山东省烟台市2019届高三高考一模试卷(理科)数学试题

2019年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．（5分）已知复数z 满足(1)2i z i -=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i -
2．（5分）若集合{|1}M x x =>，{|04}N x Z x =∈≤≤，则()R C M N =（ ）
A ．{0}
B ．{0,1}
C ．{0,1,2}
D ．{2,3,4}
3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（ ）
A ．
13
B ．
12 C ．23 D ．
56
4．（5分）“0b a >>”是“11
a b
>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,1)-，则cos2θ=（ ） A ．3
5
-
B ．
35
C ．45
-
D ．
45
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A ．8
B ．16
C ．32
D ．64
7．（5分）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3
BAC π
∠=
，若2
3
BD BC =
，则AD BD ⋅=（ ）
A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．89
-
8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14
圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）
A ．12
π+
B ．
136
π+ C ．12π+
D ．
1233
π+ 9．（5分）将函数()sin()(0,)2
f x x π
ωφωφ=+><的图象向右平移
6
π
个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1
()2f πω=-，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin(2)6
f x x π
=+ B ．()sin(2)6
f x x π
=- C ．()sin(4)6
f x x π
=+
D ．()sin(4)6
f x x π
=-
10．（5分）设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥
D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．144π
11．（5分）若函数()sin 2x
x
f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ）
A ．1(1,)2
- B ．1
(,1)(,)2-∞-+∞ C ．1(,1)2-
D ．1(,)
(1,)2
-∞-+∞
12．（5分）已知1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足
120MF MF ⋅=，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．
C ．24
D ．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知5
()(2)a x x -+的展开式中3x 的系数为40，则实数a 的值为 ．
14．（5分）已知x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最小值是 ．
15．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2a =
，sin cos a B A =，则
ABC ∆周长的最大值为 ．
16．（5分）已知ln ,02()(4),24x x e
f x f e x e x e
<≤⎧=⎨-<<⎩，若方程()0f x mx -=有2个不同的实根，则实数m 的
取值范围是 （结果用区间表示）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．
17．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，*
121(2,)n n a a n n N -=+≥∈．
（1）记2log (1)n n b a =+，判断{}n a 是否为等差数列，并说明理由； （2）在（1）的条件下，设1
n
n n b c a =
+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，ABC ∆等边三角形，AC DC ⊥，以AC 为折痕将ABC ∆折起，使得平面ABC ⊥平面ACD ．
（1）设E 为BC 的中点，求证：AE ⊥平面BCD ； （2）若BD 与平面ABC 所成角的正切值为
3
2
，求二面角A BD C --的余弦值． 19．（12分）已知F 为抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，
PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．
20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布2
(,)N μσ，其中μ近似为样本平
均数x ，2σ近似为样本方差2s ．
（i ）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2(,)X N μσ，令X Y μ
σ
-=
，
则(0,1)Y
N ，且()()a P X a P Y μ
σ
-≤=≤
．
利用直方图得到的正态分布，求(10)P X ≤．
（ii ）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求
(2)P Z ≥（结果精确到0.0001）以及Z 的数学期望．
40
3
≈
，190.77340.0076≈．若(0,1)Y N ，则(0.75)0.7734P Y ≤=.
21．（12分）已知函数2()23()x
x
f x e ax a e a R -=-+∈，其中 2.71828...e =为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当(0,)x ∈+∞时，222()310()x
x
e x a a e
x a f x --+--+>恒成立，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为112
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为ρ=．
（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2
）设点(1,P ，直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求11
PA PB
+的值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()212f x x m x =--+. （1）当1m =时，求不等式()2f x ≥的解集；
（2）若实数m 使得不等式(2)f x m ->在[1,1]x ∈-恒成立，求m 的取值范围．
2019年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
1-5：ABDAD 6-10：CABCC 11、12：BC
1．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由(1)2i z i -=，得22(1)
11(1)(1)
i i i z i i i i +=
==-+--+， ∴1z i =-+． 故选：A ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．【分析】可求出集合N ，然后进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：{0,1,2,3,4}N =，{|1}R C M x x =≤； ∴(){0,1}R C M N =．
故选：B ．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．
3．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数11
236n C C ==，取出的两球中至少有1个红球的对
立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率． 【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球， 现从两袋中各随机取一个球，
基本事件总数11
236n C C ==，
取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球， ∴利用对立事件概率计算公式得：
取出的两球中至少有1个红球的概率为11115
166
C C p =-=．
故选：D ．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当0b a >>时，11a b >成立，反之当0b <，0a >时，满足11
a b
>， 但0b a >>不成立，即“0b a >>”是“11
a b
>”的充分不必要条件，
故选：A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 5．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sin θ，然后展开二倍角公式求cos2θ． 【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,1)-，
∴OP =
∴sin 10
θ=
．
则24cos 212sin 212105
θθ=-=-⨯=. 故选：D ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题． 6．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：当1a =，2b =时，2S ab ==，100S <成立， 则2a =，2b =，224S ab ==⨯=，100S <成立，
则2a =，4b =，248S ab ==⨯=，100S <成立， 则4a =，8b =，4832S ab ==⨯=，100S <成立， 则8a =，32b =，832256S ab ==⨯=，100S <不成立， 输出32b =， 故选：C ．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．
7．【分析】本题主要是找到两个基底向量AB ，AC ，然后用两个基底向量表示AD ，BD ，再通过向量的运算即可得出结果．
【解答】解：由题意，画图如下：
则：2222
()3333
BD BC AC AB AB AC ==-=-+， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+12
33
AB AC =+.
∴1222
()()3333AD BD AB AC AB AC ⋅=+⋅-+
22242
999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅
242
49cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠
82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅
229
=. 故选：A ．
【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．
8．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体， 结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与1
4
圆锥体的组合体， 如图所示；
则该组合体的体积为11111112122323436
V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136
π
+．
故选：B ．
【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
9．【分析】由题意利用函数sin()y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由1()2
f πω=-，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式． 【解答】解：将函数()sin()(0,)2
f x x π
ωφωφ=+><
的图象向右平移
6
π
个单位长度后，可得sin()6
y x ωπ
ωφ=-
+的图象；
∵所得图象关于y 轴对称，∴6
2
k ωπ
π
φπ-+=+
，k Z ∈．
∵1()sin()sin 2f ππφφω=-=+=-，即1sin 2φ=，则当ω取最小值时，6
πφ=， ∴6
3
k ωπ
π
π-
=+
，取1k =-，可得4ω=，∴函数()f x 的解析式为()sin(4)6
f x x π
=+
.
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题． 10．【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解． 【解答】解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，AB AC ==，
由11
2732
DE ⨯⨯=，解得9DE =，
则2
1AE EF DE
==．
∴球O 的直径为10DE EF +=， 则球O 的半径为
1
1052
⨯=． ∴该球的表面积为452100S ππ=⨯=． 故选：C ．
【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 11．【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数； 把2
(21)()0f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可． 【解答】解：函数()sin 2x
x
f x e e x -=-+，定义域为R ，
且满足()sin(2)x
x f x e
e x --=-+-(sin 2)()ex e x x
f x =---+=-，
∴()f x 为R 上的奇函数； 又'()2cos 222cos 20x
x
f x e e
x x x -=++≥+≥恒成立，
∴()f x 为R 上的单调增函数； 又2
(21)()0f x f x -+>， 得2(21)()()f x f x f x ->-=-， ∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12
x >
， 所以x 的取值范围是1
(,1)
(,)2
-∞-+∞．
故选：B ．
【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．
12．【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【解答】解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=， ∴12MF MF ⊥， ∴222440m n c +==， ∴2
2
2
()2m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得2
2
2
(4)(2)6t t +=++， 解得6t =，
∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111
862422
S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选：C ．
【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
二、填空题：
13. 3 14.
94 15. 6 16. 1(,)e
-∞ 13．【分析】把5
(2)x +按照二项式定理展开，可得5
()(2)a x x -+的展开式中3x 的系数，再根据
5()(2)a x x -+的展开式中3x 的系数为40，求得a 的值．
【解答】解：∵5
2
3
4
5
()(2)()(3280804010)a x x a x x x x x x -+=-+++++的展开式中3x 的系数为
408040a -=，
∴3a =， 故答案为：3．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：作出x ，y 满足约束条件330
040x y x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
的对应的平面区域如图：
由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，
由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的截距最小， 此时z 最小，由3300
x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得33
(,)44A ，
此时339
2444z =
⨯+=， 故答案为：9
4
．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．
15．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin sin cos A B B A =，结合sin 0B >，可求tan A =结合范围(0,)A π∈，可求3
A π
=，由余弦定理，基本不等式可求4bc ≥，进而可求4b c +≤，即可计算
得解ABC ∆周长的最大值．
【解答】解：∵2a =，sin cos a B A =，
∴由正弦定理可得：sin sin cos A B B A =， ∵sin 0B >，
∴sin A A =，可得：tan A = ∵(0,)A π∈， ∴3
A π
=
，
∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b c =时等号成立，
∴由2
2
2
4()3b c bc b c bc =+-=+-，可得：2
()4343416b c bc +=+≤+⨯=， 即4b c +≤，当且仅当b c =时等号成立，
∴ABC ∆周长246a b c ++≤+=，即其最大值为6． 故答案为：6．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和
转化思想，属于基础题．
16．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：()0f x mx -=有2个不同的实根等价于
()y f x =的图象与直线y mx =的交点个数为2，
由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与()y f x =相切与点00(,)P x y ，由
1'()f x x
=
，则此切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-，又此直线过原点(0,0)，则求得0x e =，即切线方程为：1y x e =再结合图象可得：实数m 的取值范围是1
m e
<，得解. 【解答】
解：由ln ,02()(4),24x x e f x f e x e x e <≤⎧=⎨
-<<⎩
， 可得：()y f x =在(0,4)e 的图象关于直线2x e =对称，
()0f x mx -=有2个不同的实根等价于()y f x =的图象与直线y mx =的交点个数为2， ()y f x =的图象与直线y mx =的位置关系如图所示，
设过原点的直线与()y f x =相切与点00(,)P x y ， 由1'()f x x
=
， 则此切线方程为：000
1
ln ()y x x x x -=-， 又此直线过原点(0,0)， 则求得0x e =，
即切线方程为：1
y x e
=
， 由图可知：当()y f x =的图象与直线y mx =的交点个数为2时， 实数m 的取值范围是1m e
<， 故答案为：1(,)e
-∞．
【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．
三、解答题：
17．【分析】（1）根据题意，由于2log (1)n n b a =+，分析可得当1n =时，计算可得1b 的值，当2n ≥时，分析1n n b b --的值，综合即可得答案；
（2）由（1）的结论求出{}n b 的通项公式，进而可得2n n
n
c =，由错位相减法分析可得答案． 【解答】解：（1）根据题意2log (1)n n b a =+， 当1n =时，有1212log (1)log 21b a =+==；
当2n ≥时，1221211log (1)log (1)log 1n n n n n n a b b a a a ---+-=+-+=+122122
log log 211
n n a a --+===+；
所以数列{}n b 是以1为首项、公差为1的等差数列．
（2）由（1）的结论，数列{}n b 是以1为首项、公差为1的等差数列，则2(1)n b n n =+-=，
则12n
n a +=，于是2n n
n
c =
， 23111111
12()3()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，①
23111111
1()2()...(1)()()22222
n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，② ①﹣②可得：231111111()()...()()222222n n n T n +=++++-⨯11111()
1122
()1122212
n n n n n n +++-=
-⨯=---， 所以222
n n n
T +=-．
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{bn}的通项公式，属于综合题． 18．【分析】（1）推导出CD ⊥平面ABC ，从而CD AE ⊥，再求出AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面
BCD ．
（2）由DC ⊥平面ABC ，知DBC ∠即为BD 与平面ABC 所成角，从而在直角DCB ∆中，
3
tan 2
DC DBC BC ∠=
=，以C 为坐标原点，分别以CD ，CA 所在的方向作为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系C xyz -．利用向量法能求出二面角A BD C --的余弦值． 【解答】证明：（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ， 平面ABC
平面ACD AC =，CD ⊂平面ACD ，CD AC ⊥，
所以CD ⊥平面ABC ．
又AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥．
在等边ABC ∆中，因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 因为AE CD ⊥，AE BC ⊥，CD BC C =，
所以AE ⊥平面BCD ．
（2）解：由（1）知DC ⊥平面ABC ，所以DBC ∠即为BD 与平面ABC 所成角， 于是在直角DCB ∆中，3
tan 2
DC DBC BC ∠=
=． 以C 为坐标原点，分别以CD ，CA 所在的方向作为x 轴、y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
C xyz -．
设等边ABC ∆的边长为a ， 则32CD a =
，(0,0,0)C ，(0,,0)A a
，(0,,)22
a B ，3(,0,0)2a D ，
(0,,)22a AB =-，3(,,0)2a AD a =-
，(0,,)22
a CB =，3(,0,0)2a CD =.
设平面ABD 的一个法向量为111(,,)m x y z =，
则00AB m AD m ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
，即11
11
0230
2
a y ax ay ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，
令11z =
，则1y =
13x =
23
(3
m =. 设平面BCD 的一个法向量为222(,,)n x y z =，
则
CB n
CD n
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
，即
22
2
1
2
3
2
ay
ax
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
解得
20
x=，令
21
z=
，则
2
y=(0,3,1)
n=-．
所以
2
cos,
44
2
m n
m n
m n
⋅-
<>===-
⋅
.
由题意知二面角A BD C
--为锐角，所以二面角A BD C
--．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．【分析】（1）由题意可得24
AB p
==，即可求出抛物线的方程，
（2）设直线AB的方程为1
y x
=-，联立
24
1
y x
y x
⎧=
⎨
=-
⎩
消去x，得2440
y y
--=，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标
【解答】解：（1）因为(,0)
2
p
F，在抛物线方程22
y px
=中，令
2
p
x=，可得y p
=±．
于是当直线与x轴垂直时，24
AB p
==，解得2
p=．
所以抛物线的方程为24
y x
=．
（2）因为抛物线24
y x
=的准线方程为1
x=-，所以(1,2)
M--．
设直线AB的方程为1
y x
=-，
联立
24
1
y x
y x
⎧=
⎨
=-
⎩
消去x，得2440
y y
--=．
设11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，则
12
4
y y
+=，
12
4
y y=-.
若点00(,)P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即00102
00102
221y y y y y x x x x x +--⋅
=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2
224y x =．
代入化简可得0012
220012012
2(2)24()y y y y y y y y y y y +++=++++，
将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±． 将02y =±代入抛物线方程，可得01x =． 于是点(1,2)P ±为满足题意的点．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强． 20．【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解； （2）（i ）由题知9μ=，2 1.78σ=，则(9,1.78)X
N ，求出σ，结合已知公式求解(10)P X ≤．
（ⅱ）由（i ）知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=，可得(20,0.2266)Z
B ，由
(2)1(0)(1)P Z P Z P Z ≥=-=-=求解(2)P Z ≥，再由正态分布的期望公式求Z 的数学期望()E Z ．
【解答】解：（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
2(69)20.03(79)20.1(89)20.2
s =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯(99)20.35(109)20.19(119)20.09+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯(129)20.04 1.78+-⨯⨯=；
（2）（i ）由题知9μ=，2 1.78σ=，∴(9,1.78)X
N
，43
σ==≈．
∴
109
(10)()(0.75)0.773443
P X P Y P Y -≤=≤
=≤=； （ⅱ）由（i ）知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=， 可得(20,0.2266)Z
B ，(2)1(0)(1)P Z P Z P Z ≥=-=-=
201
192010.77340.22660.7734C =--⨯⨯
1(0.7734200.2266)0.0076=-+⨯⨯
0.9597≈.
∴Z 的数学期望()200.2266 4.532E Z =⨯=.
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题． 21．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）令2
2
()(1)210x
g x e x a x ax a =---+-+只需在(0,)x ∈+∞使min ()0g x >即可，通过讨论a 的范围，
求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可． 【解答】解：（1）由题意可知，22223'()23x x x
x
x e ae a f x e a a e
e ---=--=(3)()
x x x
e a e a e
-+=， 当0a =时，'()0x
f x e =>，此时()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，令'()0f x =，解得ln(3)x a =， 当(,ln(3))x a ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln(3),)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当0a <时，令'()0f x =，解得ln()x a =-， 当(,ln())x a ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln(),)x a ∈-+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增； 综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，(,ln(3))x a ∈-∞时，()f x 单调递减，
(ln(3),)x a ∈+∞时单调递增；
当0a <时，(,ln())x a ∈-∞-时，()f x 单调递减，
(ln(),)x a ∈-+∞时单调递增．
（2）由222()310()x
x
e x a a e
x a f x --+--+>，
可得，2
2
(1)2100x
e x a x ax a ---+-+>， 令2
2
()(1)210x
g x e x a x ax a =---+-+，
只需在(0,)x ∈+∞使min ()0g x >即可，
'()(1)22(2)()x x x g x e x a e x a e x a =--+-+=--，
①当0a ≤时，0x a ->，当0ln 2x <<时，'()0g x <，当ln 2x >时，'()0g x >， 所以()g x 在(0,ln 2)上是减函数，在(ln 2,)+∞上是增函数， 只需2
2
(ln 2)(2ln 22)ln 22ln 280g a a =-+--++>， 解得ln 24ln 22a -<<+，所以ln 240a -<≤； ②当0ln 2a <<时，()g x 在(0,)a 上是增函数， 在(,ln 2)a 上是减函数，在(ln 2,)+∞上是增函数，
则(ln 2)0(0)0g g >⎧⎨≥⎩
，解得0ln 2a <<，
③当ln 2a =时，'()0g x ≥，()g x 在(0,)+∞上是增函数， 而2
(0)9ln 2ln 20g =-->成立，
④当ln 2a >时，()g x 在(0,ln 2)上是增函数， 在(ln 2,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，
则2
()100(0)90
a g a e g a a ⎧=->⎪⎨=--≥⎪⎩，解得ln 2ln10a <<． 综上，a 的取值范围为(ln 24,ln10)-.
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【解答】解：（1）直线l
的普通方程为20x ++=； 因为2
2
8
2cos ρθ
=
-， 所以2
2
2cos 28ρρθ-=，
将cos x ρθ=，2
2
2
x y ρ=+，代入上式，
可得22
28x y +=．
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，
可得2540t --=，
设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，
则125
t t +=
，1245t t =-．
于是
1212
11
PA PB t t PA PB PA PB t t +-+==⋅
==.
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23．【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得； （2）将不等式分离参数m 后构造函数求最小值可得． 【解答】解：（1）当1m =时，2122x x --+≥， 当2x ≤-时，原不等式转化为1222x x -++≥，解得2x ≤-； 当1
22
x -<≤时，原不等式转化为1222x x ---≥，解得21x -<≤-； 当1
2
x >
时，原不等式转化为2122x x ---≥，解得5x ≥； 综上，不等式的解集为{|15}x x x ≤-≥或.
（2）由已知得：(2)25f x x m x m -=-->，即251
x m x -<+.25
()1
x g x x -=
+，[1,1]x ∈-，由题意min ()m g x <． 当[0,1]x ∈时，257
()211
x g x x x -+==-+++为减函数， 此时最小值为3(1)2
g =
；
当[1,0)x ∈-时，253()211x g x x x -+=
=--+-为增函数， 此时最小值为7(1)2
g -=． 又3722<，所以min 3()2
g x =． 所以m 的取值范围为3{|}2
m m <. 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。