2022年北京西城区月坛中学高二数学文联考试卷含解析

2022年北京西城区月坛中学高二数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数在内有极小值的充分不必要条件是( )
参考答案：
C
2. 已知，若方程的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
3. 已知函数的图象如图（其中是函数f(x)的导函数），下面四个图象中
的图象可能是
参考答案：
B
4. 若三个数成等差数列，则直线必经过定
点（）
A．(－1，－4) B．(1,3) C．(1,2) D．(1，4)
参考答案：
D
略5. 设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上，若,则
（）
参考答案：
C
6. 为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是( ) A．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
B．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
C．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
D．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
参考答案：
D
略
7. 函数的最大值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
B
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【分析】由已知中的函数的解析式，易画出函数的图象，结合函数图象可得答
案．
【解答】解：函数的图象如下图所示：
由图可得函数的最大值是4
故选B
【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用数形结合的方法，可快速准确的求出答案．
8. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
由题意得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，由此得到结论．【详解】由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，
结合所给的图象可知，B选项适合，
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别与应用，其中解答中根据题意判断关于的函数的性质及其图象的特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9. 已知向量a，b，c都不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0，则()
A．λ1，λ2，λ3一定全为0
B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0
C．λ1，λ2，λ3全不为0
D．λ1，λ2，λ3的值只有一组
参考答案：
C
10. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）
A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）
参考答案：
D
【考点】椭圆的定义．
【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．
【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x
）的单调减区间为．参考答案：
（0，+∞）
【考点】幂函数的性质．
【分析】设幂函数f （x ）=x α（α为常数），由图象过点（2，），可得=2α，解得α即可得出． 【解答】解：设幂函数f （x ）=x α（α为常数）， ∵图象过点（2，），∴=2α，解得α=﹣2．
∴f（x ）=． 则f （x ）的单调减区间为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）．
12. 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ 参考答案：
13. 已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i ，，且z 1?
是实数，则实数t
等于
．
参考答案：
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】首先写出复数的共轭复数，再进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式的标准形式，根据是一个实数，得到虚部为0，得到关于t 的方程，得到结果． 【解答】解：∵复数z 1=3+4i ，z 2=t+i ， ∴z 1?=（3t+4）+（4t ﹣3）i ， ∵z 1?
是实数，
∴4t﹣3=0， ∴t=． 故答案为： 14. 直线
的倾斜角为
参考答案：
15. 椭圆
+
=1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是 ．
参考答案：
20
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的简单性质，以及椭圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：椭圆+=1的长半轴的长为：5，
AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长为：4a=20． 故答案为：20．
16. 已知，则等于__________．
参考答案：
4 【分析】
根据导数的运算法则，即可得到结论．
【详解】∵f （x ）＝tan x ，
∴f ′（x ），
则f ′（）4，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
17. 已知R 上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集 .
参考答案：
（1,3）
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆过点，离心率为，左焦点为F．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：交椭圆于A，B两点，求△FAB的面积．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，令椭圆方程为，把点代入，能求出椭圆方程．
（Ⅱ）直线l：过右焦点F'（1，0），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出△FAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆过点，离心率为，
∴e=，由，得，可令椭圆方程为，
点代入上式，得t=1，
∴椭圆方程为；
（Ⅱ）直线l：过右焦点F'（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得，
△=16×9=144，，y1y2=﹣，
∴|y1﹣y2|===，
．
∴△FAB的面积为．
19. 已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，求其最大角的余弦值．
参考答案：
－
20. 某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A，B两种抽奖方案，方案
A的中奖率为，中奖可以获得2分;方案B的中奖率为,中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品，
（1）若顾客甲选择方案A抽奖，顾客乙选择方案B抽奖，记他们的累计得分为X，若的概率
为，求
（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A或都选择方案B进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大?
参考答案：
（1）（2）当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当
时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当时，他们都选择方案或都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值相等
【分析】
（1）首先求解出对立事件“”的概率，再根据对立事件概率公式求得结果；（2）利用二项分布均值公式求解出和，根据均值的性质求得两人全选方案或方案的均值，比较两个均值的大小，得到不同取值的情况下应选取的方案.
【详解】（1）由已知得，甲中奖的概率为，乙中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响
记“这人的累计得分”的事件为，则事件的对立事件为“”
（2）设甲、乙都选择方案抽奖的中奖次数为，都选择方案抽奖的中奖次数为
则这两人选择方案抽奖累计得分的均值为，选择方案抽奖累计得分的均值为
由已知可得：，
，
，
若，则
若，则
若，则综上所述：当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大
当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大
当时，他们都选择方案或都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值相等
【点睛】本题考查对立事件概率的求解、二项分布均值求解及均值性质的应用问题，利用均值来解决实际问题，属于常规题型.
21. 在数列{a n}中，.
（1）求的值，由此猜想数列{a n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
参考答案：
（1）（2）见解析
【分析】
（1）根据，a n+1可求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值可猜想数列{a n}的通项公式；
（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可．
【详解】（1）a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，
猜想.
（2）数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．
②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时猜想成立，即＝．
则当n＝k＋1时，
＝＝＝，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N*，a n＝都成立．
【点睛】本题主要考查了递推关系，以及数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
22. 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
参考答案：
(1)，函数的定义域为.
当时，，则在上单调递增，
当时，令，则或(舍负)，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
∴当时，的单调递增区间为，无减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)解法一：由得，
∵，
∴原命题等价于在上恒成立，令，
则，
令，则在上单调递增，由，，
∴存在唯一，使，.
∴当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
∴时，，∴，
又，则，
由，所以.
故整数的最小值为2.
解法二：得，
，
令，
，
①时，，在上单调递减，∵，∴该情况不成立.
②时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，∴，
恒成立，即.
令，显然为单调递减函数. 由，且，，
∴当时，恒有成立，
故整数的最小值为2.
综合①②可得，整数的最小值为2.。