2014届高考数学一轮复习练习第一章第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件(新人教A版)

一、选择题
1．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( )
A ．若a ∉M ，则b ∉M
B ．若b ∉M ，则a ∈M
C ．若a ∉M ，则b ∈M
D ．若b ∈M ，则a ∉M
解析：选D.与原命题等价的命题为原命题的逆否命题．“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题为“若b ∈M ，则a ∉M ”．故选D.
2．设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，所以NM ，故“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件．
3．(2012·高考陕西卷)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i
为纯虚数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.∵a ＋b i
＝a －b i 为纯虚数， ∴必有a ＝0，b ≠0，
而ab ＝0时，有a ＝0或b ＝0，
∴由a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．
∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i
为纯虚数”的必要不充分条件． 4．(2013·潍坊调研)命题“若△ABC 有一内角为π3
，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )
A ．与原命题同为假命题
B ．与原命题的否命题同为假命题
C ．与原命题的逆否命题同为假命题
D ．与原命题同为真命题
解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则
△ABC 有一内角为π3
”，它是真命题．故选D. 5．(2012·高考浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.若l 1∥l 2，则2a －2＝0，∴a ＝1. 故“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充要条件．
二、填空题
6．已知p ：x ≤1，q ：1x
＜1，则p 是綈q 成立的________条件． 解析：綈q ：0≤x ≤1.
答案：必要不充分
7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
8．(2013·南京模拟)有下列几个命题：
①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；
②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；
③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．
③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．
答案：②③
三、解答题
9．(2013·开封调研)已知命题p ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．
(1)写出命题p 的否命题；
(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．
(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：
∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．
∴该命题是真命题．
10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？
(1)p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切；
(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；
(3)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m .
解：(1)若a ＋b ＝2，则圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2
＝2＝r ，所以直线与圆相切．
反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，
∴a ＋b ＝±2，
故p 是q 的充分不必要条件．
(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立．
反之，若x 2＋x ≥0，
即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1.
当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ，
因此，p 是q 的充分不必要条件．
(3)∵l ∥α l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α，
∴p 是q 的必要不充分条件.
一、选择题
1．已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的( )
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意知命题p 中方程x 2＋5x －6＝0的两根为－6,1，即x 1＋x 2＝－5，但若x 1＋x 2＝－5，则此处的x 1，x 2并不一定是方程x 2＋5x －6＝0的根．故p ⇒q ，但q ≠p .故选
A.
2．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题
B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题
解析：选A.对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题．
二、填空题
3．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＜0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]
4．已知集合A ＝{x |12
＜2x ＜8，x ∈R }，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．
解析：A ＝{x |12
＜2x ＜8，x ∈R }＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，
∴AB ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.
答案：(2，＋∞)
三、解答题
5．已知集合A ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
解：化简集合A ，由y ＝x 2－32
x ＋1， 配方，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716
. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴y min ＝716
，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎡⎦
⎤716，2. ∴A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y |716≤y ≤2. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，
得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵命题p 是命题q 的充分条件，
∴A ⊆B .
∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34
. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.
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