第4章内力与内力图(修改)

4.3
一、轴力
轴向拉（压）杆的内力
为了对拉、压杆的失效计算，首先必须要分析其内 力。截面法是求杆件内力的基本方法。下面通过求解图 所示拉杆m-m横截面上的内力来具体介绍截面法求内力。
FFP P FP
m
m
FP FN
FN
FP
二、解题步骤
第一步：沿需要求内力的横截面，假想地把杆件截成两 部分。 第二步：取任意一段作为研究对象，标上内力。由于内
杆及直杆，曲杆与折杆等。
2．杆件的基本变形 杆件在外力作用下，实际杆件的变形有时是非常 复杂的，但是复杂的变形总可以分解成几种基本的变 形形式。杆件的基本变形形式有四种：
（1）轴向拉伸或轴向压缩
在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重 合的外力作用下，使杆件发生长度的改变(伸长或缩短)。
轴向拉伸
1．连续性假设 认为在材料体积内充满了物质，毫无间隙。在此假 设下，物体内的一些物理量能用坐标的连续函数表示 它的变化规律。实际上，可变形固体内部存在着间隙，
只不过其尺寸与结构尺寸相比极为微小，可以忽略不
计。
2．均匀性假设
认为材料内部各部分的力学性能是完全相同的。所 以，在研究结构时，可取构件内部任意的微小部分作 为研究对象。
将杆件截面上的所有分布内力想横向截面的形心C简化,一般情 况下得一力和一力偶。该力等于横截面上分布内力力系的主失 FR，该力偶之矩等于分布内力力系对于简化中心的主矩，矩失 为MC。再将该力力失、力偶矩矢向空间直角坐标轴分解，得 六个分矢量： FN= FNi FQy= FQyj FQz= FQyk MX=MXi My=Myj Mz=Mzk
总之，本书研究的变形固体被视作连续、均匀、各向同性的，
寸进行计算。
4.2 内 力
为了研究结构或构件的强度与刚度问题，必须了解构件在外 力作用后引起的截面上的内力。所谓内力，是指由于构件受外力 作用以后，其内部各部分间相对位置改变而引起的相互作用力。 必须指出的是，构件的内力是由于外力的作用引起的。因此， 又称为“附加内力”。 4.2.1 分布力 用一截面将杆件截为两部分,取其中一部分为研究对象,杆件内 一部分对另一部分的作用力连续地分布在截面上,这样的内力称 为分布内力。 4.2.2 内力分量
第4章第4章内力与内力图内力与内力图第1节变形固体第2节内力第3节轴向拉压杆的内力第4节梁的内力第5节梁的内力方程与内力图第6节叠加法作梁的弯矩图第7节扭转杆的内力第2章中已经研究了结构在荷载作用下的平衡问题那时都是假设结构不变形的然而实际上任何结构都是可变形固体组成的
第4章
第2节 内力
内力与内力图
MC+ =0
-MC++FBl/2-ql2/8=0
FB
由本例可以看出，集中力偶作用处的截面两侧的剪力值
相同，但弯矩值不同，其变化值正好是集中外力偶矩的数值。
从上面的两例题的计算，可以总结出如下规律： （1） 任一截面上的剪力数值上等于截面左边（或右 边）段梁上外力的代数和。截面左边梁上向上的外力或
右边梁上向下的外力引起正值的剪力，反之，则引起负
ga2l
a A
x＝0
+
a
FN(x) ＝ 0
x＝l FN(x) ＝ ga2l (4)绘制出轴力图 FN图
l
FN(x)
B x
W=ga2x
4.4
梁的内力
在工程中常常会遇到这样一类杆件，它们所
承受的荷载是作用线垂直于杆轴线的横向力，或
者是作用面在纵向平面内的外力偶矩。在这些荷 载的作用下，杆件相邻横截面之间发生相对转动， 杆的轴线弯成曲线，这类变形，在本章第1节中， 定义为弯曲。凡以弯曲变形为主的杆件，通常称
B l/2
∑Fy=0
FQC ¯=ql/4 ∑MC=0 MC¯ =ql2/4
-FQC ¯+FA-ql/2=0
MC¯-FAl/2+ql2/8=0
FA
FB
q
A C
FQC¯ MC ¯
q C B
计算C+截面的剪力和弯矩 ∑Fy=0 FQC +=ql/4 FQC ++FB-ql/2=0
FA
MC+
FQC+
∑MC=0
q A q
B
C自 由 端 B D
C自
由 端
A
双杠横杆
4.4.3 梁的內力——剪力和弯矩
梁截面上的内力必是的一个平行于横截面的内力
FQ，称为剪力和一个作用面与横截面垂直的内力偶M，
称为弯矩。
FP M P A
m
m
q B A
FP M P FQ M FA FB
FA
剪力和弯矩的正负号规定
FQ
+
FQFQ
－
FQ M
即把结构看成完全弹性体。
工程中大多数结构在荷载作用下产生的变形与结构本身尺寸 相比是很微小的，故称之为小变形。本书研究的内容将限制在小
变形范围，即在研究结构的平衡等问题时，可用结构的变形之前
的原始尺寸进行计算，变形的高次方项可以忽略不计。 为了研究结构在荷载作用下的内力、应力、变形、应变等，
在作理论分析时，对材料的性质作如下的基本假设。
的轴力值，且轴力的正负值画在横坐标轴的不同侧，那么如此 绘制出的轴力与横截面位置关系图，称为轴力图。
例4-1 一直杆受拉(压)如图所
示，试求横截面1-1、2-2、3-3
上的轴力，并绘制出轴力图。 解 (1)AB段 ∑Fx=0 FN1–1kN=0 FN1=1 kN （拉） (2)BC段 ∑Fx=0 FN2–1kN+4kN=0 FN2=–3 kN （压） (3)CD段 ∑Fx=0 –FN3+2kN=0 FN3=2 kN （拉） (4)绘制出轴力图
为梁。
梁是一类很常见的杆件，在建筑工程中占有重要的地位。 例如图所示的吊车梁、雨蓬、轮轴、桥梁等。
4.4.1
梁的平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，这
根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称面。
如果作用于梁上的所
有荷载都在梁的纵向对称 面内，则变形后梁的轴线 将在此平面内弯曲，这种 弯曲称为平面弯曲。
1 C
1
2
1m 10kN
1
1
FQ1 M1
M1=－5kN· m (2) 2-2截面
∑Fy=0 ∑MO2=0 M2=5kN· m FQ2=0 M2－5kN· m＝0 5kN· m
2
2
FQ2
M2
例4-6 已知简支梁受均布 荷载q和集中力偶M=ql2/4的作 用，如图所示。试求C点稍右 A
M C l/2
q B l/2
FP 轴向压缩
FP
FP
FP
（2）扭转 在一对转向相反、
位于垂直杆轴线的两平
面内的力偶作用下，杆 任意两横截面发生相对 转动。
（3） 剪切
在一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的 横向力作用下，杆件的横截面将沿力作用线方向发生 错动
FP
FP
δ
FP
m m
FP
d
δ
（4） 弯曲
在一对大小相等、转向相反，位于杆的纵向平面
4.5.1 剪力方程和弯矩方程
由上述例题可以看出，一般情况下，梁上不同的横截面其剪 力和弯矩也是不同的，它们将随截面位置变化而变化。设横截
面沿梁轴线的位置用坐标x表示，则梁各个横截面上的剪力和弯
矩可表示成为x的函数 FQ=FQ(x) ， M=M(x)
以上两函数表达式，分别称为剪力方程和弯矩方程。
力偶矩矢量MX My Mz三个分力偶的作用效应，这三个分力偶 的力偶平面分别垂直于x轴、 y轴、 z轴。杆件横截面的内力指 的就是用这三个集中力和这三个集中力偶表示的内力分矢量。 由于各内力分矢量的方位已经确定，则采用代数量表示的杆件 截面的内力分量。
FN称为轴力，对应杆件的轴向拉伸压缩变形； FQy、FQz称为剪力，对应杆件的剪切变形；
1)简支梁
一端为固定铰支座,另一端为可动铰
支座的梁
1.弯曲变形和平面弯曲 A B q
A
B
2)悬臂梁 一端为固定端,另一端为自由端的梁
A 固 定 端 A
B
q
FP B
自 由 端
3) 外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
C FP B C 自 由 端
q
A
3) 外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁 FP
纵向对称面 FP q
M
轴 线
F1
F2
4.4.2 单跨静定梁的分类
工程中的梁的横截面一般都有竖向对称轴，
且梁上荷载一般都可以近似地看成作用在包含 此对称轴的纵向平面（即纵向对称面）内，则 梁变形后的轴线必定在该纵向对称面内。这种 梁变形后的轴线所在平面与荷载的作用面完全
重合的弯曲变形称为平面弯曲，如图所示。
截面C+和C点稍左截面C-的剪
力和弯矩。 解 (1)求支座反力 ∑MA=0 ∑Fy=0 FBl－ql2/2+M=0 FA+FB－ql=0 FB=ql/4 (↑) FA=3ql/4 (↑)
FA
FB
FB=ql/4 (↑)
FA=3ql/4 (↑)
M A C l/2
q
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计算C-截面的剪力和弯矩
内的力偶作用下，或者在杆的纵向对称面内受到与轴
线垂直的横向外力作用，使杆件任意两横截面发生相
对倾斜，且杆件轴线变为曲线 。
M
M
4.2.4内力计算方法−截面法
用一假想的平面将杆件截为两部分,使构件的内力显示出来,然 后,取其中一部分为研究对象,用静力平衡条件计算内力,这种求 内力的方法称为截面法。步骤如下： 1、截：沿需要求内力的横截面，假想地把杆件截成两部分。 2、取：取截面一侧的杆段为隔离体。 3、画：画隔离体的受力图 4、平衡：列平衡方程解未知内力
+
MM
－
M
规定：当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势 时为正，反之为负。
当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时
（即上部受压下部受拉）为正，反之为负。
例4-5
已知悬臂梁长度和作用荷载如图所示。试求1-1、2-2 5kN· m A 1m 5kN· m 2 B 10kN
截面的剪力和弯矩。
解(11=0 M1＋10kN×1m－5kN· m＝0
力与外力平衡，所以横截面上分布内力的合力FN的作用
线也一定与杆的轴线重合。这种内力的合力称为轴力 。 第三步：平衡方程，求出未知内力，即轴力。由
FN-F=0得
FN＝F
轴力正负号的规定：拉力为正，压力为负。
三、轴力图
应用截面法可求得杆上所有横截面上的轴力。如果以与杆件
轴线平行的横坐标x表示杆的横截面位置，以纵坐标表示相应
第1节 变形固体
第3节 轴向拉（压）杆的内力 第4节 梁的内力
第5节 梁的内力方程与内力图
第6节 叠加法作梁的弯矩图
第7节 扭转杆的内力
第2章中已经研究了结构在荷载作用下的平
衡问题，那时都是假设结构不变形的，然而，
实际上任何结构都是可变形固体组成的。它们
在荷载作用下将产生变形，因而内部将由于变
形而产生附加的内力。本章就是要在了解结构
MY、MZ称为弯矩，对应杆件的弯曲变形。
Mx称为扭矩，为对应杆件的扭转变形。 图形见教材 图4-4
4.2.3 构件的基本变形 土木工程力学在研究构件及结构各部分的强度，
刚度和稳定性问题时，首先要了解杆件的几何特性及
其变形形式。
1．杆件的几何特性
在工程中，通常把纵向尺寸远大于横向尺寸的构件称为杆
件。杆件有两个常用到的元素：横截面和轴线。横截面指沿垂 直杆长度方向的截面。轴线是指各横截面的形心的连线。两者 具有相互垂直的关系。 杆件按截面和轴线的形状不同又可分为等截面杆、变截面
的基本变形的基础上，集中研究静定结构的内
力。
4.1
4.1.1 变形固体的基本假设
变形固体
固体具有可变形的物理性能，通常将其称为变形固体。 变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变 形。弹性变形是指变形固体在去掉外力后能完全恢复它原来的形 状和尺寸的变形。塑性变形是指变形固体在去掉外力后变形不能 全部消失而残留的部分，也称残余变形。本书仅研究弹性变形，
3．各向同性假设
认为材料沿不同方向具有相同的力学性能。这使研究的对象 局限在各向同性的材料之上。如钢材、铸铁、玻璃、混凝土等。 若材料沿不同方向具有不同的力学性质，则称为各向异性材料， 如木材、复合材料等。本书着重研究各向同性材料。 由于采用了上述假设，大大地方便了理论研究和计算方法的 推导。尽管由此得出的计算方法只具备近似的准确性，但它的精 度完全可以满足工程需要。 而且变形被限制在弹性范围的小变形问题, 在研究构件上力系的 简化、研究构件及其局部的平衡时，均可按构件的原始形状、尺
2 1 1kN 4kN A 1 B 2
1kN 1kN 4kN
3 5kN 2kN
C
3 D
FN1 FN2 FN3 2kN
+
－
2kN
FN图
1kN +
3kN
例4-2 竖杆AB如图所示，其横截面 解 为正方形，边长为a,杆长为l,材料的堆
密度为，试绘出竖杆的轴力图。
∑Fx=0 FN(x)－W ＝ 0 FN(x)＝ga2x
值的剪力。 （2） 梁任一截面上的弯矩，在数值上等于该截面左 边（或右边）段梁所有外力对该截面形心的力矩的代数 和。无论截面左段梁还是右段梁，向上的外力均引起正
值弯矩，反之，则引起负值弯矩。
使用以上规律，可以直接根据截面左边或右边梁上的外 力来求该截面上的剪力和弯矩，而不必列平衡方程。
4. 5 梁的内力方程与内力图