春季班七年级下册教案第9讲：三角形全等基本方法介绍

第9讲三角形全等的基本方法的总结
【学习目标】
1．了解并掌握全等三角形的概念及性质，并能利用性质解决一些实际问题；
2．会识别全等三角形中的全等元素，会用符号表示全等，理解全等三角形的性质；
3．掌握三角形全等的“SSS”,“ASA”,“AAS”,“SAS”，“HL”条件；
【学习重点】
1．能正确识别全等三角形的对应元素，掌握三角形全等的性质，并能运用性质进行解题；
2．掌握三角形全等的“SSS”,“ASA”,“AAS”,“SAS”，“HL”条件；
【学习难点】
1．能利用三角形全等的条件进行有条理的思考并进行简单的推理；
2．证明题的分析方法与技巧的总结与运用。

【知识梳理】
1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。

2.全等三角形性质：两全等三角形的对应边相等，对应角相等．对应边上的高，对应边上的中线，对
应角的平分线相等.全等三角形对应周长相等，面积相等．
3．全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” ；(2) “角边角”或“ASA”；(3) “边边边”或“SSS”；
(4) “角角边”或“AAS” ；(5) “斜边、直角边”或“HL”
【典例剖析】
考点一：全等三角形的定义与性质
例1：下列说法正确吗？为什么？
（1）两个正方形一定是全等图形。

（）
（2）两个边长相等的等边三角形是全等图形。

（）
（3）一边相等的两个直角三角形是全等图形。

（）
（4）全等三角形的周长和面积都相等。

（）
（5）周长相等的图形是全等图形。

（）
（6）面积相等的图形是全等图形。

（）
【变式1】（2015饶平县期末）如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下
列结论错误的是（）
A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D
【变式2】（2013涉县校级月考）下列图形中，与右图全等的是（）
A．B．C．D．
【变式3】（2016郑州一模）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA
向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时．△ABP
和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
A D
C B 考点二：三角形全等的判定一（SSS ）
例2：如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ， BE =CF ． 求证∠A =∠D ．
【变式】已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。

考点三：三角形全等的判定二（SAS ）
例3：（2016培优）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF//AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 。

（1）求证：CD=BF ；
（2）求证：AD ⊥CF 。

【变式1】已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。

求证DF=BE ．
【变式2】已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。

求证：∠C=∠D ．
A E
B
C F
D 2 A C B
E D 1
【变式3】（红河·中考题）已知：OA=OB，AC=BD，∠A=∠B，M为CD中点，
求证：OM平分∠AOB
考点四：三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）
例4：如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．
【变式练习】（2015九中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE
是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交
CF的延长线于D。

求证：（1）AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长。

考点五：三角形全等的判定五（HL）
例5：如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．
【变式练习】
1.已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE BF
=．
求证：（1）AE CF
=；（2）AB CD
∥．
A
C B
D
A
D
E
C
B
F
A B
C
O
D
【课堂练习】
A．基础知识过关
1.（2015乳山市期末）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（）
A．105°B．120°C．115°D．135°
2.判断题
（1）两边和一角对应相等的两个三角形全等。

（）
（2）两角和一边对应相等的两个三角形全等。

（）
（3）两条直角边对应相等的两个三角形全等。

（）
（4）腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等。

（）
（5）三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等。

（）
（6）两个等边三角形全等。

（）
（7）一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （）
（8）腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等; （）
（9）腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等; （）
（10）有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）
3.（2016宜兴市校级月考）如图，正方形ABCD中，∠DAF=20°，AF交对角线BD于E，
交CD于F，则∠BEC=（）
A．80°B．70°C．65°D．60°
B．B卷能力训练
4.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC∥DF．
C．满分冲刺提升
5.（兰州·中考题）已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．
【家庭作业】
（第9次课：三角形全等的基本方法的总结）
校区：学号：姓名：______ 作业等级：______
第一部分：
1.（2015红桥期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）
A．150°B．180°C．210°D．225°
2．（2015成都校级期末）下列说法不正确的是（）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等
3.（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分
线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
第二部分：
4.（2015徐州校级月考）已知，如图，BC上有两点D、E，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，AB和AC 相等吗？为什么？
5．（2015灌阳县期中）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由．
第三部分：
6.（2016沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别
过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．。