届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.3 二项式定理课件 理 北师大

i(i＝0,1,2,3)，令 6－i＝5，得 i＝1，则(x2＋x)3 的展开式中 x5 项的系数是
C13＝3，故(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数是 C25·3＝10×3＝30。
答案 C
角度二：几个多项式和的展开式中特定项(系数)问题
2.x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的常数项为(
A．15x2
B．20x3
C．21x3
D．35x3
【解析】 (1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令 x＝0，得 a0＝1。 令 x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6。 又(1＋x)6 的展开式二项式系数最大项的系数最大， ∴(1＋x)6 的展开式系数最大项为 T4＝C36x3＝20x3。
相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212
B．211
C．210
D．29
解析 由条件知 C3n＝C7n，∴n＝10。∴(1＋x)10 中二项式系数和为 210， 其中奇数项的二项式系数和为 210－1＝29。
答案 D
5．已知 C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则 C1n＋C2n＋C3n＋…＋ Cnn＝___6_3____。
＝2n。
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和__等__于____奇数项的二项式系 数的和，即 C0n＋C2n＋…＝___C_1n_＋__C_3n_＋__…_____＝____2_n－_1______。
基础自测
[判一判]
(1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项。( × ) 解析 错误。根据二项展开式的通项可知，Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项 的二项式系数不同。( √ )
解析 正确。二项展开式中某项的系数与它的二项式系数是不同的。
[练一练]
1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是( )
A．Crn
B．Crn＋1
C．Crn－1
D．(－1)r－1Crn－1
解析 本题中由于 y 的系数为负，故其第 r 项的系数为(－1)r－1Crn－1。
【答案】 B
(2)若x＋1xn 的展开式中第 3 项和第 7 项的二项式系数相等，则该展开 式中x12的系数为___5_6____。
【解析】 由题意知，C2n＝C6n，∴n＝8。 ∴Tr＋1＝Cr8·x8－r·1xr＝Cr8·x8－2r， 当 8－2r＝－2 时，r＝5，∴x12的系数为 C58＝C38＝56。
)
A．32
B．34
C．36 解析
D．38 x3－2x4 的展开式的通项为 Tm＋1＝Cm4 (x3)4－m·－2xm＝Cm4 (－
2)mx12－4m，令 12－4m＝0，解得 m＝3，x＋1x8 的展开式的通项为 Tn＋1
＝Cn8x8－n1xn＝Cn8x8－2n，令 8－2n＝0，解得 n＝4，所以所求常数项为
解法二：由于 2x＋3＝2(x＋2)－1，故(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3＝8(x＋2)3 －4C13(x＋2)2＋2C23(x＋2)－1，故 a3＝8，a2＝－12，a1＝6，a0＝－1。故 a0 ＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6－24＋24＝5。
考点三 多项式展开式中的特定项或特定项系数
的展开式中含
x32的项的系数为
30，则
a
＝( )
A. 3
B．－ 3
C．6
D．－6
【解析】
展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5·(
x)5－
r·－ar＝ x
(－1)rCr5ar·x52－
r(r＝0,1,2，…，5)。令25－r＝23，得 r＝1，所以展开式中含 x32项的系数
为(－1)C15·a，于是－5a＝30，解得 a＝－6。 【答案】 D
二项式系 数
二项展开式中各项二项式系数 C(r＝0,1，…，n)
二项式通 项
Tr＋1＝__C__rna__n－_r_b_r__
(其中0≤r≤n，r∈N＋，n∈N＋)
2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端___等__距__离___的两个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m。
(2)二项式系数先增后减中间项最大
中的第 r＋1 项。 (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关。( √ ) 解析 正确。根据二项展开式中某一项的二项式系数的概念可知它与
a，b无关 (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项。( × ) 解析 错误。二项展开式中，系数最大的项不一定是中间一项或中间
的两项。
答案 B
(2)若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则 a0＋a1＋2a2＋3a3 ＝____5____。
解析 解法一：令 x＝－2 得 a0＝－1。令 x＝0 得 27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3。 因此 a1＋2a2＋4a3＝14。因为 C03(2x)3·30＝a3·x3。所以 a3＝8。所以 a1＋2a2＋ 3a3＝14－a3＝6。所以 a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5。
【规律方法】 (1)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决。 (2)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项 展开式的通项，从每一项中分别得出含x2的项，再求和即可。 (3)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式 连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重 复或遗漏。
3．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n ＝( )
A．7
B．6
C．5
D．4
解析 (x＋1)n 的二项展开式通项为 Tr＋1＝Crnxn－r。令 n－r＝2，即 r＝n－2。则 x2 的系数为 Cnn－2＝C2n＝15，解得 n＝6，故选 B。
答案 B
4．(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数
当 n 为偶数时，第n2＋1 项的二项式系数最大，最大值为 C2nn；当 n 为
奇 数 时 ， 第 n＋1 项 和 n＋3 项 的 二 项 式 系 数 最 大 ， 最 大 值 为
_C_n_－_2_1_n_或__C__n_＋2__1_2_n。
2
(3)各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即_C_0_n＋__C_1n_＋__…__＋__C_nn_
答案 D
2.12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是(
)
A．－20
B．－5C．5Fra bibliotekD．20解析
由已知，得
Tr
＋
1
＝
C
r 5
1 2x
5
－
r(
－
2y)r
＝
C
r 5
1 2
5
－
r(
－
2)rx5
－
ryr(0≤r≤5，r∈Z)，令 r＝3，得 T4＝C35122(－2)3x2y3＝－20x2y3。故选 A。 答案 A
【规律方法】 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项。可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特 点求出r值即可。 (2)已知展开式的某项，求特定项的系数。可由某项得出参数项，再由 通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数。
变式训练1 (1)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
②如果 n 是奇数，则中间两项第n＋2 1项与第n＋2 1＋1项的二项式系数相等 并最大。
(3)二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数
法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，…，An＋1，且第 r 项系数最大，应用
Ar≥Ar－1， Ar≥Ar＋1，
A．30
B．20
C．15
D．10
解析 含 x3 的项是由(1＋x)6 展开式中含 x2 的项与 x 相乘得到，又(1
＋x)6 展开式中含 x2 的项的系数为 C26＝15，故含 x3 项的系数是 15。 答案 C
(2)(2015·山西四校联考)若x6＋x
1
n
x
的展开式中含有常数项，则
n
的最
小值等于( ) A．3
解析 逆用二项式定理得 C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝ 3n＝729，即 3n＝36，所以 n＝6。所以 C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝26－C0n＝64－ 1＝63。
R 热点命题 深度剖析
考点一 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
【例 1】 (1)x2－x235 展开式中的常数项为(
B．4
C．5
D．6
解析 因为 Tr＋1＝Crn(x6)n－rx1 xr＝Crnx6n－125r，当 Tr＋1 是常数项 时，6n－125r＝0，即 n＝54r，故 n 的最小值为 5，故选 C。
答案 C
考点二 二项式系数的性质与各项系数的和
【例2】 (1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an ＝63，则展开式中系数最大的项是( )
)
A．80
B．－80
C．40
D．－40
【解析】 x2－x235 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5x2(5－r)(－2)rx－3r＝Cr5 (－2)rx10－5r。令 10－5r＝0，得 r＝2，所以 T2＋1＝C25(－2)2＝40。故选 C。
【答案】 C
(2)(2015·湖南卷)已知
x－
a 5 x
第九章 计数原理、概率、随机变 量及其分布
第三节 二项式定理
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决 与二项展开式有关的简单问题。
J 基础知识 自主学习
知识梳理
1．二项式定理
二项式定 理
(a＋b)n＝C__0n_a_n＋___C_1n_a_n_－_1b_＋ ___…__＋__C_k_na_n_－_k_b_k＋ ___…__＋__C_nn_b_n_(_n_∈_ N＋)
从而解出 r 来，即得。
变式训练 2
(1)(2015·辽宁五校联考)若
x＋x22
n
展开式中只有第
6
项
的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )
A．360
B．180
C．90
D．45
解析 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式总共 11
项，所以 n＝10，通项为 Tr＋1＝Cr10( x)10－r·x22r＝Cr102rx5－25r，所以 r ＝2 时，常数项为 180。
C34(－2)3＋C48＝38。 答案 D
角度三：几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 3．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_－__2_0____。(用数字作答)
解析 (x＋y)8 的通项公式为 Tr＋1＝Cr8x8－ryr(r＝0,1，…，8，r∈Z)。当 r ＝7 时，T8＝C78xy7＝8xy7，当 r＝6 时，T7＝C68x2y6＝28x2y6，所以(x－y)(x＋ y)8 的展开式中含 x2y7 的项为 x·8xy7－y·28x2y6＝－20x2y7，故系数为－20。
角度一：三项展开式中特定项(系数)问题
1 ． (2015·新 课 标 全 国 卷 Ⅰ)(x2 ＋ x ＋ y)5 的 展 开 式 中 ， x5y2 的 系 数 为
()
A．10
B．20
C．30
D．60
解析 由于(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，其展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5 (x2＋x)5－ryr(r＝0,1,2，…，5)，因此只有当 r＝2，即 T3＝C25(x2＋x)3y2中 才能含有 x5y2 项。设(x2＋x)3 的展开式的通项为 Si＋1＝Ci3(x2)3－i·xi＝Ci3x6－
考点四 二项式定理的应用
【例3】 (1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝
()
A．0
B．1
C．11
D．12
【解析】 512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012·522 012－C12 012·522 011 ＋…＋C22 001112×52·(－1)2 011＋C22 001122·(－1)2 012＋a，
【规律方法】 (1)赋值法研究二项式的系数和问题 “ 赋 值 法 ” 普 遍 适 用 于 恒 等 式 ， 是 一 种 重 要 的 方 法 ， 对 形 如 (ax ＋ b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值 法， 只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系 数之和，只需令x＝y＝1即可。 (2)二项式系数最大项的确定方法 ①如果 n 是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；