【拔高教育】2017_2018学年高二数学下学期第一次学段考试试题理

甘肃省武威市第六中学2017-2018学年高二数学下学期第一次学段考试
试题 理
（本试卷共2页，大题3个，小题22个。

答案要求写在答题卡上）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．） 1．已知i 是虚数单位， ()()432z i i i ⋅=++，则复数z =（ ）
A. 105i +
B. 510i +
C. 105i -
D. 510i - 2．已知函数
，其导函数
的图象如图，则对于函数
的描述正确的是（ ）．
A. 在上为减函数
B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数
D. 在处取得最小值 3．如图，把1,3,6,10,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是( )
A. 30
B. 29
C. 28
D. 27
4．设函数()f x 的导函数为()f x '，且2
()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '=（ ）
A ．0
B ．4-
C ．2-
D ．2
5．用反证法证明“如果a b >> ）
=<=
<=<6．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )
A. ()c
a
f x dx ⎰
B.
()c
a
f x dx
⎰
C. ()()b c
a
b
f x dx f x dx +⎰
⎰
D. ()()c
b
b
a
f x dx f x dx -⎰
⎰
7．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ． 由圆的性质类比推出球的有关性质
B. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D. 蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
8．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）
A ． (1,2)-
B ．(3,6)-
C ．(,1)(2,)-∞-+∞
D ．(,3)(6,)-∞-+∞
10．利用数学归纳法证明不等式1＋
23
21
n
+++
-＜n (n ≥2，n ∈N *
)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )
A. 1项
B. k 项
C. 2k －1项
D. 2k
项
11. 设a ∈R ，函数
()x x f x e ae -=+的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的
一条切线的斜率是
3
2
，则切点的横坐标为( ) A.ln 2 B. ln 2- C. ln 2
2
D. ln 2
2
-
现有下列命题：①()()f x f x -=-；②
12．已知
22()2()1x f f x x
=+；③()2f x x ≥.其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 13．．定积分
1
(2)x
e
x dx +⎰的值为 ______________ ．
14．曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线方程是__________ ． 15．已知函数1
()sin ,(0,)2
f x x x x π=-∈，则()f x 的最小值为 16．已知函数f (x )＝x 3
＋3mx 2
＋nx ＋m 2
在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ . 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（10分）复数=z ()()
22563m m m m i -++-， m R ∈， i 为虚数单位． (1)实数m 为何值时该复数是实数；
(2)实数m 为何值时该复数是纯虚数．
18．（12分）计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.
19．（12分）设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线
670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。

（1）求a ，b ，c 的值； ()ln(1)ln(1),(1,1)f x x x x =+--∈-
（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

20. （12分）已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1
2ax ＋b .
(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；
(2)若φ(x )＝m x －
x ＋1
－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．
21. （12分）设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围.
22．（12分）设函数()1ln 1a
f x x ax x
-=-+
-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1
3
a =
时，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设函数()25
212
g x x bx =--，若对于1x ∀∈ [1，2]， 2x ∃∈ [0，1]，使()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围．
参考答案
一、选择题CCCBD DCDCD AA 二、填空题
13. e 14．
．11
三、解答题
17.（Ⅰ）当2
30m m -=，即0m =或3m =时为实数.
（Ⅱ）当22560{ 30m m m m -+=-≠，即2,3{
0,3m m m m ==≠≠，则2m =时为纯虚数.
18．
解：作出直线4y x =-
，曲线y =
解方程组4
y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-
与曲线y =8,4) .
直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2
8
4
4
[(4)]x dx =+--⎰
⎰
⎰
334
82822044
140||(4)|3323
x x x =+-=. 19（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =，∵2
'()3f x ax b =+的最小值为12-，∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为
1
6
，因此，'(1)36f a b =+=-，∴2a =，12b =-，0c =． （2）3
()212f x x x =-。

2
'()6126(f x x x x =-=+，列表如下：
所以函数()f x 的
单调增区间
是(,-∞和)+∞，∵(1)10f -=，
f =-，(3)18f =，∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-
20．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝1
2
a ，a ＝2.
又因为g (1)＝0＝1
2a ＋b ，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1.
(2)因为(1)(1)
()()ln 11
m x m x x f x x x x ϕ--=
-=-++在[1，＋∞)上是减函数． 所以ϕ′(x )＝
22
(22)1
(1)x m x x x -+--+≤0在[1，＋∞)上恒成立．
即x 2
－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1
x
，x ∈[1，＋∞)，
因为x ＋1
x
∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，m ≤2. 故数m 的取值范围是(－∞，2]．
21.解（1）2
()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有
(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
，解得3a =-，4b =。

（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2
()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。

当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>。

所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+。

则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+。

因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立，
所以 2
98c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)
(9)-∞-+∞，，。

22．解：函数()f x 的定义域为()0+∞，， 1分
()211a
f x a x x
'-=
--2分
（1）当1a =时， ()ln 1f x x x =--， ()12f ∴=-，
()1
1f x x
'=
-， ()10f ∴'=， ()f x ∴在1x =处的切线方程为2y =-.
(2) ()()()222
123233x x x x f x x x
--'-+=-=-. ∴当01x <<,或2x >时, ()0f x '<; 当12x <<时, ()0f x '>. ∴当1
3
a =
时，函数()f x 的单调增区间为()1,2;单调减区间为()()0,12+∞，，. (如果把单调减区间写为()()0,12+⋃∞，,该步骤不得分)
（3）当
时，由（2）可知函数()f x 在[1,2]上为增函数，
∴函数()f x 在[1，2]上的最小值为
若对于
[1，2]，
≥
成立
在
上的最小值不大于
()f x 在[1，2]上的最小值
又，
当
时，
在
上为增函数，
与（*）矛盾
当时，，由及
得，
当时，在上为减函数，
及得.综上，b 的取值范围是。