北京市朝阳区高一数学下学期期末统一考试北师大版

北京市朝阳区2011~2012学年度高一年级第二学期期末统一考试
数学试卷
（考试时间：100分钟 满分：100分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 与－263°角终边相同的角的集合是 A. {
}Z k k ∈︒+︒⋅=,250360|αα
B. {
}Z k k ∈︒+︒⋅=,197360|αα C. {
}Z k k ∈︒+︒⋅=,63360|αα D. {
}Z k k ∈︒-︒⋅=,263360|αα 2. 已知平面向量()2,1=a ，()m b ,2-=，且b a ∥，则m 的值为
A. 1
B. －1
C. 4
D. －4
3. 已知α是第二象限的角，且13
5
sin =α，则tan α的值是
A.
13
12 B. 13
12-
C. 12
5
D. 12
5-
4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33=a ，1010=a ，则7S 的值是
A. 30
B. 29
C. 28
D. 27
5. 不等式03121>⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛-x x 的解集是
A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-
21,31
B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
∞-,2131, C. ⎪⎭
⎫
⎝⎛-
31,21
D. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
∞-,3121, .6. 已知直线0=+-n y mx 过点（2，1），其中n m ,是正数，则mn 的最大值为
A.
2
1 B.
4
1 C.
8
1 D.
16
1 7. 为了得到函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=52sin 3πx y 的图象，只要把函数x y sin 3=的图象上所有点的
A. 横坐标缩短到原来的
21倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移10
π个单位长度。

B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的向左平移10
π
个单位长度。

C. 向右平移5π个单位长度，再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的21
倍（纵坐标不变）
D. 向左平移5
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
8. 已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥.02,,0k y x x y x （k 为常数），若y x z +=的最小
值为6，则k 的值为 A. 9
B. －9
C. 6
D. －6
9. 设向量c b a ,,满足1||||==b a ，2
1
=
⋅b a ，()()0=-⋅-c b c a ，则||c 的最大值是 A.
2
1
3+ B.
2
1
3- C. 3
D. 1
10. 等差数列{}n a 的公差()0,1-∈d ，且
()
1sin sin sin cos cos cos sin 726
23262323232=+-+-a a a a a a a a ，仅当9=n 时，数列{}n a 的
前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是
A. ⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡23,34ππ B. ⎥⎦
⎤
⎝⎛23,34ππ C. ⎪⎭
⎫
⎝⎛23,34ππ D. ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡23,34ππ
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

把答案填在题中横线上。

11. 由正数组成的等比数列{}n a 中，23=a ，87=a ，则=5a __________。

12. 已知()3
1cos -=+απ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛-απ23sin 的值为__________。

13. 已知点A （－2，2），B （4，－2），则线段AB 的垂直平分线的方程为__________。

14. 如图，一艘船以20千米/小时的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1小时后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于__________千米。

15. 若直线(
)
0122
=+-+y x a a 的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________。

16. 已知P ，Q 为△ABC 所在平面内的两点，且满足+=+=
4
1
,4121 AC 21
，则=ABC
APQ S S △△_____。

三、解答题：本大题共4小题，共36分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分8分）
在△ABC 中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，5
3
cos =
B ，且21=⋅。

（I ）求ac 的值及△AB
C 的面积； （II ）若7=a ，求角C 的大小。

18. （本小题满分8分）
已知{}n a 为等比数列，11=a ，274=a ，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，31=b ，
355=S 。

（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（II ）设n n n b a b a b a T +++=...2211，求n T 。

19. （本小题满分10分） 已知函数()x x x x x f 2cos 2
1
cos sin 32sin 2
-
+=，R x ∈。

（I ）求()x f 的最小正周期和值域；
（II ）若⎪⎭
⎫
⎝
⎛≤
≤2000πx x 为()x f 的一个零点，求02sin x 的值。

20. （本小题满分10分） 已知数列{}n a 中，11=a ，且21321
--⋅+-=
n n n n a n n
a （*,2N n n ∈≥）。

（I ）求2a ，3a 的值及数列{}n a 的通项公式；
（II ）令()*31
N n a b n
n n ∈=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较n S 2与n 的大小；
（III ）令()*11N n n a c n n ∈+=
+，数列()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-212n n c c 的前n 项和为n T ，求证：对任意*N n ∈，都有2<n T 。

【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. D 2. D 3. D 4. C 5. A 6. C 7. A
8. B 9. B 10. C
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 4 12. 3
1-
13. 0323=--y x 14. 220
15. （－2，0）
16.
16
3
三、解答题：本大题共4小题，共36分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分8分） 解：（I ）因为21=⋅BC BA ，所以21cos =B ca ，所以35=ac 。

（2分）
又53cos =
B ，所以54
sin =B 。

（3分） 所以145
4
3521sin 21=⨯⨯==B ac S ABC △。

即△ABC 的面积为14。

（5分）
（II ）因为7=a ，且35=ac ，所以5=c 。

又5
3cos =
B ，由32cos 22
22=-+=B ac c a b ，解得24=b （6分）
所以2
22
472253249cos =
⨯⨯-+=
C 。

因为π<<C 0，所以4
π
=
C 。

（8分）
18. （本小题满分8分） 解：（I ）由11=a ，274=a ，可得3=q 。

所以{}n a 的通项公式1
3-=n n a （2分）
由31=b ，355=S ，可得2=d 。

所以{}n b 的通项公式12+=n b n 。

（5分）
（II ）()()12
3123
12...3513--⨯++⨯-++⨯+⨯=n n n n n T ① ()()n n n n n T 312312...3533312⨯++⨯-++⨯+⨯=-②
①－②得：()
()n n n n T 3123 (332321)
2⨯+-+++⨯+=--（7分） 整理得：n
n n T 3⋅=（8分）
19. （本小题满分10分）
解：（I ）()x x x x f 2cos 2
1
2sin 322cos 1-+-=
（2分）
2162sin 2212cos 2sin 3+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+
-=πx x x ，（4分）
所以()x f 的最小正周期为π。

（5分）
()x f 的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-25,23（6分）
（II ）由()021
62sin 200=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=πx x f 得04162sin 0<-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πx ，
又由2
00π
≤≤x 得6
56
26
0π
π
π
≤
-
≤-
x 。

因为0626
0≤-
≤-
π
π
x ，所以41562cos 0=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πx 。

（8分）
此时，02sin x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
=662sin 0ππx
6sin 62cos 6cos 62sin 00ππππ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x
21
4152341⨯+⨯-=
8
3
15-=
（10分） 20. （本小题满分10分） （I ）解：当2=n 时，6423221
22
22122=+=⋅⋅+-=--a a ，（1分）
当3=n 时，271893321
33
23133=+=⋅⋅+-=--a a 。

（2分）
因为21321
--⋅+-=
n n n n a n n
a ，所以21321--⋅+-=n n n n a n a 。

（3分）
当2≥n 时，由累加法得
221
32 (323221)
-⨯++⨯+⨯+=-n n a n a ，
因为11=a ，所以2≥n 时，有()
11
33
13121--=--+=n n n n a 。

即()231
≥⋅=-n n a n n 。

又1=n 时，13
11
11=⋅=-a ，
故()*31
N n n a n n ∈⋅=-。

（5分）
（II ）解：*N n ∈时，n
a b n n n 1
31==-，则n n S 21...312112++++=。

记函数()n n S n f n n -⎪⎭
⎫
⎝⎛
++++
=-=21...312112，
所以()()121...3121111+-⎪⎭
⎫
⎝⎛
++++
=++n n f n 。

则()()<-+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=-++1122121 (2)
2112111n n
n n n
n f n f 0。

所以()()n f n f <+1。

（7分）
由于()012111112>-⎪⎭
⎫
⎝⎛
+
=-=S f ，此时112>S ；
()0241312112222>-⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=-=S f ，此时222>S ；
()038171615141312113332<-⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++++=-=S f ，此时332<S ；
由于()()n f n f <+1，故3≥n 时，()()03<≤f n f ，此时n S n <2。

综上所述，当2,1=n 时，n S n >2；当()*3N n n ∈≥时，n S n <2。

（8分）
（III ）证明：对于n
n n n a c 311=+=+，有()()
221
33212-⨯=-n n n n c c 。

当2≥n 时，(
)(
)()()()
131
1311313323313321
3321112---=--⨯=--⨯≤-⨯---n n n n n n n n n n。

所以当2≥n 时，
()(
)
⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+≤-⨯++-⨯+=13113113121231
332...1332233222222n n
n T
21312131131
...1<--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---++-n
n n 。

且22
3
1<=
T 。

故对*N n ∈，2<n T 得证。

（10分）。