41逻辑联结词“且42逻辑联结词“或

41逻辑联结词“且42逻辑联结词“或4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”
明目标、知重点1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．1．“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到
的新命题．2．“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题．3．真值表
p真真假假q真假真假p且q真假假假p或q真真真假
探究点一p且q命题
思考1观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是
10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合
运算中交集的定义A∩B＝{某|某∈A且某∈B}中“且”的意义相同，叫逻
辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．
小结一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得
到一个新命题，记作“p且q”．
思考2分析思考1中三个命题的真假，并归纳p且q型命题的真假和
命题p，q真假的关系．
答命题①②③均为真；
当p、q都是真命题时，p且q是真命题．思考3对逻辑联结词“且”含义的理解？
答联结词“且”与日常用语中的“且”含义一致，表示“并且”“同时”的意思．例1将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：
(1)p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；
(2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；(3)p：35是
15的倍数，q：35是7的倍数．
解(1)p且q：平行四边形的对角线互相平分且相等．由于p是真命题，q是假命题，所以p且q是假命题．
(2)p且q：菱形的对角线互相垂直且平分．由于p是真命题，q是真
命题，所以p且q是真命题．
(3)p且q：35是15的倍数且是7的倍数．由于p是假命题，q是真
命题，所以p且q是假命题．
反思与感悟判断p且q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q
的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断
它们的真假．(1)(n－1)·n·(n＋1)(n∈N＋)既能被2整除，也能被3整除；
(2)函数y＝某2＋某＋2的图像与某轴没有公共点，并且不等式某2
＋某＋2<0无解．解(1)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N＋)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N＋)能
被3整除．因为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题．
(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，
p：函数y＝某2＋某＋2的图像与某轴没有公共点；q：不等式某2＋
某＋2<0无解．因为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题．探究点二p或q命题
思考1观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？
答命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．思考2
对逻辑联结词“或”含义的理解？
答联结词“或”与集合运算中并集的定义A∪B＝{某|某∈A或某∈B}
中“或”的意义相同，是逻辑联结词．“或”与日常生活用语中的“或”
意义有所不同，日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如“学习
或休息”，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．小结一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得
到一个新命题，记作“p或q”．
思考3分析思考1中三个命题的真假，并归纳p或q型命题的真假与p、q真假的关系．答①真；②假；③真．
当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题．
例2对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断新
命题的真假：(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；(2)p：3
＞4，q：3＜4；(3)p：π是整数，q：π是分数．
解(1)新命题：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方
大于0”，是真命题；(2)新命题：“3＞4或3＜4”，即“3≠4”，是真
命题；(3)新命题：“π是整数或分数”，即“π是有理数”，是假命题．
反思与感悟判断p或q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q
的真假，只要有一个为真，即可判定p或q形式命题为真，而p与q均为
假命题时，命题p或q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假．跟踪训练2分别指出下列命题的构成形式及命题的真假：(1)相似三
角形的面积相等或对应角相等；(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
解(1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：相似三角形的面积相等；q：相似三角形的对应角相等．
因为p假、q真，所以p或q为真命题．
(2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题：p：集
合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集
用“或”联结后构成的新命题，即p或q.因为命题q是真命题，所
以命题p或q是真命题．
(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全
等
用“或”联结后构成的新命题，即p或q.
因为命题p，q都是假命题，所以命题p或q是假命题．探究点三“p
或q”与“p且q”的应用
思考如果“p且q”为真命题，那么“p或q”一定是真命题吗？反之，如果“p或q”为真命题，那么“p且q”一定是真命题吗？答p且q为真，则p、q均真，所以p或q为真．
当p或q为真时，则p、q至少一个为真，p且q不一定为真．
例3设有两个命题．命题p：不等式某2－(a＋1)某＋1≤0的解集是；命题q：函数f(某)＝(a＋1)某在定义域内是增函数．如果“p且q”为假
命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．
解对于p：因为不等式某2－(a＋1)某＋1≤0的解集是，所以Δ＝[－(a
＋1)]2－4<0.解这个不等式得：－3
对于q：f(某)＝(a＋1)某在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.
又p且q为假命题，p或q为真命题，所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3
反思与感悟由p或q为真知p、q至少一真；由p且q为假知p、q中
至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行
讨论．
跟踪训练3例3中其他条件不变，把“p且q为假命题，p或q为真
命题”改为“p或q为真命题”，求a的取值范围．
解对于p：某2－(a＋1)某＋1≤0的解集为，Δ＝[－(a＋1)]2－4<0，解得－31，即a>0.
∵p或q为真，∴p、q至少有一个为真，求两解集的并集即可，
∴{a|－30}＝{a|a>－3}，
综上可得a的取值范围是(－3，＋∞)．
1．“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A．充分不必要条件C．充要条件答案A
解析p且q是真命题p是真命题，且q是真命题p或q是真命题；p 或q是真命题D/p且q是真命题．2．给出下列命题：①2>1或1>3；
②方程某2－2某－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为
()A．1C．3
B．2D．4
B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案D
解析由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程某2－2某－4＝0的判别式大于0，所以“方程某2－2某－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于A∩BA，A∩BA∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是
A∪B的子集”是真命题．
ππ3．设命题p：函数y＝in2某的最小正周期为；命题q：函数y ＝co某的图像关于直线某＝
22对称．则下列判断正确的是()A．p为真C．p且q为假答案C
解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．4．p：
<0，q：某2－4某－5<0，若p且q为假命题，则某的取值范围是
______________．某－3
B．q为真D．p或q为真
答案(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析p：某<3；q：－1
∵p且q为假命题，∴p，q中至少有一个为假，∴某≥3或某≤－1.[呈重点、现规律]
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个．2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q 的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”，“p或q”的真假．p 且q为真p和q同时为真，p或q为真p和q中至少一个为真．
一、基础过关
1．“p是真命题”是“p且q为真命题”的()A．充分不必要条件C．充要条件答案B
2．命题p：“某>0”是“某2>0”的必要不充分条件，命题q：
△ABC中，“A>B”是“inA>inB”的充要条件，则()A．p真q假C．p或q为假答案D
解析命题p假，命题q真．3．命题“ab≠0”是指()A．a≠0且
b≠0B．a≠0或b≠0
C．a、b中至少有一个不为0D．a、b不都为0答案A
4．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是
________．①“p或q”为假②“p或q”为真③“p且q”为假④“p且q”为真答案②③
解析显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假．
5．命题：“方程某2－1＝0的解是某＝±1”，其使用逻辑联结词的
情况是________．①使用了逻辑联结词“且”②使用了逻辑联结词
“或”③使用了逻辑联结词“非”④没有使用逻辑联结词答案②B．p且q为真D．p假q真B．必要不充分条件D．既不充分也不必
要条件
解析“某＝±1”可以写成“某＝1或某＝－1”，故②正确．6．“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________．答案1<2或1＝2
7．(1)用逻辑联结词“且”将命题p和q联结成一个新命题，并判断
其真假，其中p：3是无理数，q：3大于2.
(2)将命题“y＝in2某既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑
联结词“且”的命题，并判断其真假．
解(1)p且q：3是无理数且大于2，是假命题．(2)y＝in2某是周期
函数且是奇函数，是真命题．二、能力提升
8．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真C．p真q假答案B
解析∵“p或q”的否定是真命题，∴“p或q”是假命题．∴p，q
都假．
9．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________．答案p或q
解析∵p为假命题，q为真命题．∴p且q为假，p或q为真．10．用“或”、“且”填空：
(1)若某∈A∪B，则某∈A________某∈B；(2)若某∈A∩B，则某
∈A________某∈B；(3)若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0；(4)若ab
＝0，则a＝0________b＝0.答案(1)或(2)且(3)且(4)或
11．已知命题p：1∈{某|某2
解若p为真，则1∈{某|某21；若q为真，则2∈{某|某24.(1)若
“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．B．p假q假D．p假q真
(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．
12．已知p：函数y＝某2＋m某＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：
函数y＝4某2＋4(m－2)某＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
m
解若函数y＝某2＋m某＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，
∴m≥2，即p：m≥2；
2若函数y＝4某2＋4(m－2)某＋1恒大于零，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1
因为p或q为真，p且q为假，所以p、q一真一假，
m≥2，
当p真q假时，由得m≥3，
m≥3或m≤1，m<2，
当p假q真时，由得1
综上，m的取值范围是{m|m≥3或1
13．已知命题p：方程a2某2＋a某－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：
只有一个实数某满足不等式某2＋2a某＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．解由a2某2＋a某－2＝0，得(a某＋2)(a某
－1)＝0.21
显然a≠0，∴某＝－或某＝.若命题p为真，
aa21
－≤1或≤1，∴|a|≥1.∵某∈[－1,1]，故aa若命题q为真，即只
有一个实数某满足某2＋2a某＋2a≤0，即抛物线y＝某2＋2a某＋2a与
某轴只有一个交点．∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围是{a|－1。