高中数学选修1-2高二第七学段数学试题(文科)

2013届高二第七学段数学试题（文科）
时间：120分钟满分：120分
一．选择题：本大题共10道小题，每题4分，共40分。

1.参数方程14cos 3sin x y αα
⎧
⎨⎩=-+=（α为参数）表示的平面曲线是（）
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
2.抛物线21
4y x =关于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标是（）
A ．(1,0)
B ．1(,0)16
C ．(0,0)
D ．1
(0,)16
3.“35m <<”是“方程
16
522
2=--+-m m y m x 表示双曲线”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件
4.在极坐标系中与点4(6,)3
A π
重合的点是（）
A ．(6,)3π
B ．7(6,)3π
C ．(6,)3π-
D ．2(6,)3
π-
5.双曲线13
22
-=-y x 的两条渐近线所成的锐角是（）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
6.椭圆221259x y +=上的点P 到左准线的距离为5
2
，则点P 到右焦点距离为（ ）
A ．8
B ．256
C ．92
D ．15
8
7.设双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的离心率
为，且它的一条准线为
1-=x ，则此双曲线的方程为 （ ）
A ．22
11224
x y -
=
B ．22
14896x y -
=
C ．222133x y -
= D ．22
136
x y -= 8.已知(,)P x y
|345|
10
x y +-=
，则点P 的轨迹是（ ）
A ．离心率为110的椭圆
B ．离心率为1
2
的椭圆
C ．离心率为2的双曲线
D ．离心率为10的双曲线
9.设M 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 为焦点，且126
F MF π∠=，则12
MF F ∆的面积为（ ）
A
B
．16(2+ C
．16(2 D ．16
10.椭圆14162
2=+y x
上的点到直线12x t y t =⎧
⎪⎨⎪⎩
（t 为参数）的最大距离是
（）
A ．3
B ．11
C ．22
D ．10
二．填空题：本大题共4道小题，每题4分，共16分。

11.复数(2)z i i =+，则z 的虚部为__________.
12.抛物线的焦点为椭圆x 29 +y 2
4 =1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程
为 .
13.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()
6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .
14.已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双
曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的取值范围为 ．
三．解答题（共44分） 15.（本题6分）
已知椭圆的中心在坐标原点，长轴的端点在x 轴上，离心率是抛物线离心率的
一半，且经过点2(,33
M -
，求椭圆的方程. 16.（本题8分）经过点P )2,1(-且倾斜角为
4
π
的直线l 与椭圆2228x y +=的交点是,A B ,若点Q 在直线l 上，且满足PQ PA PB =+,求点Q 的坐标.
17.（本题8分）
抛物线2
8y x =的焦点为F ,2FA =u u u r ,AB x ⊥轴于B ,且12
AM MB =u u u u
r u u u r ,求动点
M 的轨迹方程.
18.（本题10分）
已知椭圆的两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ，过一个焦点作坐标轴的垂线分两条准线间的距离为1：7. （1）求此椭圆的方程；
（2）设直线m x y l +=:，若l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且PQ 等于椭圆的短轴长，求m 的值.
19.（本题12分）
已知长方形ABCD ,1BC =.以AB 的中点O 为原点建立如图1所示的平面直角坐标系xoy .
(1)求以,A B 为焦点，且过,C D 两点的椭圆的标准方程;
(2)过点(0,2)P 的直线l 交(1)中椭圆于,M N 两点,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点,求直线l 的方程.
图1
附加题：20.（本题20分）
已知(3,0)M -(3,0)N ,P 为坐标平面上的动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数(1,0)m m m ≥-≠.
(1)求P 点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
(2)若5
9m =-,P 点的轨迹为曲线C ,过点(2,0)Q 斜率为1k 的直线1l 与曲线C
交于不同的两点,,A B AB 中点为R ,直线OR (O 为坐标原点)的斜率为2k ，求证：
12k k 为定值；
（3）在（2）的条件下，设QB AQ λ=u u u r u u u r
，且[2,3]λ∈，求1l 在y 轴上的截距的
变化范围.
一、选择题：每题4分，共计40分
二、填空题：每题4分，共计16分
11. 12.
13. 14.
三、解答题：
15．
16．
17．18．
19．
图1
20．附加题：（本小题满分20分）
一、选择题：每题4分，共计40分
二、填空题：每题4分，共计16分
11.2- 12.x y 542-=13.114.5
(1,]3
14.解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得18
3
PF a =，
22
3
PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，
得22
2
221898173
2382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，
即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为5
3
．
解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为5
3
． 三、解答题：
15．（本小题满分6分）
解：由题意可设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
)362,32(-M Θ在椭圆上1924
9422=+∴b a ①
又2
1
22=-=
=a b a a
c e ②由①②可得3,422==b a ∴椭圆的方程是13
42
2=+y x 16．（本小题满分8分）
解：由题意，知直线l
的参数方程为12x y =-=⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数）
，代入椭圆方程整理得：2320t ++=，72240∆=->
121223
t t t t ∴+=-
=12PQ PA PB t t ∴=+=--=设点Q 对应的参数值为t
，则t =±
当t =1,4x y ==
当t =-3,0x y =-=故点(1,4)Q 或(3,0)Q -
17．（本小题满分8分） 解：易知(2,0)F ,设00(,)A x y ,(,)M x y ,2FA =u u u r Q ,2200
(2)4x y ∴-+= Q AB x ⊥轴于B ,且12
AM MB =u u u u r u u u r 00,3x x y y ∴==代入①中得 22
(2)94x y -+=即点M 的轨迹方程为22
(2)144
9x y -+=，轨迹为椭圆. 18．（本小题满分10分）
解：（1）设椭圆方程为122
22=+b
y a x )0(>>b a ， 则3=c ，Q 过一个焦点作坐标轴的垂线分两条准线间的距离为1：7， ∴2
34a c c
=⋅ ∴1,2222=-==c a b a
∴所求椭圆方程为14
22
=+y x .------4分
（2）由⎩⎨⎧=++=4
422y x m x y ，消去y ，得0)1(48522=-++m mx x ， 则0)1(806422>--=∆m m 得52<m （*）
设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
821m x x -=+，5)1(4221-=m x x ，2121x x y y -=-， 2]5
)1(16)58[(2)()(22221221=---=-+-=m m y y x x PQ 解得.8
152=m ，满足（*）∴.430±=m ------10分 19．（本小题满分12分）
解:(1)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()
1,2,0,2,0,2-.……1分 设椭圆的标准方程是()0122
22>>=+b a b
y a x . 则()()()()()2,2240122012222
222=∴>=-+-+-+--=+=a BC AC a ……4分
224222=-=-=∴c a b .
∴椭圆的标准方程是.12
42
2=+y x ……5分 (2)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y .
设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:⎩
⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx x k
有12122284,1212k x x x x k k
+=-=++------7分 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,
所以02121=+y y x x ,------8分
所以,()()0222121=+
++kx kx x x ,
图1
即()()042121212=++++x x k x x k
所以,()
04211621142222=++-++k k k k 即,0214822
=+-k k -------10分 得.2,22±==k k
所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .------12分
20．附加题：（本小题满分20分）
解：（1）由,33
y y m x x =+-g 得22(9)y m x =-，若m=-1，则方程为229x y +=，轨迹为圆；
若10m -<<，方程为22
199x y m
+=-，轨迹为椭圆； 若0m >，方程为22
199x y m
-=-，轨迹为双曲线。

--------8分 （2）当59
m =-时，曲线C 方程为22195x y +=，设1l 的方程为：2x ty =+与曲线C 方程联立得：22(59)20250t y ty ++-=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则1222059t y y t -+=
+①，1222559
y y t -=+②， 可得221810(,)5959t R t t -++，12155()99t k k t =-=-g ------14分 （3）由BQ QA λ=u u u r u u u r 得21y y λ=-代入①②得：1220(1)59t y t λ--=+③，2122559y t λ=+④， ③式平方除以④式得：221
16259t t λλ-+=+，而12λλ-+在[2,3]λ∈上单调递增，114223λλ≤-+≤，2235924
16t t +≤≤，1l 在y 轴上的截距为b ，
222()b t =-=2428[,12]9
t ∈，故[b ∈-U ------20分。