程的解． 则x＋400＝2 000. 答：今年4月份每辆A型车的销售价为2 000元；
非负数，则a的取值范围是( )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≥1且a≠4
D．a＞1且a≠4
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【解析】 去分母得 2(2x－a)＝x－2，解得 x＝2a－ 3 2.由题意 得2a－ 3 2≥0 且2a－ 3 2≠2，解得 a≥1 且 a≠4，故选 C.
【答案】 C
(2017·毕节)关于 x 的分式方程x－7x1＋5＝2xm－－11
有增根，则 m 的值为( )
A．1
B．3
C．4
D．5
【解析】 方程两边都乘(x－1)，得7x＋5(x－1)＝2m－ 1.∵原方程有增根，∴最简公分母x－1＝0，解得x＝1.当x＝ 1时，7＝2m－1，解得m＝4，∴m的值为4.故选C.
分母中含有_未__知__数___的方程． 2．解分式方程的基本思路是去__分__母____，将分式方程转 化为__整_式__方__程____.
3．解分式方程的一般步骤
(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验．
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考点(kǎo diǎn)二
分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)的增根
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解：(1)设甲类奖品的单价为x元，则乙类奖品的单价为 (x＋30)元．
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类型
(lèixíng)1 类型2
分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)的解
分式方程的应用
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类型 (lèixíng)1
分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)的解 2x－a 1
(2017·黑龙江)若关于x的分式方程 x－2 ＝2的解为
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【答案】(1)9x0＝4105－0x，15,15,25 ,15,25 (2)(48－y)，y1＜5y4＋82－5y(4，8－y)≤1 000， 20≤y＜24 20,21,22,234
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分式方程的应用问题的解法同其他方程一样，不同的是 列出的方程是分式方程，所以解分式方程应用题同样必须检 验，既要检验是否为增根，又要检验是否符合题意.
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分式方程部分不属于中考的必考内容，2017年河南中考 考查了分式方程的去分母问题，平时的复习中应掌握分式方 程的概念、解法及列分式方程解应用题的步骤，解分式方程 中所涉及的转化思想、增根问题也不容忽视．
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命题点 解分式方程(2017年新考查)
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命题(mìng 解分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)(2017年新考查)
tí)点
(2017·河南4题)解分式方程x－1 1－2＝1－3 x，去分母得( A ) A．1－2(x－1)＝－3 B．1－2(x－1)＝3 C．1－2x－2＝－3 D．1－2x＋2＝3
【答案】 C
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1.在解决含字母参数的分式方程问题时，将分式方程去分 母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解满足的条 件及分式方程分母不为 0 即可求出参数的范围.
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2.在解决有关增根的问题时，在增根确定后可按如下步骤 进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即 可求得相关字母的值.
A．x＝3
B．x＝4 C．x＝5
D．x＝－5
2．(2017·聊城)如果解关于x的分式方程
m x－2
－
2x 2－x
＝1时出
现增根，那么m的值为( D )
A．－2
B．2 C．4 D．－4
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类型
分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)的应用
(lèixíng)2
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(2)设今年 5 月份购进 A 型车 m 辆，则购进 B 型车(50－ m)辆，获得的总利润为 y 元． 根据题意，得 50－m≤2m， 解得 m≥1623. 由题可得 y＝(2 000－1 100)m＋(2 400－1 400)·(50－m)＝ －100m＋50 000. ∵－100＜0， ∴y 随 m 的增大而减小，
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考点(kǎo diǎn)三
分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)的应用
解题步骤同其他方程的应用一样，不同的是列出的方程 是分式方程，所以解分式方程应用题同样必须__检__验___，既要 检验是否为增根，又要检验是否使实际问题有意义．
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第二章 方程 与不等式 (组) (fāngchéng)
第7讲
(组)
分式方程 及其应用 (fēn shì fānɡ chénɡ)
(3分)
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【版本导航】人教：八上第十五章 P149—P155； 北师：八下第五章 P125—P133； 华师：八下第十六章 P12—P16.
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考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点三
分式方程的概念与解法（高频考点） 分式方程的增根 分式方程的应用
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考点(kǎo diǎn)一
分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)的概念与解法（高频考点）
1．分式方程的概念
5．(2017·新野县一模)骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱， 顺风车行经营的 A 型车 2016 年 4 月份销售总额为 3.2 万 元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售比去年增加 400 元，若今年 4 月份与去年 4 月份卖出的 A 型车数量相同， 则今年 4 月份 A 型车销售总额将比去年 4 月份销售总额增 加 25%.
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(1)求两类奖品的单价分别是多少元？ (2)若工会购置甲、乙两类奖品时，均分两次购买，第 2 次一
共购买 50 件，其中甲类奖品的单价比第一次购买时贵了 8%，而乙类奖品则以第一次单价的 9 折购进，且两类奖品 的总费用不超过 3 260 元，则工会总共最多买了多少件乙 类奖品？
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(2017·襄阳)分式方程x－2 3＝3x的解是 ． 【解析】 方程的两边同时乘x(x－3)，得2x＝3x－9， 解得x＝9.检验：把x＝9代入公分母，得x(x－3)＝54≠0.所以 原方程的解为x＝9.
【答案】 x＝9
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巩固提升 3．(2017·河池)某班为满足同学们课外活动的需求，要购买
排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30 元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量 相等． (1)排球和足球的单价各是多少元？ (2)若恰好用去1 200元，有哪几种购买方案？
(2)设恰好用去1 200元，可购买排球m个和购买足球n个， 根据题意，得50m＋80n＝1 200， ∴m＝24－85n. ∵m，n都是正整数， ∴当n＝5时，m＝16；当n＝10时，m＝8. ∴有两种购买方案： ①购买排球5个，购买足球16个； ②购买排球10个，购买足球8个．
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第三十六页，共四十二页。
∴当m＝17时，y有最大值，此时50－17＝33. 答：购进A型车17辆，B型车33辆时，才能使这批车获 利最多．
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6．某公司工会为庆“三八”妇女节，特举办女员工抽奖活 动．现需购置甲、乙两类奖品，购置甲类奖品用了 2 500 元，购置乙类奖品用了 2 000 元．若购置乙类奖品的件数 是甲类奖品件数的一半，且乙类奖品单价比甲类奖品贵 30 元．
增根：在进行分式方程去分母的变形中，有时可能产生
使原分式方程分母为__0____的根，称为方程的增根．因此，
解分式方程时必须验根，验根的方法是将求出的整式方程的
根代入最简公分母，使最简公分母为__0__的根是增根，应舍
去，原方程无解；若最简公分母不为零，且方程左右两边相
等，则该整式方程的解就是原分式方程的解．
合并同类项，得－x＋3＝1
移项，得－x＝－2
系数化为 1，得 x＝2
A．①
B．②
C．③
① ② ③ ④ ⑤
D．④
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4．若关于x的分式方程
3 x－4
＋
x＋m 4－x
＝1有增根，则m的值是
__m__＝__－__1____.
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件；
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(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具 件，
根据题意，得
，
解得 ．
∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取 ，
∴共有 种方案．
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【解析】 (1)根据“一件甲种玩具的进价与一件乙种玩 具的进价的和为 40 元”“90 元购进的甲种玩具件数与 150 元购进的乙种玩具件数相同”列方程，解方程即可；(2)根据 “甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数”“总资金不超过 1 000 元”列不等式，解不等式即可．