高中数学浅淡用函数模型解数学应用问题教案 新课标 人教版 必修1(A)

浅淡用函数模型解数学应用问题
所谓函数模型即用函数知识对我们日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产出最大、效益最好、用料最省等实际应用问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数的方法进行求解。

通常可以分为以下五种模型：
一、一次函数或二次函数模型
[例1]经营甲、乙两种商品，所获得的利润依次为P 和Q 万元，它们与投入的资金x 万元的关系有经验公式P=ax ，Q=2b x 〔a 、b 为正常数〕，今有C 万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少万元？共能获得最大利润是多少万元？
分析：本例要求获得最大利润,是一个最大值问题,因此可用函数模型,关键是寻找各种量的关系,探求目标函数,即利润函数,
其主要数量关系为:总投入C=对甲的投入+对乙的投入; 总利润y=经营甲的利润+经营乙的利润=P+Q
[解]: 对甲种商品的投入x 万元(a ≤x ≤c),那么对乙种商品的投入为C －x 万元. 所获得的利润为y=ax+2b x C -(0≤x ≤C),令x C -=t(0≤t ≤c ),那么x=C －t 2
,
∴y=－at 2
+2bt+ca=－a(t －
a b )2+ac+a
b 2 ①当a b ≤
c 时,当t=a b ,即x=c －22
a
b 时,y max =ac+a b 2;
②当
a
b
>c 时当t=c ,即x=0时, y max =2b c ; 综上所述: ①当a b ≤c 时, 对甲的投入c －22a b 万元, 对乙的投入22a
b 万元, 最大利润为ac+a b 2
万元
②当
a
b
>c 时,对甲不投入,对乙投入c 万元,最大利润为2b c 万元 说明:本例的背景材料是营销活动中最为基本的数量关系模式,将这种关系转化为数学关系式,问题即可解决.在解决这一问题时,我们先用代换法将目标函数代换成二次函数,再用配方法求二次函数的最值。

二、“y=Ax p
+
q
x B 〞型函数模型
[例2](2001年文科高考第21题)设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm 2
,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白。

怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸X 面积最小？
分析：本例要求最小纸X 面积,是一个最小值问题,因此可用函数模型,关键是寻找纸X 面积S 关于画面的宽与高的函数关系式。

[解]：设画面高为xcm ，宽为λxcm ，那么λx 2
=4840。

设纸X 面积为S ，有S=〔x+16〕〔λx+10〕=λx 2
+〔16λ+10〕x+160 将x=
λ
1022代入上式，得
S=5000+44)58(10λ
+λ 当λ
=
λ58，即λ=85
〔8
5<1〕时，S 取得最小值。

此时，高x=
λ
4840
=88cm 。

宽λx=85×88=55cm 。

答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸X 面积最小。

说明：此题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力。

[例3]如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出。

设箱体的长度为a 米，高度为b 米。

流出的水中该杂质的质量分数与a,b 的乘积ab 成反比。

现有制箱材料60平方米。

问当a,b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小〔A 、B 孔的面积忽略不计〕。

〔98年高考题〕
分析：由题设条件知：经沉淀后流出的水中 该杂质的质量分数与a,b 的乘积ab 成反比。

并且 由制箱材料60平方米，可知无盖长方体沉淀箱的 表面积〔除上底面〕为60平方米，根据它就可建 立关于a 、b 的等式。

将该等式求出b 后代入反比 例函数中，可得以a 为自变量的一元函数，再通过 求该函数的最小值可使问题得解。

[解]：设y 为流出的水中该杂质的质量分数，那么y=ab
k
〔k>0，为比例系数〕， ∵4b+2ab+2a=60, ∴b=a
2a
30+-(0<a<30), 于是y=
ab k =a
2a a 30k
2
+- =
)2
a 64
2a (34k
2
a 6432a k ++
+-=
+-
+-≥
18
k 64
234k =
-, 当a+2=
2a 64+,即a=6或a=－10(舍去)时取等号,y 达到最大值,这时b=6
26
30+-=3. 说明:此题也可由4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 直接用基本不等式得:
60=4b+2ab+2a ≥2ab+2ab 8,令ab =t, 那么2t 2
+42t-60≤0⇒－52≤t ≤32 即ab ≤18,∴y=ab k ≥18k
.当且仅当⎩⎨⎧==b 4a 218ab 即⎩
⎨⎧==3b 6a 时取到最大值。

三、利用均值不等式求最值的函数模型
[例4]现有一个半径为R 的木球，将它加工成一个圆锥，试求圆锥的最大体积。

分析：为了达到加工的圆锥体积最大，它首先应该 是球的内接圆锥。

作圆锥的轴截面，如下图。

根据相 交弦定理可得r 2
=h 〔2R －h 〕，从而可用圆锥的高h 为自 变量建立圆锥体积V 的函数关系式，函数的最值就是圆 锥的最大体积。

[解]：设圆锥的高度为h ，底面半径为r ，那么有： r 2
=h 〔2R －h 〕，
2
A B o
o a
b
V 圆锥=3
1πr 2
h=3
1πh 2
〔2R －h 〕=
6π[h ·h ·(4R-2h)]≤6π33R 81
32
)3h 2R 4h h (
π=-++, 等号当且仅当h=4R/3时达到,圆锥取到最大体积3R 81
32
π
说明:在应用均值不等式求最值时,要注意以下三个环节：一正、二定、三相等。

在本
例中，首先要求h 与2R-h 均为正；其次，还要求h+h+(4R-2h)为定值；最后要看h 、h 、(4R-2h) 这三个量能否相等。

四、三角函数模型
[例5]如图四边形ABCD 是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的扇形小山。

P 是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上长方形停车场PQCR 。

求长方形停车场PQCR 面积的最大、最小值。

分析：要求停车场面积的最值,就需建立长方 形PQCR 的面积函数.
如果设长方形PQCR 的一边长为x(不妨设PR=x), 那么另一边长PQ=100－2
2
)x 100(90-- 这样S PQCR =PQ ·PR=x[100－22)x 100(90--].
但该函数的最值不易求得.如果我们将∠BAP 作为自 变量,用它可表示PQ 、PR ，再建立长方形PQCR 的 面积函数.那么情况就不难解决。

[解]：延长RP 交AB 于M ，设∠PAB=α〔0<α<900
〕，那么AM=90cos α，MP=90sin α， PQ=MB=AB －AM=100－90 cos α，PR=MR －MP=100－90sin α， S PQCR =PQ ×PR=〔100－90 cos α〕〔100－90sin α〕
=10000－9000〔sin α+cos α〕+8100sin αcos α，
设sin α+cos α=t ，∵α∈〔0，π/2〕，∴t ∈〔1，2]，那么sin αcos α=21
t 2-，
S PQCR =10000－9000t+8100×2
1t 2-=2)910t (28100
-+950， ∴当t=10/9时，S PQCR 有最小值950。

∴当t=2时，S PQCR 有最大值14050－90002。

说明：引进一个辅助角，把线段的长度或图形的面积表示为一个三角函数式，从而利用三角函数的有界性求出最值，也是常用的解题方法之一。

五、分段函数模型 [例6]
S
Q
B
[解]：(1)由图一可得市场售价与时间的函数关系式为
f 〔t 〕=⎩
⎨⎧≤<-≤≤-300200,3002200
0,300t t t t ；
由图二可得种植成本与时间的函数关系式为 g 〔t 〕=
200
1〔t-150〕2
+100，0≤t ≤300。

〔2〕设t 时刻的纯收益为h 〔t 〕，那么由题意得：
h 〔t 〕=f 〔t 〕-g 〔t 〕，即h 〔t 〕=⎪⎩⎪⎨⎧
≤<-+-≤≤++-.
300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t 当0≤t ≤200时，配方整理得h 〔t 〕= —200
1〔t-50〕2
+100，
所以，当t=50时，h 〔t 〕取得区间[0，200]上的最大值100； 当200＜t ≤300时, 配方整理得h 〔t 〕= —
200
1〔t-350〕2
+100， 所以，当t=300时，h 〔t 〕取得区间(200，300]上的最大值87.5；
综上,100>87.5可知, h 〔t 〕在区间[0，300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.。