浅谈像的维数与矩阵的秩的关系

浅谈像的维数与矩阵的秩的关系
摘要
本文给出了通过建立()
Imσ可以由V中的任意一个
Imσ,提供引理得出()
基生成,又由已知引理得出列空间的维数等于该矩阵的秩,从而求出()
σ=秩.还从同构映射的角度,利用线性变换,坐标及其性质得出此结d i m I m A
论.
关键词
线性变换的像向量空间的维数矩阵的秩向量空间下的同构
1.引言
在高等代数练习题的解题过程中,我们几次得到了()dimIm A σ=秩,引发了我们要探讨在一些给定的限制条件下,比如当{}12,,,n ααα是4F 的任意一个
基,再比如σ是V 到V 的一个线性映射且{}12,,
,n ααα是V 的一个基,是否都有
这样的结论呢,由此我们展开了研究证明,希望也能得出()dimIm .A σ=秩 2.几个引理
引理2.1 在数域F 上的向量空间4F 中,取A 是一个4阶方阵.对于4F ξ∀∈,规定
().A σξξ=
证明:()4.L F σ∈
证明 显然的,σ是4F 到4F 的一个映射.
4,,F ξη∀∈那么
()()A σξηξη+=+
A A ξη=+ ()().σξση=+
4,,a F F ξ∀∈∀∈那么
()()a A a σξξ=
()a A ξ= ().a σξ=
∴σ是4F 的一个线性变换,()
4.L F σ∴∈
引理 2.2 σ是n 维向量空间V 到W 的一个线性变换,{}12,,,n ααα是V 的一个
基,则有
()()()()()12Im ,,
,n L σσασασα=.
证明 左边 ()(){}
Im ,V σξξσξξ==∀∈.
右边 ()()()()(){}111,,n n n i L a a a F σασασασα=++∈.
,,V ξξ∀∈∴∃∈左边使得().ξσξ=
又
{}1,,n αα是V 的一个基,所以11n n x x ξαα=+
+,
.ξ∴∈∴⊆右边,左右
()()11n n a a a σασ∀++∈右边, ()11n n a a σαα=+
+∈左边.
∴⊆右左.
()()()()()12Im ,,
,.
n L σσασασα∴=
引理2.3[]
1一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.
引理2.4 当()1234,,,αααα是4R 的一个基,()1234,,,αααα可逆. 证明 令()1234,,,A αααα=,A ∴为4阶矩阵. 又由引理2.3[]1,得
()1234dim ,,, 4.A αααα==秩
A ∴可逆,()1234,,,αααα∴可逆.
引理2.5[]
1两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.特别,当有个因子是可逆矩阵时,乘积的秩等于令一因子的秩.
引理2.6[]1 设V 是数域F 上()0n >维向量空间,{}12,,
,n ααα是V 的一个基.ξ,
V η∈,它们关于基{}12,,,n ααα的坐标分别是()12,,,n x x x 和()12,,,.n y y y 那
么ξη+关于这个基的坐标就是()1122,,,.n n x y x y x y +++又设.a F ∈那么a ξ关
于这个基的坐标就是()12,,
,.n ax ax ax
引理2.7[]1 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,f 是V 到W 的一个同构映射,那么()iv 12,,
,n V ααα∈线性相关 ⇔()()()12,,
,n f f f W ααα∈线性相关.
引理2.8 设V 和n F 是数域F 上的两个向量空间,且dim .V n =取{}12,,,n ααα是
V 的一个基,对于V ξ∀∈,规定
()()12,,
,.
n n f x x x F ξ=∈
证明:f 是V 到n F 的一个同构映射. 证明 V ξ∀∈,12,,
,n x x x F ∃∈,使得
1122.n n x x x ξααα=++
+
则ξ关于12,,
,n ααα的坐标为()12,,
,.n x x x
显然的,f 是V 到n F 的一个一一映射. 由引理2.6[]1,得
V η∀∈,1122n n y y y ηααα∴=++
+,()()12,,,n f y y y η∴=,
()()()()111222.n n n f x y x y x y ξηααα∴+=++++
++
,
a F ∀∈()()()1122n n
a ax ax ax ξααα=+++,
()()()12,,
,,n f a ax ax ax af ξξ∴==
()()()()1122,,,.n n f x y x y x y f f ξηξη∴+=+++=+
f ∴是V 到n F 的一个同构映射.
3.主要结论
命题3.1在数域F 上的向量空间4F 中,取
1151112331811397A --⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
. 对于4F ξ∈,令()A σξξ=. 证明:()dimIm A σ=秩.
证明 显然的由引理2.1得: ()4.L F σ∈
建立(){}
4Im .A F σξξ=∈
不妨设()1234,,,αααα是4F 的一个基, 又由引理2.2得:
()()()()()()1234Im ,,,.L σσασασασα=
()()()()()()1234dimIm dim ,,,,L σσασασασα∴= 又()11,A σαα=()22,A σαα=()33,A σαα=()44,A σαα=
∴不妨设1234,,,A A A A αααα为列向量作成矩阵,B 得
()1234,,,,B A A A A αααα=
进一步得:()1234,.,.B A αααα= 又由引理2.4,2.5[]1得:.B A =秩秩
()dimIm .B A σ∴==秩秩
定理 3.1 σ是V 到V 的一个线性映射,{}12,,
,n ααα是V 的一个基,且σ关于
12,,,n ααα下的矩阵为,A 则有
()dimIm .A σ=秩
证明 由题知,,V ξ∀∈12,,
,,n x x x F ∃∈使得
1122.n n x x x ξααα=++
+
则ξ关于12,,
,n ααα的坐标为()12,,
,.n x x x
规定 ,V ξ∀∈ ()()12,,,.n n f x x x F ξ=∈
由引理2.8得:f 是V 到n F 的一个同构映射. 又σ是V 的一个线性变换,且{}12,,
,n ααα是V 的一个基,
()11112121n n a a a σαααα∴=+++, ()21212222n n a a a σαααα=++
+,
()1122.n n n nn n a a a σαααα=++
+
σ∴关于12,,
,n ααα下的矩阵A 为
111212122212.n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
()()()111121,,,n f a a a σα∴=, ()()()221222,,
,n f a a a σα=,
()()()12,,,.n n n nn f a a a σα=
由引理2.7[]1,得
()()()12,,,n σασασα与()()()()()()12,,,n f f f σασασα保持线性相关.
由引理2.2,得
()()()()()12Im ,,,n L σσασασα=
()()()()()()()
12,,,.n L f f f σασασα=
由引理2.3[]1,得
()dimIm .
A σ=秩
注 1 在命题 3.1中取定4F 的一个标准基{}1234,,,,εεεε显然A 是σ关于
{}1234,,,εεεε的矩阵,由定理3.1得:()dimIm 2.A σ==秩可见,定理3.1是命题
3.1的一个较好的推广结论.
参考文献
[]1 张禾瑞,郝鈵新高等代数[]M .北京:高等教育出版社,2016:198-249.。