海洋中的声传播理论

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3.1 波动方程和定解条件
②柱面波情况 ③球面波情况 ——也称为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。
*பைடு நூலகம்
奇性条件
3.1 波动方程和定解条件
对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即 不满足波动方程；如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程
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3.1 波动方程和定解条件
狄拉克函数的定义
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3.2 波动声学基础
（2）截止频率 简正波临界频率和截止频率： 根据临界频率，可以反演海底介质的声速。 若海底为硬质海底
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3.2 波动声学基础
某阶简正波声压振幅分布：
传播损失
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3.3 射线声学基础
射线声学：将声波传播视为一束无数条垂直等相位面的射线传播。
声线：与等相位面垂直的射线。 射线途经的距离代表声波传播的距离； 声线经历的时间代表声波传播的时间； 声线束携带的能量代表声波传播的声能量； 射线声学为波动方程的近似解。
第3章 海洋中的声传播理论
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声场常用分析方法
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声场常用分析方法
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3.1 波动方程和定解条件
在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程： 波动方程
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3.1 波动方程和定解条件
当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式有何不同?
射线声学近似条件和局限性
（2）在声波波长的距离上，声速相对变化远小于1。
——声波声强没有发生太大变化。如在波束边缘、声影区（声线不能到达的区域）和焦散区（声能会聚区域），射线声学不成立。
——声速变化缓慢的介质。如在声速跃变层，射线声学不成立。
射线声学是波动声学的高频近似，适用于高频条件和弱不均匀介质（缓慢变化）情况。
3.2 波动声学基础
（4）传播损失 假设声源和接收器适当远离海面和海底： 在0和1之间随机取值
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如果波导中简正波个数较多：
传播损失 波动声学基础
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传播损失 波动声学基础 深度取平均后，传播损失为： 下面从声波掠射角和声源位置两方面来讨论TL值。 声能被限制在层内，随距离r作柱面波衰减。
（4）传播损失
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3.3 射线声学基础
声线的方向余弦：
程函方程
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3.3 射线声学基础
程函方程
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3.3 射线声学基础
应用举例 ♀声速为常数 声线的起始出射方向角 声速为常数时，声线为直线。
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3.3 射线声学基础
应用举例
♀声速
r
z
c (z)
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3.3 射线声学基础
♀声速 声线起始值 折射定律或Snell定律 ——射线声学的基本定律
x
声源位于：
接收点位于：
声速分布：
声线经过水平距离：
z
x
0
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3.4 分层介质中的射线声学
（2）声线水平距离
反转点处的掠射角 。
z
x
z
x
0
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3.4 分层介质中的射线声学
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3.3 射线声学基础
沿任意方向传播的平面波可写为： o x y z 波矢量 位置矢量 矢量 方向可用其方向余弦表示：
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3.3 射线声学基础
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3.3 射线声学基础
特点：声线为由点源沿外径方向放射声线束，互不相交，等相位面为同心球面，声波振幅随距离衰减。
均匀介质球面波：
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3.3 射线声学基础
射线声学基础
3.3 射线声学基础 ♀声强的基本公式 设声源单位立体角的辐射声功率为W，则声强等于： 所张截面积微元 如果声源为轴对称，考虑掠射角 到 立体角内的声线管束： 单位距离 处
3.3 射线声学基础 ♀声强的基本公式 当声线到达观察点P处，则有： 若已知起始掠射角 的声线轨迹方程： 掠射角 到 时水平距离增量：
3.3 射线声学基础
♀声强的基本公式
*
3.3 射线声学基础
♀声强的基本公式
平面问题的射线声场表示式：
如果不计入常数因子，声压振幅：
*
3.3 射线声学基础
程函方程导出条件： 2、射线声学的应用条件 强度方程条件： 具有相同数量级
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3.3 射线声学基础
（1）在声波波长的距离上，声波振幅的相对变化量远小于1。
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3.2 波动声学基础
常数A与声源强度有关，不失一般性取A=1，则有：
（1）简正波
令 ，由分离变量法可求得本征函数通解：
本征值—是波数 的垂直分量
待定系数
*
3.2 波动声学基础
根据边界条件： 自由海面： 硬质海底：
简正波
*
3.2 波动声学基础
简正波
*
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3.2 波动声学基础
3.2 波动声学基础
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3.2 波动声学基础
01
02
03
04
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3.2 波动声学基础
（4）传播损失
O
r
I(r)
声强随距离增加作起伏下降，呈现干涉曲线。
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（4）传播损失 3.2 波动声学基础 当声传播条件充分不均匀，简正波之间相位无关： 对于硬质海底的浅海声场的传播损失： 简正波相位无规假设下的声传播损失。
3.3 射线声学基础
将形式解代入波动方程：
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3.3 射线声学基础
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3.3 射线声学基础
假设声线方向为 ，其单位矢量 ，其方向就是 方向，则： （1）程函方程
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3.3 射线声学基础
由程函方程可得： 程函方程 矢量形式 标量形式
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3.3 射线声学基础
声线的方向余弦： 程函方程
级数求和的数目与传播的频率和层中参数有关。
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（2）截止频率 3.2 波动声学基础 简正波阶数最大值： 当简正波数n>N时，水平波数变为虚数，简正波振幅随r作指数衰减。在远场，声场可表示成有限项：
3.2 波动声学基础
（2）截止频率 临界频率：最高阶简正波传播频率 声源激发频率 时，波导中不存在第N阶及以上各阶简正波的传播。
3.2 波动声学基础
掠射角变化：
硬质海底： 非绝对硬海底：
传播损失大于硬质海底的TL值。
海底全反射
海底反射
3.2 波动声学基础
（4）传播损失
声源位于海面附近，TL变大。 声源位于海底附近，TL变小。
声源位置变化：
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波导模型（Pekeris模型——分层介质模型）：
2、液态海底均匀浅海声场
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3.1 波动方程和定解条件
引入新变量： 波动方程
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3.1 波动方程和定解条件
考虑简谐波，则有： 1、波动方程 不是声场势函数，K不是波数，且均为三维空间函数。
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3.1 波动方程和定解条件
在海水中，与声速相比密度变化很小，将其视为常数，则有：
波动方程
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3.1 波动方程和定解条件
如果介质有外力作用，例如有声源情况，则有： 1、波动方程 赫姆霍茨方程是变系数偏微分方程-泛定方程。
3.2 波动声学基础
简正波 同理可得 的解（零阶贝塞尔方程）：
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3.2 波动声学基础
声场中声压：
简正波
*
简正波 波动声学基础 在远场，根据汉克尔函数近似表达式： n阶简正波表达式：
3.2 波动声学基础
（1）简正波
每阶简正波沿深度z方向作驻波分布、沿水平r方向传播的波；不同阶数的简正波其驻波的分布形式不同。
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3.1 波动方程和定解条件
01
02
定解条件
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3.1 波动方程和定解条件
界面声压： ——第一类非齐次边界条件
绝对软边界条件：声压为零
界面方程：
01
如果已知边界面上的压力分布，则有：
——第一类齐次边界条件
02
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3.1 波动方程和定解条件
*
③混合边界条件：压力和振速线性组合 3.1 波动方程和定解条件 ——若a为常数，则为第三类边界条件 若 ，则为阻抗边界条件： 注意负号的物理含义。
*
3.2 波动声学基础
（2）截止频率 截止频率： 简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率 声源激发频率 时，所有各阶简正波均随距离按指数衰减，远场声压接近为零。
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（3）相速度和群速度 3.2 波动声学基础 相速：等相位面的传播速度（振动状态在介质中的 传播速度） 浅海波导属于频散介质。
非均匀介质球面波：
特点：声线方向因位置变化而变化，声线束由点源向外放射的曲线束组成，等相位面不再是同心球面。
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3.3 射线声学基础
波动方程：
形式解可写成为：
声压振幅
波数
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3.3 射线声学基础
射线声学的基本方程
折射率
参考声速
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射线声学基础
所确定的曲面为等相位面，相位值处处相等。
程函概念：
指向代表声线的方向，处处与等相位垂直。
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3.4 分层介质中的射线声学
1、Snell定律和声线弯曲
声线弯曲：
r
z
c
(a) 负梯度下声线弯曲
声线总是弯向声速小的方向。
r
z
c
(b) 正梯度下声线弯曲
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3.4 分层介质中的射线声学
2、声线轨迹 平面内声线曲率表达式： 恒定声速梯度： 恒定声速梯度情况下，声线曲率处处相等，轨迹是圆弧。
奇性条件
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3.1 波动方程和定解条件
体积积分
证明：非齐次波动方程正确性 简谐球面波有：
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3.1 波动方程和定解条件
利用高斯定理： 证明左端＝右端，证毕。
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3.1 波动方程和定解条件
初始条件 当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。
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3.1 波动方程和定解条件
3、定解条件总结
绝对软边界
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3.4 分层介质中的射线声学
（1）声线轨迹方程 恒定声速梯度： 声线曲率半径为： z 该声线轨迹方程：
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3.4 分层介质中的射线声学
（1）声线轨迹方程 声源在海面以任意掠射角出射的声线轨迹方程： z 若声源位于海面以下，请求声线轨迹方程？
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3.4 分层介质中的射线声学
（2）声线传播水平距离
z
3.3 射线声学基础 ♀强度方程意义 强度方程： 声强矢量为管量场，根据奥高定理：
3.3 射线声学基础 ♀强度方程意义 封闭面S选沿声线管束的侧面和管束两端的横截面S1和S2，侧面的面积分为零，则： 由声源辐射声功率确定
♀强度方程意义 声能沿声线管束传播，端面大，声能分散，声强值减小；端面小，声能集中，声强值增加，因而声强I与面积S成反比。 管束内的声能不会通过侧面向外扩散。
绝对硬边界
阻抗型边界
间断型边界
第一类
边界 条件
第二类
第三类
辐射 条件
平面波
柱面波
球面波
奇性 条件
初始 条件
波导模型： 上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和海底均平整。
波动声学基础
硬底均匀浅海声场
3.2 波动声学基础
由于问题圆柱对称性，则水层中声场满足波动方程： 简正波 在圆柱对称情况下，根据狄拉克函数定义可求得：
（3）相速度和群速度 3.2 波动声学基础 群速：声波能量的传播速度 简正波的群速小于相速。
波动声学基础
相速度和群速度
相速度和群速度
波动声学基础
相速与群速区别：
（3）相速度和群速度
相速与群速区别：
相速：虚斜线沿r方向传 播速度 群速：波形包络传播速度
波导为频散介质，导致脉冲波形传播畸变
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3.3 射线声学基础
♀声速
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3.3 射线声学基础
♀声线弯曲 正声速梯度： 声线总是弯向声速小的方向。 负声速梯度：
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3.3 射线声学基础
♀程函显示求解 讨论xoz平面问题： Snell定律
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3.3 射线声学基础
强度方程 ♀强度方程意义 声强定义： 为简单计，只考虑x方向：
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射线声学基础 ♀强度方程意义 在高频或声压振幅随距离相对变化甚小：
3.1 波动方程和定解条件
④边界上密度或声速有限间断 若压力不连续，质量加速度趋于无穷； 若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”。 边界上压力和法向质点振速连续： 边界条件限制波动方程一般解（通解）在边界上取值。
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3.1 波动方程和定解条件
辐射条件
无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质。
3.4 分层介质中的射线声学
海水介质具有垂直分层特性，令x、y为水平坐标，z为垂直坐标，在分层介质中：
分层介质模型是实际海洋介质近似理想模型。
r
z
c (z)
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3.4 分层介质中的射线声学
1、Snell定律和声线弯曲 射线声学遵循的Snell定律： ①已知声线出射处掠射角和声速垂直分层分布，可按Snell定律求出任意深度处声线掠射角。 ②不同起始掠射角，对应不同的声线轨迹。
3.2 波动声学基础
液态海底没有切变波，其声速通常大于海水声速，但对于高饱和海底沉积层会出现相反情况。
3.2 波动声学基础
简正波 同硬质海底情况一样，可以求得液态海底均匀浅海声场底简正波为：
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3.2 波动声学基础
简正波 若海底为硬质海底
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3.2 波动声学基础
（1）简正波
在液态下半空间中，振幅沿深度按指数规律衰减，频率越高，振幅衰减越快。高频声波在界面发生全反射时，能量几乎全被反射会水层中，波的能量几乎被限制在层内传播。