2021届山东高考数学教学案：第章 第讲 三角函数的图象与性质含解析

2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章第3讲三角函数的图象与性质含解析
第3讲三角函数的图象与性质
［考纲解读］1。

熟练掌握正弦、余弦及正切函数的图象，并能根据图象得出三角函数的性质．（重点）
2．掌握正弦、余弦函数在［0,2π］上的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等）,并理解正切函数在错误!上的单调性．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用．题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π］的图象上，五个关键点是：（0，0)，错误!，(π，0），错误!，（2π，0)．
余弦函数y＝cos x,x∈[0，2π］的图象上，五个关键点是：(0，1)，错误!，(π，－1），错误!，（2π,1）．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域R R
错误!x∈R，且
x≠kπ＋
π
2，k∈Z}值域错误!［－1,1］错误!［－1,1]错误!R
最值
当x＝错误!＋2kπ
（k∈Z）时，y max
＝1;
当x＝错误!＋2kπ
（k∈Z）时，y min
＝－1
当x＝2kπ（k∈Z）
时，y max＝1；
当x＝π＋2kπ
（k∈Z）时,y min
＝－1
x∈错误!，k∈Z,
无最大值，也无
最小值
周期2kπ2kπkπ
奇偶性错误!奇函数错误!偶函数奇函数
单调性
在□，06错误!（k
∈Z）上递增;
在错误!错误!（k∈
Z)上递减
在错误![－π＋
2kπ，2kπ](k∈Z)
上递增；
在错误!［2kπ，2kπ
＋π](k∈Z）上递
减
在错误!错误!(k∈
Z)上递增
对
称
性
对称
中心
错误!错误!错误!,错误!错误!
对称
轴
错误!直线x＝kπ
＋错误!，k∈Z
错误!直线x＝kπ，
k∈Z
无对称轴1．概念辨析
(1)y＝tan x在整个定义域上是增函数．（）
(2）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．()
（3）函数f（x)＝sin错误!的最小正周期为2π。

（）
(4）sin20°<sin70°<sin120°.（）
（5)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tanωx的形式，偶函数一般可化为y＝A cosωx＋b的形式．()答案(1)×(2)√（3)×（4)×（5）√
2．小题热身
(1）函数y＝tan2x的定义域是()
A．｛x错误!B．｛x错误!
C．{x错误!D．{x错误!
答案D
解析由2x≠kπ＋错误!，k∈Z，得x≠错误!＋错误!,k∈Z，
所以y＝tan2x的定义域是｛x错误!。

(2)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(）
A．y＝cos错误!B．y＝sin错误!
C．y＝tan2x D．y＝sin错误!
答案A
解析对于A，y＝cos错误!＝－sin2x，最小正周期为π且图象关于原点对称；对于B,y＝sin错误!＝cos2x的图象不关于原点对称；对于C，y＝tan2x的周期是错误!；对于D，y＝sin错误!的图象不关于
原点对称．
(3）函数y＝1－2cos x的单调递减区间是________．
答案［2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
解析y＝1－2cos x的单调递减区间就是y＝cos x的单调递增区间，即［2kπ－π，2kπ]（k∈Z)．
（4）函数y＝3－2sin错误!的最大值为________，此时x＝________.
答案5错误!＋2kπ（k∈Z)
解析函数y＝3－2sin错误!的最大值为3＋2＝5，此时x＋错误!＝错误!＋2kπ（k∈Z），即x＝错误!＋2kπ（k∈Z)．
题型一三角函数的定义域和值域
1．函数y＝lg (sin2x）＋9－x2的定义域为________．
答案错误!∪错误!
解析由错误!解得错误!
所以－3≤x＜－错误!或0<x〈错误!.
所以函数的定义域为错误!∪错误!。

2．(2017·全国卷Ⅱ）函数f(x)＝sin2x＋错误!cos x－错误!错误!的最大值是________．
答案1
解析f（x）＝1－cos2x＋3cos x－错误!＝－错误!2＋1.
∵x∈错误!,∴cos x∈［0，1］,
∴当cos x＝错误!时，f（x)取得最大值，最大值为1。

3．(2019·长沙质检）函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________．
答案错误!
解析令t＝sin x－cos x，则t＝错误!sin错误!∈［－错误!，错误!]．由（sin x－cos x）2＝1－2sin x cos x得
sin x cos x＝错误!(1－t2），
所以y＝t＋错误!(1－t2），t∈[－错误!，错误!］的值域即为所求．因为y＝t＋错误!（1－t2)＝－错误!(t－1）2＋1，
当t＝－
2时，y min＝－错误!－错误!，
当t＝1时，y max＝1，
所以原函数的值域为错误!.
1。

三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．如举例说明1。

2.三角函数最值或值域的三种求法
直接
法
直接利用sin x和cos x的值域求解
化一法把所给三角函数化为y＝A sin（ωx＋φ)＋k(或y＝A cos（ωx ＋φ)＋k)的形式，由正弦(或余弦)函数的单调性写出函数的值域
换元把sin x，cos x,sin x cos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函
法数的值域问题求解．如举例说明2,3
1.函数y＝错误!＋错误!的定义域为________．
答案｛x错误!
解析由错误!得错误!所以2kπ＋π≤x<2kπ＋错误!，k∈Z。

所以y ＝错误!＋错误!的定义域为｛x错误!。

2.（2019·湖北七市联考）函数f（x)＝cos错误!（ω>0)在[0，π］内的值域为错误!，则ω的取值范围是________．
答案错误!
解析当x∈[0，π]时，ωx＋错误!∈错误!，又因为函数f（x)的值域为错误!，所以可得ωπ＋错误!∈错误!,解得ω∈错误!.
题型二三角函数的单调性
1。

（2019·全国卷Ⅱ）下列函数中，以错误!为周期且在区间错误!上单调递增的是(）
A。

f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝｜sin2x|
C.f（x）＝cos|x| D．f(x)＝sin｜x|
答案A
解析作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．
由图象可知f（x）＝|cos2x｜的周期为π
2,在区间错误!上单调递
增．同理可得f(x)＝｜sin2x|的周期为错误!，在区间错误!上单调递减，
f（x)＝cos｜x｜的周期为2π。

f(x)＝sin｜x｜不是周期函数，排除B，C,D.故选A.
2.已知错误!为函数f（x)＝sin（2x＋φ）错误!的零点,则函数f（x)的单调递增区间是（）
A。

错误!(k∈Z）
B.错误!（k∈Z)
C.错误!(k∈Z)
D.错误!（k∈Z）
答案C
解析由于错误!为函数f(x）＝sin(2x＋φ）错误!的零点，则f错误!＝0，所以sin错误!＝0，
解得φ＝错误!，故f(x）＝sin错误!，
令－错误!＋2kπ≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!（k∈Z)，
解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!(k∈Z),
故函数f(x)的单调递增区间为错误!（k∈Z）．条件探究将本例中的函数的定义域改为［0，π］，则其单调递增区间为________．答案错误!和错误!
解析记A＝｛x错误!，B＝［0，π］．
观察数轴可知A∩B＝错误!∪错误!，
所以函数y＝f(x），x∈[0，π］的单调递增区间为错误!和错误!。

3。

若已知ω〉0，函数f(x)＝cos错误!在错误!上单调递增,则ω的
取值范围是________．
答案错误!
解析函数y＝cos x的单调递增区间为［－π＋2kπ，2kπ]，k ∈Z.
则错误!k∈Z，
解得4k－错误!≤ω≤2k－错误!,k∈Z，
又由4k－5
2－错误!≤0，k∈Z,
且4k－错误!〉0,k∈Z,
得k＝1，所以ω∈错误!。

求三角函数单调区间的两种方法
(1)复合函数法
(2）图象法
画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．如举例说明1。

1。

（2019·中山模拟)函数f(x)＝tan错误!的单调递增区间为() A。

错误!，k∈Z
B。

错误!，k∈Z
C。

错误!，k∈Z D.错误!,k∈Z
答案B
解析由kπ－π
2<错误!－错误!<kπ＋错误!，k∈Z,得2kπ－错误!
〈x<2kπ＋错误!，k∈Z。

所以函数f(x）＝tan错误!的单调递增区间为错误!，k∈Z。

2.已知函数f(x）＝x2－cos x，则f(0.6)，f（0)，f(－0。

5)的大小关系是(）
A。

f（0）〈f（0。

6）<f(－0.5)
B.f(0)<f（－0。

5)〈f（0.6）
C。

f（0。

6）<f(－0.5)〈f（0）
D。

f(－0.5）〈f（0)<f（0.6)
答案B
解析因为函数f（x)＝x2－cos x是偶函数，且在（0，π)上是增函数，所以f(0)〈f（0。

5）＝f（－0.5)<f（0。

6)，故选B.
3.(2019·天津市红桥区模拟）若f（x）＝cos x－sin x在[－a,a］上是减函数，则a的最大值是________．
答案错误!
解析f（x)＝cos x－sin x＝－(sin x－cos x)
＝－错误!sin错误!。

由－错误!＋2kπ≤x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z，得－错误!＋2kπ≤x≤3π
4＋2kπ，k∈Z,
取k＝0，得f（x）的一个减区间为错误!。

由f（x）在[－a，a］上是减函数，得错误!
∴a≤错误!，故a的最大值为错误!.
题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度1三角函数的周期性
1.（2018·全国卷Ⅲ）函数f（x)＝错误!的最小正周期为（)
A。

错误!B。

错误!
C．π D．2π
答案C
解析由已知得f(x）＝错误!＝错误!＝sin x cos x＝错误!sin2x，所以f(x）的最小正周期T＝错误!＝π.故选C.
角度2三角函数的奇偶性
2.若函数f(x)＝cos错误!(0〈φ〈π）是奇函数，则φ＝________.
答案错误!
解析因为f(x）为奇函数,所以φ－错误!＝错误!＋kπ（k∈Z)，φ＝错误!＋kπ，k∈Z。

又因为0〈φ〈π，故φ＝错误!.
角度3三角函数图象的对称性
3.（2019·广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ）在x＝错误!处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象（)
A。

关于点错误!对称B．关于点错误!对称
C。

关于直线x＝错误!对称D．关于直线x＝错误!对称
答案A
解析因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝错误!处取得最大值，所以
sin错误!＝1。

所以cos错误!＝0.所以函数y＝cos（2x＋φ)的图象关于点错误!对称。

1。

周期的计算方法
利用函数y＝A sin(ωx＋φ），y＝A cos（ωx＋φ）（ω〉0)的周期为错误!,函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω>0）的周期为错误!求解．如举例说明1。

2.函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝A sin（ωx＋φ）(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝A sin(ωx＋φ）（x∈R）是偶函数⇔φ＝kπ＋π
2(k∈Z）;
函数y＝A cos(ωx＋φ）(x∈R）是奇函数⇔φ＝kπ＋错误!（k∈Z）．如举例说明2;
函数y＝A cos（ωx＋φ）(x∈R）是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z）．
3.与三角函数有关的图象的对称性问题
对于函数y＝A sin(ωx＋φ),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x0或点（x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x0)的值进行判断．如举例说明3。

1.(2019·全国卷Ⅱ）若x1＝错误!，x2＝错误!是函数f（x）＝
sinωx(ω>0）两个相邻的极值点，则ω＝（）
A.2
B.错误!
C．1 D。

错误!
答案A
解析由题意及函数f（x）＝sinωx(ω>0）的图象与性质可知，错误!T＝错误!－错误!，∴T＝π，∴错误!＝π，∴ω＝2.故选A.
2。

(2019·北京中关村中学月考）下列函数中,对任意的x∈R，同时满足条件f（x）＝f（－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是() A。

f（x）＝sin x B．f(x）＝sin x cos x
C。

f（x）＝cos x D．f(x)＝cos2x－sin2x
答案D
解析由f（x)＝f(－x）可知函数是偶函数,且f（x－π)＝f(x），则函数的周期为π.A项中的函数是奇函数，故错误;B项中f（x）＝sin x cos x＝错误!sin2x，为奇函数，故错误；C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为2π，故错误；D项中f(x）＝cos2x－sin2x ＝cos2x,该函数是周期为π的偶函数，故选D。

3。

关于函数y＝tan错误!，下列说法正确的是（）
A.是奇函数
B.在区间错误!上单调递减
C。

错误!为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
答案C
解析y＝tan错误!是非奇非偶函数,A错误；y＝tan错误!在区间错误!上单调递增,B错误；由2x－错误!＝错误!得x＝错误!＋错误!(k∈Z）,得函数y＝tan错误!的对称中心为错误!，k∈Z,故C正确;函数y＝tan 错误!的最小正周期为错误!,D错误。

组基础关
1。

函数y＝cos错误!是(）
A。

周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C。

周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
答案A
解析因为y＝cos错误!＝cos错误!＝－sin2x,故选A.
2.设a＝cos错误!，b＝sin错误!，c＝cos错误!，则（）
A。

a〉c〉b B．c>b〉a
C．c>a>b D．b>c>a
答案A
解析sin错误!＝sin错误!＝－sin错误!＝sin错误!＝cos错误!，cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝cos错误!，因为y＝cos x在错误!上是减函数，所以cos错误!>cos错误!〉cos错误!，即a>c〉b.
3.函数y＝tan x＋sin x－｜tan x－sin x｜在区间错误!内的图象是(）
答案D
解析y＝tan x＋sin x－｜tan x－sin x|
＝错误!结合选项图形知,D正确.
4.已知函数f（x）＝tan2x，则下列说法不正确的是（）
A。

y＝f（x)的最小正周期是π
B.y＝f（x)在错误!上单调递增
C。

y＝f（x)是奇函数
D。

y＝f（x)的对称中心是错误!（k∈Z)
答案A
解析函数y＝f（x）的最小正周期是错误!,故A错误．当x∈错误!时，2x∈错误!,此时函数f(x)＝tan2x为增函数,故B正确．因为f（－x)＝tan2(－x)＝－tan2x＝－f(x),所以f(x）＝tan2x是奇函数，故C 正确．由2x＝错误!，k∈Z,得x＝错误!，k∈Z，所以f（x)＝tan2x的对称中心是错误!，k∈Z，故D正确。

5。

(2019·福建六校联考)若函数f(x）＝2sin（ωx＋φ)对任意x 都有f错误!＝f(－x)，则f错误!＝（）
A。

2或0 B．0
C。

－2或0 D．－2或2
答案D
解析因为f错误!＝f(－x）对任意x∈R都成立，所以函数f(x)
的图象的一个对称轴是直线x＝π
6,所以f错误!＝±2.
6.已知函数f（x）＝cos（x＋φ）错误!,f错误!是奇函数,则（）
A.f(x)在错误!上单调递减
B。

f(x）在错误!上单调递减
C。

f(x)在错误!上单调递增
D。

f（x)在错误!上单调递增
答案B
解析 因为f （x ）＝cos （x ＋φ)，所以f 错误!＝cos 错误!，又因为f 错误!是奇函数,所以错误!＋φ＝k π＋错误!，k ∈Z ，所以φ＝k π＋错误!，k ∈Z ，又0＜｜φ｜〈错误!，所以φ＝错误!，f (x )＝cos 错误!,当x ∈错误!时，x ＋错误!∈错误!,f (x ）单调递减，当x ∈错误!时，x ＋错误!∈错误!，f （x ）先减后增,故选B.
7。

（2019·衡水联考)函数f (x ）＝sin 错误!－错误!在区间（0，π）内的所有零点之和为( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误! D 。

错误!
答案 C
解析 设t ＝2x ＋错误!，则由x ∈（0，π)，得t ∈错误!。

由f (x ）
＝0得sin t ＝13,结合函数y ＝sin t 的图象可知此方程有两个实根t 1和
t 2，且t 1＋t 2＝3π,所以函数f （x ）在（0，π）内有两个零点x 1和x 2，且2x 1＋错误!＋2x 2＋错误!＝3π，所以x 1＋x 2＝错误!。

8。

函数f (x ）＝错误!＋tan 错误!的定义域是________．
答案 {x 错误!
解析 由错误!得错误!
所以0〈x ≤2且x ≠错误!，所以函数f （x )的定义域为
｛x 错误!。

9.若函数f (x )＝错误!(ω>0)的最小正周期为π,则f 错误!＝
________。

答案错误!
解析由题设及周期公式得T＝错误!＝π，所以ω＝1，即f(x）＝错误!,所以f错误!＝错误!＝错误!.
10。

函数f(x)＝2020sin错误!(0≤x≤2π）的值域是________．
答案[1010,2020]
解析因为0≤x≤2π，所以错误!≤错误!x＋错误!≤错误!.
所以错误!≤sin错误!≤1，
所以函数f（x）＝2020sin错误!的值域为[1010,2020］。

组能力关
1.(2020·湖南衡阳八中月考）定义运算：a*b＝错误!例如1］()
A.错误!B．［－1，1］
C。

错误! D.错误!
答案D
解析画出函数f（x)＝错误!的图象(如图中实线所示）．根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期（即2π)的情况即可．观察图象可知函数f(x）的值域为错误!.
2。

（2019·辽宁省实验中学模拟）已知函数f(x)＝cos2x＋sin x,那么下列命题中的假命题是（)
A.f(x)既不是奇函数也不是偶函数
B.f(x)在［－π，0］上恰有一个零点
C。

f（x)是周期函数
D。

f（x)在错误!上是增函数
答案B
解析因为f（x）＝cos2x＋sin x,所以f（－x)＝cos2x－sin x。

故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．所以A是真命题；令f(x）＝cos2x ＋sin x＝0，得1－sin2x＋sin x＝0,解得sin x＝错误!。

此时x有两个值．所以f（x)在［－π，0］内恰有两个零点．所以B是假命题；因为f（x）＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－错误!2＋错误!.显然f（x）是周期函数,所以C是真命题；对于f(x)＝－错误!2＋错误!,令u＝sin x 在错误!上单调递减,则y＝－错误!2＋错误!在错误!上单调递减，所以D 是真命题。

3。

（2020·赣州摸底）已知函数f（x)＝sin错误!＋错误!,ω>0,x∈R，且f（α）＝－错误!，f(β）＝错误!。

若|α－β|的最小值为错误!,则f错误!＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
答案错误!错误!，k∈Z
解析函数f（x）＝sin错误!＋错误!,ω〉0，x∈R，
由f（α）＝－错误!,f（β）＝错误!，且|α－β｜的最小值为错误!，
得T
4＝错误!,即T＝3π＝错误!，所以ω＝错误!。

所以f（x)＝sin错误!＋错误!.
则f错误!＝sin错误!＋错误!＝错误!.
由－错误!＋2kπ≤错误!x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z，得－错误!＋3kπ≤x≤π＋3kπ,k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为错误!，k∈Z.
4.已知函数f （x )＝sin ⎝ ⎛）2x ＋π3。

（1)求f (x ）的最小正周期；
（2)求证:当x ∈错误!时，f (x ）≥－错误!.
解 （1)f （x ）的最小正周期T ＝错误!＝π。

（2）证明：因为－错误!≤x ≤错误!，所以－错误!≤2x ＋错误!≤错误!， 所以sin 错误!≥sin 错误!＝－错误!， 所以当x ∈错误!时，f （x ）≥－错误!.
组 素养关
1。

已知函数f (x ）＝错误!sin 错误!(ω〉0)的最小正周期为π。

（1）求函数y ＝f （x ）图象的对称轴方程;
(2）讨论函数f （x ）在错误!上的单调性．
解 (1）∵f (x )＝错误!sin 错误!的最小正周期为π，
∴ω＝2，f （x )＝错误!sin 错误!.
令2x －π4＝k π＋错误!（k ∈Z ），得x ＝错误!＋错误!(k ∈Z ),
即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝错误!＋错误!（k ∈Z )．
(2）令2k π－错误!≤2x －错误!≤2k π＋错误!(k ∈Z )，得函数f （x )的单调递增区间为错误!（k ∈Z ）．注意到x ∈错误!,所以令k ＝0，得函数f (x ）在错误!上的单调递增区间为错误!；令错误!＋2k π≤2x －错误!≤错误!＋2k π（k ∈Z )，得函数f （x )的单调递减区间为错误!（k ∈Z ）,令k ＝0，得f （x ）在错误!上的单调递减区间为错误!.
2.已知函数f （x )＝2sin 2错误!－错误!cos2x －1，x ∈R 。

(1)求f (x ）的最小正周期；
(2）若h（x）＝f（x＋t)的图象关于点错误!对称，且t∈(0，π)，求t的值;
（3)当x∈错误!时,不等式|f（x）－m｜〈3恒成立，求实数m的取值范围．
解（1)因为f（x)＝－cos错误!－错误!cos2x＝sin2x－错误!cos2x ＝2错误!＝2sin错误!,故f（x）的最小正周期为π.
（2)由(1)知h(x)＝2sin错误!。

令2×错误!＋2t－错误!＝kπ(k∈Z），得t＝错误!＋错误!(k∈Z），
又t∈（0，π），故t＝错误!或错误!.
（3）当x∈错误!时，2x－错误!∈错误!，
所以f(x）∈［1,2］．
又|f（x）－m|<3,即f(x)－3〈m<f(x)＋3,所以2－3<m〈1＋3，即－1<m〈4。

故实数m的取值范围是（－1，4).
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。