高中数学必修一第五章《三角函数》解答题提高训练 (30)(有解析)

高中数学必修一第五章《三角函数》解答题提高训练 (30)
一、解答题（本大题共29小题，共348.0分）
1. 已知0<x <π4，sin (π4−x)=513．
(Ⅰ)求sinx 的值；
(Ⅱ)求cos2x
cos(π4+x)的值．
2. 已知sin (α+π3)−2sinα=4√35，−π<α<−π4． (Ⅰ)求cos (α+π3)的值；
(Ⅱ)求cosα的值．
3. 已知函数f(x)=cos(ωx −π3)−sin(ωx +π2)+1(ω>0)的最小正周期为π． (1)当x ∈[π4,π2]时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=2，b2=2a2−5c2，求sin C．4.设函数f(x)=(sinx+√3cosx)cos(π2−x)
．
tanx
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间(0,π
)上的值域．
2
5.已知向量a⃗=(cosx,1),b⃗ =(√3sinx,cos2x)，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −1
．
2
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π
2
)上实数解的个数及相应实数m的取值范围．(Ⅲ)试讨论关于x的方程f(x)−m=0在区间(0,π
2
6. 已知函数y =5cos(2k+13πx −π6)(其中k ∈N)，对任意实数a ，在区间[a,a +3]上要使函数值5
4出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2,0)和单位圆上的两点B (1,0)，C (−35,45)，点P 是劣弧BC
⌢
上一点，∠BOC =α，∠BOP =β．
(1)若OC ⊥OP ，求sin (π−α)+sin (−β)的值；
(2)设f(t)=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，当f (t )的最小值为1时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．
8.已知向量。

(1)求a⃗⋅b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；
(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −|a⃗+b⃗ |，求f(x)的最大值和最小值。

9.已知锐角ΔABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．
(1)求角C的值；
)−cosωx(ω>0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求
(2)设函数f(x)=sin(ωx−π
6
f(A)的取值范围．
10.设函数．
(1)求函数y=f(π
6
−2x)在[0,π]上的单调递减区间；
(2)求函数y=[f(x+π
12)]
2
+[f(x+π
4
)]
2
的值域．
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c=√3，且满足absinC
asinA+bsinB+csinC
=√3．
(1)求角C的大小；
(2)求b+2a的最大值．
12.f(x)=sin(x−3π2)sin(3π+x)cos(−x)
sin(x−2π)cos(−π+x)
．
(1)化简f(x)；
(2)设0<x<π，且f(x)=√5
5
，求tan2x的值．
13. 已知向量p ⃗ =(1,√3)，
．
(1)若p ⃗ //q ⃗ ，求sin2x −cos 2x 的值；
(2)设函数f(x)=p ⃗ ·q ⃗ ，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再把所得的图像向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图像，求g(x)的单调增区间．
14. 已知角α的终边经过点P(m,2√2)，sin =2√
23
，且α在第二象限． (1)求m 的值；
(2)若tanβ=√2，求sinαcosβ+3sin(π2
+α)sinβcos(π+α)cos(−β)−3sinαsinβ的值．
15.已知函数f(x)=cos x
2sin(x
2
+π
3
)−√3cos2x
2
+√3
4
．
(Ⅰ)求f(x)在区间[0,π]内的单调区间；
(Ⅱ)若f(x0)=2
5,x0∈[0,π
2
]，求sinx0的值．
16.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以
AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.(道路宽度忽略不计)
(1)若PB经过圆心，求点P到AD的距离；
(2)设∠POD=θ，θ∈(0,π
2
)．
①试用θ表示EF的长度；
②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．
17.已知向量函数f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2
(1)求f(x)的最大值，并求f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，角B为锐角且f(B)=1,b=√3，若满足条件的ΔABC仅
有一解，求a的取值范围．
18.已知函数f(x)=sin x
2⋅cos(π
2
−x
2
)+√3
2
sinx−1
2
，
(1)求f(π
3
)的值
(2)求函数f(x)在区间[−π
6,5π
6
]的最大值和最小值。

19.设函数f(x)=cosxsinx−sin2x−1
2
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)=3√2
10−1,且α∈(π
8
,3π
8
)，求．
20.已知函数f(x)=2cosωx+φ
2(sinωx+φ
2
+cosωx+φ
2
)−1(ω>0,0<φ<π)，是奇函数，且函数y=
f(x)的图象上的两条相邻对称轴的距离是π
2
．(Ⅰ)求φ,ω的值；
(Ⅱ)令g(x)=f(π
6−x)，求函数g(x)在[0,π
2
]上的值域．
21.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且cos B+C
2
+cosA=1
(1)求角A的值．
(2)若△ABC面积为3√3，且b+c=7(b>c)，求a及sin B的值．
22.已知函数f(x)=2sin2(π
4
+x)−√3cos2x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)若不等式f(x)−m<2在x∈[π
4,π
2
]上恒成立，求实数m的取值范围．。