2019高中数学北师大版高二必修5_第三章4.2_简单线性规划_作业2_word版含解析.doc

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[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，－32≤x ≤3表示的平面区域是( )
A ．矩形
B ．三角形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0－32≤x ≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0－32≤x ≤3x ＋y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0
－32≤x ≤3x ＋y ≤0
，那么利用不等
式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.
2．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，
则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．9
解析：选B.可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1，1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2＝
3.
3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2，4)，B (－1，2)，C (1，0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )
A ．[1，3]
B ．[－3，1]
C ．[－1，3]
D ．[－3，－1]
解析：选C.
先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1，3]．
4．直线2x ＋y ＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，
x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20
表示的平面区域的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
解析：
选B.画出可行域如图阴影部分所示．
(5，0)．
则W ＝y －1
x ＋1
的取值范围是( )
⎦⎥⎤－12，13
⎭
⎪⎫－12，1
画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝
y －1
x ＋1
表示阴影部分的点与定点A (－1，1)的连线的斜率，由图可知点A (－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－1
2
≤W ＜1.
6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，
x ≥0，y ≥0.
在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最
大值的点的坐标是________．
解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0，5)时截距最大，此时z 最大．
答案：(0，5)
7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，
x ≥1，y ≥0，
x ＋2y －3≥0，
则y
x 的最大值为________．
解析：画出不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，
x ≥1，
y ≥0，
x ＋2y －3≥0
对应的平面区域Ω如图阴影部分所示， y x ＝y －0x －0
表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1，2)，B (3，0)， 所以0≤y x
≤2. 答案：2
8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，
则a 的值为________．
解析：
如图所示的阴影部分即为满足不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，
x －1≤0的可行域，而直线
ax －y ＋1＝0恒过点
(0，1)，故可看成直线绕点(0，1)旋转．当a ＞－1时，可行域是一个封闭的三角形区域，由1
2×(a
＋1)×1＝2得a ＝3.
答案：3
9．如果由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，
y ≤2－x ，t ≤x ≤t ＋1
所确定的平面区域的面积为S ＝f (t )(0＜t ＜1)，试求f (t )的
表达式．
解：
ABCEP (如图)，其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，而
S △OPD t )2所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12
(0＜t
＜1)
4，
(2)求z ＝
y ＋5
x ＋5
的取值范围． 解：作出可行域如图所示．
(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．
解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，
得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.
解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，
3x ＋5y ＝30，
得B (5，3)． 所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.
(2)z ＝
y ＋5x ＋5＝y －（－5）
x －（－5）
，可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率，由图可知，k BD ≤z ≤k CD .
因为k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝27
5－（－5）1－（－5）＝2615，所以z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，2615.
[B.能力提升]
1．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2
－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，
则OA →·OB →
取得最小
值时，点B 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个
解析：选
B.
如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域． 因为OA →·OB →
＝x ＋y ， 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .
由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2.
2.
如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )
A.14
B.35 C ．4
D.53
解析：选B.由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．因为k AC ＝－35，所以a ＝3
5
.
3．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0
x －y ＋2≤0
y ≤n x ≥－3
下取得最大值的最优解有无穷多个，则n
的取值范围是________．
解析：先根据⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3，
作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得
最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n ＞2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其他部分．
答案：(2，＋∞)
4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.
则z ＝3x ＋2y
的最小值是________．
解析：由不等式组得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3
x ＋2y
的最小值是1.
答案：1
5．设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪
⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，求m 的取值范围．
解：
由题意知，可行域应在圆内，如图阴影部分所示，如果－m ＞0，则可行域取到x ＜－5的点，不
能在圆内，故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置，此时－
m ＝－4
3
，
所以m ＝43.所以0≤m ≤4
3
.
6．实系数一元二次方程x 2
＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：
(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)
b －2
a －1
的取值范围； (3)(a －1)2
＋(b －2)2
的值域．
解：方程x 2
＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2
＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)； 由⎩⎪⎨
⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，
解得B (－2，0)；
由⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)．
所以在如图所示的坐标平面aOb 内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．
(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝1
2(h 为A 到Oa 轴的距离)．
(2)
b －2
a －1
的几何意义是点(a ，b )和点D (1，2)连线的斜率． k AD ＝
2－11＋3＝14，k CD ＝2－0
1＋1
＝1. 由图可知，k AD ＜
b －2
a －1
＜k CD .
所以14＜b －2a －1＜1，
即
b －2a －1∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，1. (3)因为(a －1)2
＋(b －2)2
表示区域内的点(a ，b )与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a －1)2
＋(b －2)2
∈(8，17)．。