高考数学一轮复习 第六章 数列 第4讲 数列求和高效演练分层突破 文 新人教A版-新人教A版高三全册

第4讲 数列求和
[基础题组练]
1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
等于( )
A.
n （n ＋1）
2
B ．－
n （n ＋1）
2
C ．(－1)
n ＋1
n （n ＋1）
2
D ．以上答案均不对
解析：选C.当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－(2n －1)
＝－n
2（3＋2n －1）2＝－n （n ＋1）2；
当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)
n ＋1n 2
＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2
＝－
n －1
2
[3＋2（n －1）－1]
2＋n 2
＝n （n ＋1）2
，
综上可得，原式＝(－1)
n ＋1
n （n ＋1）
2
.
2．在数列{a n }中，a n ＝2n
－12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝321
64，则n ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选D.由a n ＝2n
－12n ＝1－1
2n 得，
S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ，
则S n ＝32164＝n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6.
3．已知函数f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧n 2
，当n 为奇数时，
－n 2，当n 为偶数时，且
a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋
a 100等于( )
A ．0
B ．100
C ．－100
D ．10 200
解析：选B.由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
＝12
－22
－22
＋32
＋32
－42
－42
＋52
＋…＋992
－1002
－1002
＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.
4．(2020·某某省五校协作体试题)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ＋S n ＝2n
，2b n ＝2a n ＋2－a n ＋1，则1b 1＋12b 2＋…＋1
100b 100
＝( )
A.9798
B.9899
C.99100
D ．100101
解析：选D.因为a n ＋S n ＝2n
①，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2n ＋1
②，②－①得2a n ＋1－a n ＝2n
，所以
2a n ＋2－a n ＋1＝2
n ＋1
，又2b n ＝2a n ＋2－a n ＋1＝2
n ＋1
，所以b n ＝n ＋1，
1
nb n
＝
1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
，
则1b 1＋12b 2＋…＋1100b 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101
，故选D. 5．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80
D ．82
解析：选B.由已知a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1
·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋
a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1，5，9及n ＝2，6，10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.
6．等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝1
243
，q >0，S n 是其前n 项和，则S 6＝．
解析：由a 1＝27，a 9＝1243知，1243＝27·q 8
，又由q >0，解得q ＝13，所以S 6＝
27⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1361－
1
3
＝3649
. 答案：3649
7．(2020·某某联考)若{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2
＋3n ＋2，则{b n }的前18项和为． 解析：因为a n b n ＝1，且a n ＝n 2
＋3n ＋2， 所以b n ＝
1n 2
＋3n ＋2＝1（n ＋2）（n ＋1）＝1n ＋1－1
n ＋2
，
所以{b n }的前18项和为12－13＋13－14＋14－15＋…＋119－120＝12－120＝10－120＝9
20.
答案：9
20
8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2
n ，且a 1＝12，则该数列的前2 018项的和等于．
解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2
n ，
所以a 2＝1，从而a 3＝1
2
，a 4＝1，
即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 018项的和等于S 2 018＝1 009×⎝ ⎛⎭⎪
⎫1＋12＝3 027
2
.
答案：3 0272
9．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝2a n
2＋a n .
(1)求证：数列{1
a n
}是等差数列；
(2)若b n ＝a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n
2a n ，
所以
1
a n ＋1－1a n ＝1
2， 所以数列{1a n }是首项为2，公差为1
2的等差数列．
(2)由(1)知1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋32，所以a n ＝2
n ＋3，
所以b n ＝4（n ＋3）（n ＋4）＝4×(1n ＋3－1
n ＋4
)，
S n ＝4×[(14－15)＋(15－16)＋…＋(1n ＋3－1n ＋4)]＝4×(14－1n ＋4)＝n
n ＋4
.
10．(2020·某某市综合检测(一))已知{a n }是等差数列，且lg a 1＝0，lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和． 解：(1)因为lg a 1＝0，lg a 4＝1， 所以a 1＝1，a 4＝10. 设等差数列{a n }的公差为d ， 则d ＝
a 4－a 1
4－1
＝3.
所以a n ＝a 1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由(1)知a 1＝1，a 6＝16，
因为a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项． 所以a 2
k ＝a 1a 6＝16. 又a n ＝3n －2＞0， 所以a k ＝4. 因为a k ＝3k －2， 所以3k －2＝4，得k ＝2.
所以等比数列{b n }的公式q ＝b 2b 1＝a 2a 1
＝4. 所以b n ＝4
n －1
.
所以a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1
.
所以数列{a n ＋b n }的前n 项和为S n ＝
n （3n －1）2
＋
1－4n 1－4＝3
2n 2
－12n ＋13
(4n －1)． [综合题组练]
1．(2020·某某某某一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，4a 3＝a 6，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等差数列，则
数列{(－1)n
a n }的前10项的和S 10是( )
A ．220
B ．110
C ．99
D ．55
解析：选B.设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n n 的公差为d ，则a 66＝a 1＋5d ，a 66＝a 3
3＋3d ，将已知值和等量关系代入，计算得d ＝2，所以a n n
＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，a n ＝2n 2
，所以S 10＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－…＋a 10＝2(1＋2＋…＋10)＝110，故选B.
2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝1
2n (n ＝1，2，3，…)，则S 2n －1＝．
解析：因为a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝1
2n (n ＝1，2，3，…)，所以S 2n －1＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2n
－2＋a 2n －1)＝1＋122＋124＋…＋122n －2＝43⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .
答案：43⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n
3．(2019·高考某某卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1
＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设数列{}满足＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2
，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *
)．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧3q ＝3＋2d ，3q 2
＝15＋4d ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n
.
所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n
. (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n
＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤n ×3＋
n （n －1）
2
×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )
＝3n 2
＋6(1×31
＋2×32＋…＋n ×3n
)． 记T n ＝1×31
＋2×32
＋…＋n ×3n
，① 则3T n ＝1×32
＋2×33
＋…＋n ×3
n ＋1
，②
②－①得，2T n ＝－3－32
－33
－ (3)
＋n ×3n ＋1
＝－3（1－3n
）1－3
＋n ×3n ＋1
＝
（2n －1）3
n ＋1
＋32
.
所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2
＋6T n ＝3n 2
＋3×
（2n －1）3
n ＋1
＋3
2＝
（2n －1）3n ＋2
＋6n 2
＋92
(n ∈N *
)．
4．(2020·某某省考试试题)已知等差数列{a n }中，a 5－a 3＝4，前n 项和为S n ，且S 2，
S 3－1，S 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)
n
4n
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 5－a 3＝4，得2d ＝4，d ＝2. 所以S 2＝2a 1＋2，S 3－1＝3a 1＋5，S 4＝4a 1＋12，
又S 2，S 3－1，S 4成等比数列，所以(3a 1＋5)2
＝(2a 1＋2)·(4a 1＋12)， 解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.
(2)b n ＝(－1)
n
4n
a n a n ＋1
＝(－1)n
⎝
⎛⎭
⎪
⎫12n －1＋12n ＋1，
当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…－⎝ ⎛⎭⎪
⎫12n －3＋12n －1＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1，所以T n
＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.
当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫12n －3＋12n －1－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1，
所以T n ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋2
2n ＋1.
所以T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2n ＋1，n 为偶数
－2n ＋22n ＋1，n 为奇数
.。