北师大版 等差数列的前n项和(二) 课件(25张)

小结：
1、利用前n项和求通项的方法： S1， n=1
an= Sn-Sn-1，n≥2 2、等差数列前n项和的一个重要性质：
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
也为等差数列。
3、数列{an}是等差数列 Sn An2 Bn( A 0)
练习：在等差数列{an}中，若a2=-18，a4=-10，则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
练习：在等差数列{an}中，
（1）若 S5 =25，a2=3，则 S10=__1_0_0___； （2）若 S12=21，则 a2+a5+a8+a11=___7____.
思考：若 a3 3 ，则 S5
数列{an }是公差为2的等差数列
当n
1时，a1
S1
1 4
(a1
1)2, 解得a1
1
an n 1
例4、已知等差数列 5, 4 2 , 3 4 , 77
使得Sn最大的序号n的值.
的前n项和为Sn，求
解：由题意知，a1=5，公差d=
∴S6，S12-S6，S18-S12也是等差数列
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
也为等差数列。
练习： 1、在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=-3，a4+a5+a6=1，
则a7+a8+a9=______5_____； 2、在等差数列{an}中，已知S4=2，S8=7，则S12=__1__5__；
（2）利用等差数列的增减性及an的符号变化， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值， 此时可由an≥0且an+1≤0求出n的值； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值， 此时可由an≤0 且an+1 ≥ 0求出n的值；
注意：当数列中有一项为0时，n应有两解.
思考：等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 S6，S12-S6，S18-S12
分析：当n=1时，a1=S1=p+q+r ∵当n>1时， an =Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q 又∵当n=1时，an=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q 故只有当r =0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)
结论：知 三 求 二
解题思路一般是:建立方程(组)求解
例3、已知数列{an}的前n项和为
Sn
n2
1 2
n，求该数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗？
分析：∵Sn=a1+a2+…+an， Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1 (n≥2) 特别地，当n=1时，a1=S1
故 an=
S1， n=1 Sn-Sn-1，n≥2
例3、已知数列{an}的前n项和为 Sn
n2
1 2
n
，求该数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项
和公差分别是什么？
解：当n≥2时， an Sn Sn1
n2 1 n [(n 1)2 1 (n 1)]
2
2
2n 1 ①
2
当n=1时，
a1
S1
12
1 1 2
3 2
∵这∴是a数1也列首满{项an足为}的①3通式，项公公差式为为2的an等差2n数列12
2
若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的
通项公式为
S1， n=1 an= Sn-Sn-1，n≥2
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
5 7
Sn
5n
n(n 1) 2
(
5) 7
5 n2 75 n 14 14
5 (n 15)2 1125 14 2 56
当n取与15 最接近的整数即7或8时， 2
S
取最大值
n
例4、已知等差数列 5, 4 2 , 3 4 , 77
的前n项和为Sn，求
使得Sn最大的序号n的值.
解2：∵由题意知，a1=5，公差d =
例5、设正项数列{an }的前n项和满足Sn
1 4
(an
1)2，
求数列{an }的通项公式
解：当n 2时，an Sn
Sn1
1 4
[(an
1)2
(an1
1)]
整理得(an an1 )(an an1 2) 0
an 0 an +an1 0
an an1 2 0，即an an1 2
，解得 5 1 n 6 1
an+1 =15(n+1) -91≥0
15
15
∴当n=6时，Sn取最小值，此时
Sn
na1
n(n 1) 2
d
6 (76)
15 15
231
作业：
1、课本P46A组第6题
2、在一等差数列中，若前 15 项的和为 90，前 30 项 的和为-270。 （1）求能使前 n 项和 Sn 为负数的最小的项数 n； （2）求前 n 项和 Sn 中的最大值，并求出 Sn 取最
练习：在等差数列{an}中，若a2=-61，a5=-16，则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
解：∵ a2=-61，a5=-16
∴ a1+d=-61 a1+4d=-16
解得a1=-76，d=15
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91
令 an =15n-91≤0
大值时项数 n 的值。
练习：已知数列 an 的前 n 项和 S n 3 2n ，求 an
5， n 1
an
2n1，
n
2
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的
通项公式为
S1， n=1 an= Sn-Sn-1，n≥2
解：∵ a2=-18，a4=-10
∴
a1+d= -18 a1+3d= -10
解得a1= -22，d=4
n(n 1) Sn 22n 2 4
2n2 24n 2(n 6)2 72
∴当n=6时，Sn取最小值-72
思考：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=13， 且S3=S11，求此数列前n项和的最大值。
例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20 项的和是1220，求该数列前30项的和。
解：设该等差数列的前n项和Sn An2 Bn,则
S10 100A 10B 310
S20
400 A
20B
1220
解得A 3, B 1
Sn 3n2 n S30 3 900 30 2730
a5 10
S9
1 6
例，3求变该式数、列已的知通数项列公{a式n}，的这前个n项数和列为是等S差n 数n列2 吗 12？n 1
an
5 2
,
n
1
2n
1 2
,
n
2
45页探究题
探究： 一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r， 其列S中吗np？、若qA是、n，r2为则常B它数n（的，首A且为项p≠与常0，公数那差）么分这别个是{a数什n列么}等一？差定是数等列差数
一、复习回顾
1、前n项和公式
形式1: 形式2:
Sn
（n a1 2
an )
Sn
na1
（n n 1) 2
d
一、复习回顾
2、在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1,
an, n, d, Sn 中的任意三个, 可以求出其余两个量 .
Sn
na1
（n n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
是等差数列吗？
S6 6a1 15d ,
证明：∵依题意可得
S12 12a1 66d ,
S18 18a1 153d ,
S12 S6 6a1 51d , S18 S12 6a1 87d
2(S12 S6 ) 12a1 102d , S6 (S18 S12 ) 12a1 102d 即 2(S12 S6 ) S6 (S18 S12 )
5 7
an
5
(n
1)(
5) 7
5 7
n
40 7
由 an 0
5 n 40 0 得7 7
an1 0
5 (n 1) 40 0
7
7
解得7≤n≤8
∴当n取7或8时，Sn最大
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利用Sn=pn2+qn进行配q方，求二次函数的最值， 此时n应取最接近___2__p_的正整数值；