高三数学一轮备考复习第9章解析几何第6节双曲线课时跟踪检测文含解析新人教B版

第九章 解析几何
第六节 双曲线
A 级·基础过关|固根基|
1.若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦
距为45，则b ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
〖解 析〗选B 由题意得，b
a ＝2⇒
b ＝2a ，双曲线C 2的焦距2
c ＝45⇒c ＝
a 2＋
b 2＝25
⇒b ＝4，故选B.
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支
上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
＝1 B.x 23－y 2
2＝1 C ．x 2－
y 2
4
＝1 D.x 22－y 2
3
＝1 〖解 析〗选A
由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧|PF 1
|－|PF 2
|＝2a ＝4b ，c 2
＝a 2
＋b 2
，2c ＝25，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2
＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2
＝1.
3．(2019年全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2
5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐
标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )
A.32
B.52
C.72
D.92
〖解 析〗选B 因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2
＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y |＝5
2
.故选B.
4．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两
点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞
D.⎝⎛⎭
⎫1，3
2 〖解 析〗选A 由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2
a ，而右顶
点与左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2
a >a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则
e 2－e －2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.
5．(2019届梅州质检)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是
双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π
6
，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±1
2x
C ．y ＝±22
x
D ．y ＝±2x
〖解 析〗选D 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|
－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩
⎪⎨⎪⎧2c >2a ，
4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最
小内角，故∠PF 1F 2＝π
6
.
在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝3
2，即(3a －c )2＝0，所
以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.
6．(2020届南昌市高三摸底)已知圆
C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0
与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)
的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A. 2
B.53
C.52
D. 5
〖解 析〗选C 圆C 的标准方程为x 2＋(y －5)2＝4，则圆C 的圆心为C (0，5)，半径r ＝2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的方程为y ＝b
a x ，即bx －ay ＝0.由题意得
5a
a 2＋
b 2
＝
5a
c
＝2，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝5
2
，故选C.
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则
a ＝________；
b ＝________.
〖解 析〗由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b
a ＝2.
又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2. 〖答 案〗1 2
8．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．
〖解 析〗若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1.由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，
即
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 2
5＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1
＝3，
所以b 2
1＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 2
5＝1.综
上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 2
5
＝1.
〖答 案〗x 24－y 25＝1或y 24－x 2
5
＝1
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程；
(2)(一解多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0. 解：(1)∵e ＝2，
∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.
(2)证明：证法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m
3－23，
k MF 1·k MF 2＝m 29－12
＝－m 2
3.
∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→
＝0.
证法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，
MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→
＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→
＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→
＝0.
10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，
焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝
3
3
x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →
，求t 的值及点D 的坐标．
解：(1)由题意知a ＝23，
不妨取一条渐近线为y ＝b
a x ，即bx －ay ＝0，
由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |
b 2＋a 2
＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.
将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 2
3＝1得，x 2－163x ＋84＝0，
则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝
3
3(x 1＋x 2
)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0
＝433，x 20
12－y 20
3＝1，
解得⎩⎨⎧x 0
＝43，y 0
＝3，
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3). B 级·素养提升|练能力|
11.(一题多解)已知双曲线C ：x 23－y 2
＝1，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的右焦点，过F
的直线与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )
A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4
〖解 析〗
选B 解法一：由已知得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±1
3 x .
设两渐近线的夹角为2α， 则有tan α＝
13＝3
3
，所以α＝30°， 所以∠MON ＝2α＝60°.
又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3， 则在Rt △OMN 中，
|MN |＝|ON |tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.
解法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±3
3x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点
F 的直线与直线y ＝
3
3
x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝3
2，y ＝32
，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭
⎫322
＝
3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.
12．(2019届唐山模拟)已知双曲线x 23－y 2
4＝1，过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线
与双曲线交于A ，B 两点．若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点)，则实数m 的取值范围是________．
〖解 析〗由题意得A ⎝⎛⎭⎫m ，2
m 23－1，
B ⎝⎛
⎭⎫m ，－2
m 23－1，
所以OA →
＝⎝
⎛⎭
⎫
m ，2m 23－1，OB →
＝⎝
⎛⎭
⎫m ，－2
m 23－1.因为△AOB 是锐角三角形，所以∠AOB 是锐角，即OA →与OB →
的夹角为
锐角，所以OA →·OB →>0，即m 2
－4m 23＋4>0，解得－23<m <2 3.由过点M (m ，0)作垂直于双曲线
实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点可知m <－3或m > 3.故实数m 的取值范围是(－23，－3)∪(3，23)．
〖答 案〗(－23，－3)∪(3，23)
13．(2019届郑州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲
线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．
〖解 析〗由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.又因为|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形．因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形，所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22，所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝1
2
×22×22＝4.
〖答 案〗4
14．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是椭圆C 1的左、右顶
点，而双曲线C 2的左、右顶点分别是椭圆C 1的左、右焦点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1，
得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得
⎩⎨
⎧1－3k 2≠0，
Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，
∴k 2≠1
3且k 2<1.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2
＝－9
1－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋
2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋7
3k 2－1
.
又∵OA →·OB →
>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，
∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②
由①②得1
3＜k 2＜1，
故k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－1，－
33∪⎝⎛⎭
⎫33，1.。