3 弹性力学的几个基本概念

• 如何描述弹性体的受力 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 各处受力不同， 各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同 位移可直接观测，
弹性力学的几个基本概念
静不定杆件的受力分析
• 已知物体形状、大 小和弹性常数，物 体边界处受力或约 束情况
P
中杆长 L，与侧杆夹角θ，断面积均为 A. 虎克定律的弹性常数：刚度
静不定杆件的受力分析
P
F/A = E u/L
中杆长 L，与侧杆夹角θ，断面积均为 A. 虎克定律的弹性常数：刚度 K = EA/L 单位长度变形与单位面积受力：杨氏模量
应力的方向和正负 应力的方向和正
材料力学中也以拉应力 为正， 为正，但剪切力以使物 体顺时针旋转为正
正应力与面外法向一致 为正， 为正，即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴 一致时， 一致时，剪应力与坐标 轴一致为正；反之亦然 轴一致为正；
应力的方向和正负 应力的方向和正
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后， 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
悬 臂 梁 • 如何描述弹性体的受力
新课
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 各处受力不同， 各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同 位移可直接观测，
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。 单位面积的内力称为应力。
应力在作用截面的法线方向和 切线方向上的两个分量，分别 切线方向上的两个分量， 称为正应力σ和剪应力 。 称为正应力 和剪应力τ。 和剪应力 一点处的正应力和剪应力， 一点处的正应力和剪应力，其 大小和方向随选用的截面而变 化。以单向拉伸为例说明。 以单向拉伸为例说明。
P
F1 / A = Eδ 1 / L
3) 物理方程
F2 / A = Eδ 2 /( L / cosθ )
中杆长 L，与侧杆夹角θ，断面积均为 A. 单位长度变形与单位面积受力：杨氏模量 E
静不定杆件的受力分析
1) 静力平衡
F1 F2
F1 + 2 F2 cos θ = P
2) 几何方程
δ
δ1 = δ
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
以平面问题说明
应力张量的概念 中心点 C 力矩平衡
x
两个坐标面上应力知 道后， 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
σ x , σ y ,τ xy
以平面问题说明
应力张量的概念
l = cos( n , x ) 两个坐标面上应力知 道后，cos( n , y ) 道后= 其它任一方向 m ， 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
Lunar Festival
徐徐离海角 袅袅入云衢 此夜一轮满 清光何处无 释如满
十 五 的 月 亮 十 六 圆
露从今夜白 月是故乡明
复习： 复习：弹性力学的内容和方法
• 理想弹性体：完全弹性、连续、均匀和 理想弹性体：完全弹性、连续、 各向同性这4个基本假定的物体。 各向同性这4个基本假定的物体。 • 弹性力学通常假设物体受力之后的位移和 变形都远小于物体自身尺度，变形之后的 变形都远小于物体自身尺度， 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。 • 有关方程做线性简化，并满足叠加原理。
应力张量的概念：正应力、剪应力的极值 正应力、 正应力力的极值： 剪应力的极值：
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后， 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
σ x τ xy τ xz
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
在一点附近， 在一点附近，沿三个 材料力学定义剪应力 坐标方向切出三个面. 以使物体顺时针旋转 坐标方向切出三个面 为正， 为正， 注意： 注意：平面以其外法 线来定义方向的。 线来定义方向的。 因而是反对称的 因而是反对称的
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后， 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
δ 2 = δ cosθ
P
F1 / A = Eδ 1 / L
3) 物理方程
F2 / A = Eδ 2 /( L / cosθ )
EA (1 + 2 cos 3 θ )δ = P L
F2 = F1 cos 2 θ
作业：力与变形的关系图 静不定杆件的受力分析 F1 + 2 F2 cos θ = P F1 δ 1 = δ δ 2 = δ cosθ F2
应力张量的概念：主应力和应力主向 主应力和应力主向 某一方向剪应力为零
应力张量的概念：主应力和应力主向 主应力和应力主向
Mohr 圆的应用
应力张量的概念：正应力、剪应力的极值 正应力、 正应力
l = cos( n, x)
m = cos( n, y )
选取坐标轴为应力主向
τ n = lm(σ 1 − σ 2 )
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
σx = P/A 物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。 单位面积的内力称为应力。
S = P
σ θ = σ x cos 2 θ
τ θ = σ x sin θ cosθ
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
外界作用于物体力称为外力。 外界作用于物体力称为外力。力的单位 单位、 单位、词 牛顿是导出单位， 牛顿是导出单位，1 N = 1 kg m/s2 头和常量 用正体； 用正体； 用人名表示的单位都用大写字母， 用人名表示的单位都用大写字母， 简单变量 为斜体 由英文单词而来的用小写字母
有一个例外， 有一个例外，litre ( 升）一般用大写字母 L
是牛顿， 国际单位 是牛顿，符号 N
词头一般用小写， 词头一般用小写，如 k , h, d, c, m; 少数大写， 少数大写，M, G
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
外界作用于物体力称为外力。力的单位 N 外力可以分为体积力和表面力。 体积力有时也称为质量力，
重力和惯性力；体积力的单位 N/m3 高速旋转的物体可能因离心力作用而发生 不过，体积力一般可不考虑 破坏。
常用单位： 常用单位： 表面力是作用在物体表面的力， 表面力是作用在物体表面的力， 106 N/m 2 = 1 MPa 如流体压力和接触力
表面力单位： 表面力单位：1 N/m 2 = 1 Pa
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 标量：温度，角度； 标量：温度，角度； 单位面积的内力称为应力。 单位面积的内力称为应力。 向量：速度， 向量：速度，力； 应力张量的概念
在一点附近， 在一点附近，沿三个 坐标方向切出三个面. 坐标方向切出三个面 注意： 注意：平面以其法线 来定义方向的。 来定义方向的。
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。 单位面积的内力称为应力。
设想将物体切开， 设想将物体切开，分开两部分 的相互作用可以用力来表示。 的相互作用可以用力来表示。 力随位置而变化。 力随位置而变化。 取微小面积， 取微小面积，将作用力除以面 积，在面积趋于零即趋于一点 时的极限，就是该点处应力。 时的极限，就是该点处应力。
τ xy τ xz σ y τ yz τ yz σ z
平面应力的Mohr 圆
l = cos( n, x)
m = cos( n, y )
选取坐标轴为应力主向
τ
2α
σ2
(σ1+σ2)/2
σ1
祝大家 学习愉快 万事如意
弹性力学的内容和方法
• 弹性力学问题，通常是已知物体的形状、 大小和弹性常数，物体边界受力或约束情 况，而物体内部的受力、物体的变形或位 移则是需要求解的未知量。 • 考虑静力学建立平衡微分方程； 根据微分 线段上形变与位移之间的几何系，建立几 何方程；根据应力与形变之间的物理关系， 建立物理方程。 • 在物体的边界上，还要建立边界条件。
力与变形的关系图与杆件不同一般弹性体结构复杂各处受力不同各个方向受力不同如何描述弹性体的变形同样随位置方向变而变化位移可直接观测但位移与变形不同弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系与杆件不同一般弹性体结构复杂各处受力不同各个方向受力不同如何描述弹性体的变形同样随位置方向变而变化外界作用于物体力称为外力
静不定杆件的受力分析
中杆受力 F1 侧杆受力 F2 绞结点位移δ
P
中杆长 L，与侧杆夹角θ，断面积均为 A. 虎克定律的弹性常数：刚度 单位长度变形与单位面积受力：杨氏模量 E
静不定杆件的受力分析
1) 静力平衡
F1 F2
F1 + 2 F2 cos θ = P
2) 几何方程
δ
δ1 = δ
δ 2 = δ cosθ
应力的方向和正负 应力的方向和正
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。 单位面积的内力称为应力。
正应力与面外法向一致 为正， 为正，即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴 一致时， 一致时，剪应力与坐标 轴一致为正；反之亦然 轴一致为正；
F1 / A = S F2 / A = Eδ 2 /( L / cos θ )
δ
P
材料具有塑性特征 破坏还与变形有关 屈服强度 S
EA SA + 2 δ cos 3 θ = P L
结构破坏：侧杆件承载应 力达到屈服强度，或中间 杆达到断裂变形。
弹性力学的几个基本概念
新课
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系