高中数学 2.42.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义检测试题 新人教A版必修4

2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
基础提升
1．下列命题正确的是( )
A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．a·b ＝b·a
C ．若a·b<0，则a 与b 的夹角为钝角
D ．(a·b)·c ＝a·(b·c)
解析：a·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b·c ∈R ，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.
答案：B
2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a·b 为( )
A ．6
B ．－6
C ．－6 2
D ．6 2
答案：B
3．如果a·b ＝a·c ，且a≠0，那么( )
A ．b ＝c
B ．b ＝λc
C ．b ⊥c
D ．b 、c 在a 方向上的投影相等
答案：D
4．在△ABC 中，若()CA →＋CB →·()
CA →－CB
→＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．正三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
答案：C
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )
A ．－16
B ．－8
C ．8
D ．16
解析：因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，
所以AB →·AC →＝()AC →＋CB →·AC →＝()
AC →2＋AC →·CB →＝16，故选D. 答案：D
巩固提高
6．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，
且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．
解析：把BC →转化为AC →－AB →，再通过AP →·BC →＝0 求解．
∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0.
又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，
∴(λAB →＋AC →)(AC →－AB →)＝0.
即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0.
∴(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.
∴(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712
. 答案：712
7．已知|a|＝|b|＝5，a 与b 的夹角为π3
，求|a ＋b|，|a －b|的值．
解析：∵a·b ＝|a||b|cos π3＝5×5×12＝252
， ∴(a ＋b)2＝a2＋2a·b ＋b2＝25＋2×252
＋25＝75，
(a －b)2＝a2－2a·b ＋b2＝25－2×252＋25＝25. ∴|a ＋b|＝53，|a －b |＝5.
8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．
解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°，
∴a·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭
⎫－12＝－1. ∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角，
∴()a ＋λb ·
()λa ＋b <0. 又()a ＋λb ·()λa ＋b ＝λa2＋()λ2＋1a·b ＋λb2，
∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0.
解得λ<5－212或λ>5＋212
. ∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋212，＋∞.
9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a·b ＝b·c ＝c·a ，判断△ABC 的形状．
解析：如下图所示，a·b ＝||a ||b cos ()π－C ＝
－||a ||b cos C ，
b·c ＝||b ||c cos ()π－A ＝－||b ||c cos A ，
c ·a ＝||c ||a cos ()π－B ＝－||c ||a cos B.
∵a·b ＝b·c ＝c·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD
→|＝acos C ，|AD →|＝|c|cos A ，∴|CD →|＝|AD →|.
∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|.
同理可证|AB →|＝|AC →|.
∴△ABC 为正三角形．
10．如右图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求：
(1)AD →·BC →；
(2)AB →·CD →；
(3)AB →·DA →.
解析：(1)因为AD →∥BC →，且
方向相同，所以AD →与BC →的夹角是
0°. 所以AD →·BC →＝|AD|→·|BC|→cos 0°＝3×3×1＝9.
(2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos 120°＝4×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－6.。