级数理论——精选推荐

级数理论
第三篇：级数理论
第⼀部分：数项级数与⼴义积分
第九章：数项级数
1 预备知识：数列的上极限和下极限
⼀、定义：
对于有界数列{}n a ，{}n a 未必收敛，但它有收敛的⼦列。

这⾥我们考虑数列{}n a 具有特殊性质的⼦列{}nj a ，它的极限值最⼤（或者最⼩）。

例如：{}(1)n
-={}n a ，2n
a
=1→1，21n a -=-1→-1。

在{}n a 去掉最前⾯的k 项以后，剩下来的仍是⼀个有界数列，证这个数
列{}k j
a +的上确界为k
β
，下确界为k α，即：
k β=sup n k
>{}n a =sup {}1,2,
k k a a ++随着k 的增⼤在变⼩
k α={}{}1,2,
inf inf k k k n k
a a a ++>=随着k 的增⼤在变⼤
令k=1,2,3,……，可得新的数列{}k β及{}k α。

显见，{}
k
β，{}
k
α。

由单调有界准则知{}k β，{}k α均收敛，分别证：
,lim lim k k k k H h βα→∞
→∞
==
,h=lim n →∞
n a 。

即：
H=
lim n
x a →∞
=
{}
lim sup n k n k
a →∞>；
h=lim n →∞
n a {}liminf n k n k
a →∞>≤。

由上、下极限的定义，显然有：h H 。

（事实上，
',k k ?有{}{}'','''sup inf ,,lim H ,n n k k k k k k n k
n k
a a H k βαβαα→∞
>>≥≥=≥≥→∞故故即：再令，有
h H ≤）
对于⽆界数列{},n a 可以补充规定：
1
;lim n a n =∞→∞
______
规定：（）如果数列⽆上界，级数H=
（2）如果数列{}n a ⽆下界，级数.lim n n h a →∞
==-∞
这样，对于任何的数列，上极限和下极限h 均有定义。

⼆、上极限与下极限的重要性质
定理1 设lim ,n n H a →∞
=则（上极限的重要性质）（i ）当H 为有限时，对于H 的任
何ε领域(,)H H εε-+，级数列{}n a 中有⽆穷多项属于(,)H H εε-+，⽽在(,)H ε++∞上，只有数列{}n a 的有限项；
（ii ）当,H M =+∞?（任何实数）在{}n a 中有⽆穷多项⼤于M ；（iii ）当H =-∞时，数列{}n a 以-∞为极限（即发散到-∞）。

证明：（i ）当h -∞<<+∞时，
先证：0,ε?>在数列{}n a 中有⽆穷多项⼤于H ε-。

⽤反证法：如果00,{}n a ε?>中只有有限项⼤于0H ε-，则000,n n n n a H ε?> <-当时，有，于是：
1200sup{,,}()lim n n n n n a a H n n H H βεβε++→∞
=≤->?=≤-，⽭盾。

再证：在数列{}n a 中只有有限多项⼤于H ε+，由于l i m n x H β→∞
,N n N εβε?≥当时，有H-<
故1,,{}n k n k a H a H εε+?≥≤++有这就证明了中⼤于的项仅有有限项，（最多有N 个）。

从⽽推得（,H H εε-+）中含有{}n a 的⽆限多项。

（ii ）当{}0,n
H a M =+
∞?>?
n 时，此时数列⽆上界，故总a {}n a ∈，是得0,
n a M >再由{}n a ⽆上界，故110,,
{}k n n n n n a a a a a ?>?∈使继续可得，使
11.{},.(0,1,2)k k k k n n n n n a a a M a a H k ->>
>>?>=使
（iii ）当000,,(lim )n n n H G n n n G H ββ→∞
=-∞?>?>≤<-==-∞n+1时，当时a 。

这就表明{}n a 的极限为-∞。

（l i m n n a →∞
=-∞）
．定理2 设lim n n h a →∞
=，则
（i ）
当h 为有限时，0,(,)h h εεε?>-+中含有{}n a 的⽆限多项，只有
有限多项⼩于h ε-.
（ii ）当h =-∞时，0,{}n M a ?>有⽆穷多项⼩于M -．（iii ）
当h =+∞时,数{}n a 的极限为+∞.()n a →+∞．
定理3 设H 是数列{}n a 的上极限，那么，H 必是{}n a 中所有收敛⼦列极限中的最⼤值；设h 是{}n a 的下极限，那么h 必是{}n a 中所有收敛⼦列的极限中的最⼩值．
证明：仅以H 来证明，分三种情况：（i ）H -∞<<+∞，
由定理１（聚点原理）知，必有{}n a 的⼀个⼦列{}k
n a 收敛于H ，此外，
0ε?>，在{}n a 只有有限多项⼤于H ε+，这就表明所有⼦列的极限不会⼤于H ε+，由0ε>的任意性可知，所有收敛⼦列的极限必不超于H ．
（ii ）
当H =+∞时，由定理１知k n a ?，使lim k n k a →∞
=+∞．⽽其它任何⼦列
的极限当然不会超过+∞．
（iii ）
当H =-∞时，此时lim n n a →∞
=-∞，故{}n a 的任何⼦列的极限均发散
结果在数列{}n a 中，它的所有收敛⼦列的极限组成的数集必有最⼤值与最⼩值，并且这个最⼤（⼩）值正是{}n a 的上（下）极限．
推论１lim n n a A →∞
=（A 是有限或⽆穷⼤）lim lim n n n n a a A →∞
→∞
==．
容易从定理３推出．例１ (1)n
n a n n =+-
它只有两个具有极限的⼦列221,k k a a +
24lim k n n a k a →∞
=→+∞?=+∞；2100lim 0k n n a a +→∞
=→?=．
例２ cos
(0,1,2,...)4
n n a n π==
由于1cos
14
n
π-≤≤ 当8n k =时cos cos 2114n
n
a k ππ===→， 4(21)n k =+时，cos(21)11n a k π=+=-→-，
于是lim 1n n a →∞
=，lim 1n n a →∞
=-．
２级数的收敛性及其基本性质
⼀基本概念
级数理论是数学分析的重要组成部分，级数是表⽰函数，研究函数性质及进⾏数值计算的有⼒⼯具．级数概念并不⽣疏，在中学课中就出现过，例如：
１＞等⽐级数 2
1
......n a aq aq aq -+++++
２＞⽆穷⼩数
2344142
1.414
2...1 (10101010)
==+
++++ ３＞单位圆的⾯积A
正四边形的⾯积为1A ，1A A ≈，12A A A ≈+，12...n A A A A ≈+++ 令1
,i i n A A ∞
=→∞=
∑．
设有⼀数列12,,...,,...n u u u
把数列各项⽤加号连接起来的式⼦121
......n n
n u u u u
∞
=++++∑
（１）
称为⽆穷级数，记为
1
n
n u
∞
=∑，这仅仅是形式上的相加，这种加法是否具有＂和数＂
呢？这个和数的确切定义是什么呢？要回答这些问题，要引⼊下述概念：部分和数列令11212121 ,,...,...n
n n k
k S u S u u S u u u u
===+=+++=
∑ （２）
我们称{}n S 为级数
1
n
n u
∞
=∑的部分和数列，n S 称为次部分和．
反之，从⼀个数列出发，也可做出⼀个级数，使级数的部分和数列为，事实上，只要取即为所求．例如：等⽐级数
12111......n n n q q q q ∞
--==+++++∑的部分和为
n
n q q S q
n q ?-≠?
=-??=?
（３）
可以设想：如果{}n S 收敛，其极限可以作为级数的和，如（３）中，当||1q <时，1lim 1n n S q →∞=-，把11q -看作1
1
n n q ∞
-=∑的和，
当||1q ≥时，lim n n S →∞
不存在，此时级数没有和．
定义如果lim n n S S →∞
=存在，称⽆穷级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，并称S 级数
1
n
n u
∞
=∑的和，
记为
1n
n u
S ∞
==∑
如果lim n n S →∞
发散，称⽆穷级数
1
n
n u
=∑发散，发散级数没有和．
显然当级数（１）收敛是，其部分和可以看作其和的近似值．它们之间的差值是
121
...n n k
k k k n r S S u
u u ∞
++=+=-=
=++∑ （４）
称为级数（１）的余和（余项）．从⽽⽤部分和n S 近似表⽰和S 产⽣的误差是||n r 即12||||...|n n n n r S S u u ++=-=++ （５）从⽽有以下的结果：
1
lim 0n
n n n u
S r ∞
→∞
==?=∑ （６）
例２判别级数
11
(1)
n n n ∞
=+∑的收敛性
解因为111
(1)1
n u n n n n =
=-
++，所以11111111
(1)()()...()12233411
n S n n n =-+-+-++-=-
++，⽽1
lim lim(1)11
n n n S n →∞
→∞
=-
=+，原级数收敛于１．例３判别级数
1
∞
-=∑的敛散性(0)a ≠
解
(1)
111n n a q q S q an q ?-≠?
=-??=?
，
1q ≠时，||11(1)lim lim 11
n n n n a
q q
a q S q q q →∞→∞?
∴==?-?=-不存在||>1不存在
1q =时，lim lim n n n S na →∞
→∞
==∞
∴当||1q <时，级数收敛；当||1q ≥时发散．
⼆收敛级数的性质
由级数敛散的定义可见，研究级数的敛散问题，实质上是研究部分和数列的敛散性问题．由极限的性质可以导出级数的某些性质：
性质１若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，
a 为常数，则1
n n au ∞
=∑也收敛．并且有
11n
n n n au
a u ∞
∞
===∑∑
证明设
n au
∞
=∑的部分和分别为'
,n n S S ．
由假设l i m n n S S
→∞
=（收敛）显见'
n n S aS =，故
'lim lim lim n
n n n n n S aS a S aS →∞→∞
→∞
===，即11
n n n n au aS a u ∞∞
====∑∑．
性质２若级数
1
n n u ∞=∑，1n
n v
∞
=∑，都收敛，则
1
()n
n n u
v ∞
=±∑也收敛，并且有
1
1
1
()n
n n n n n n u
v u v ∞
例３求级数0
2(2)3n
n
n ∞
=+-∑的和．解因为023
n n ∞
=∑，02(1)3n n
n n ∞
=-∑都是公⽐绝对值⼩于１的级数，故它们都收敛，
由例２，有021
231313
n n ∞
==?
=-
∑，0(2)132351()3n n n ∞
=-==--∑，故原级数0
2(2)318
3355n n
n ∞
=+-=+=∑．性质３收敛级数加括号后所成的新级数仍然收敛于原级数的和．即若n
n u
S ∞
==∑，则112121(...)(...)...i i i u u u u u ++++++++
=121
...i i w w w ∞
=++=
∑，也收敛于S ．
证明设
1
n
n u
=∑的部分和为{}n S ，设加括号后的级数
1
n
n w
∞
=∑的部分和为{}n A ，则
有11111...i i A w u u S ==++= 1122121(...)(...)i i i i
A w w u u u u S
=+=
+++++=
11121...(...)...(...)n n n n n i i i i A w w w u u u u S -=+++=++++++= 可见，{}n A 是{}n S 的⼦列{}n i S ，故由lim n n S →∞
收敛lim lim n n i n n A S →∞
→∞
=收敛，其
极限值相同．
注：１＞性质３是说，收敛级数可以有限结合（结合律成⽴）．
２＞其逆不真，即加括号后的级数收敛不能推出原级数收敛．
３＞有时可以⽤其逆否命题来判别级数发散，即若加括号的级数发散，则原级数发散（是性质３的逆否命题）．性质４（收敛的必要条件）若级数
1n
n u
∞
=∑收敛，则0n u →．
证明设
1
n
n u
∞
=∑的部分和为n S ，且lim n n S S →∞
=，由1n n n u S S -=-，则有
1l i m l i m l i m 0
n n
n
n n n
→∞
=
-
=-=．推论若lim 0n n u →∞
≠，则
1
n
n u
∞
=∑必发散．
注４＞通项0()n u n →→∞的级数未必收敛．例４证明级数
11
n n
∞
=∑发散证明⽤反证法，设11
n n
∞
=∑收敛于S ．则lim n n S S →∞=且2lim n n S S →∞
=，从⽽有
22lim()lim lim 0n n n n n n n S S S S S S →∞
→∞
→∞
-=-=-=．
但另⼀⽅⾯⽭盾：211111 (1222)
n n S S n n n n n n -=
+++>?=+++⽭盾，故
11
n n
∞
=∑发散．三级数收敛的充要条件（Cauchy 收敛原理）定理（柯西收敛原理）级数1
n
n u
意1,2,3,...P =，都成⽴12|...|n n n p u u u ε++++++<．等价的语⾔叙述：0,N ε?>?当,m n N >时，成⽴
12|||...|m n n n m S S u u u ε++-=+++<．()m n >
这正是数列{}n S 收敛的充分必要条件．
注５＞由柯西收敛原理⽴即知道，在⼀个⽆穷级数中，去掉或添加有限多项，不影响该级数的敛散性．例５利⽤收敛原理来判断级数
2
11
n n
∞
=∑的敛散性．证明 22
2
1
11,
||...(1)(2)()
n p
n p N S
S n n n p
+?∈-=
++++++ 111
...(1)(1)(2)(1)()
n n n n n p n p <
+++
++++-+ 111
11
1
()(
)...()
11
21
n n n n n p n p =-+-++-++++-+
111n n p n
=
-<+．于是0ε?>，取1
[]N ε
||n p n S S n ε+-<<．按收敛原理，知2
11n n
∞
=∑收敛．例６证明级数1
1
(1)n n n +∞
=-∑收敛．
证明 11111
,||...(1)123p n p n p N S S n n n n p
-+?∈-=
-+-+-++++有． p 为奇数时，111111||()...()12311
n p n S S n n n n p n p n +-=-----<++++-++， p 为偶数时，1111111
||()...()123211
n p n S S n n n n p n p n p n +-=
------<
++++-+-++．３正项级数（的收敛性判别法）
本节讨论正项级数的敛散性问题，建⽴其收敛判别法，若
1
,0n
n n u
u ∞
=≥∑ （１）
称级数（１）为正项级数，正项级数：{}n S 是单调增加的数列． 12......n S S S ≤≤≤≤⼀基本定理（i ）正项级数（１）收敛{}n S ?有上界；（ii ）
若{}n S ⽆上界，则
1
n
n u
∞
=∑发散到正⽆穷．
证明（i ）设
1
(0)n
=≥∑收敛，则lim n n S S →∞
=（收敛）
，收敛数列{}n S 必有界，故有{}n S 上界；反之，若{}n S 有上界，再由n S ↑，由单调有界准则知，lim n n S →∞收敛，故
1
n
n u
∞
=∑收敛．
（ii ）如果{}n S ⽆上界，（注意到n S ↑），故n S 发散到正⽆穷，故1
n
n u
∞
=∑发散到⽆穷．
例１设{}n a
是单调减少的正项数列，证明
1
n ∞
=收敛．证明
显见，0n u =
≥故级数是正项的，要证级数收敛，只要证明其部分和数有上界即可．事实上，
1(1k k
a +
=-=+
-
111
2n
n
n
n k k k k S u ===∴==≤-=-≤∑∑根据基本定理知原级数收敛．⼆正项级数的⽐较判别法⽐较法I ：设1
n n u ∞=∑，1
n
n v
∞
=∑都是正项级数，存在0c >，使
(1,2,3n n u cv n ≤=
（２）（i ）
若
1
n
n v
∞
=∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑也收敛；
（ii ）若
1
∞
=∑发散，则
1n
n v
∞
=∑也发散．
证明分别⽤,n n U V 表⽰
1
n n u ∞
=∑，1
n
n v
∞
=∑的部分和，由（２）有n n U cV ≤．
（i ）当
1n
n v
∞
=∑收敛时，由基本定理知n V 有界，故n U 也有界，故1 n
n u
∞
=∑收敛．
（ii ）当
1
n
n u
∞=∑发散时，n U ⽆上界，则n V 也⽆上界，故
1
n
n v
∞
=∑发散．
n n u ∞=∑，1
n
n v
∞
=∑均为正项级数，若
lim (0,)n
n n
u l v →∞=∈+∞ （３）则1n n u ∞=∑，1n n v ∞
=∑同敛散．证明由于lim 0n
n n
u l v →∞=>，取
1002l N ε=>?>，当n N >时，有
1||2n n u l l v ε-<=，即3
22n n l u l v <<，即1322n n n lv u lv ≤≤．由判别法I 知，1
n n u ∞=∑，1n n v ∞
=∑同
收敛（这⾥⽤到前项不影响敛散）例２判别下列正项级数的敛散性1
(1)n ∞
=（发散） 1
1
(2)s i n n n
∞
=∑
（发散） 211
(3)n n ∞
=∑（收敛） 21
1(4)t a n ()n n
∞
=∑（收敛） 11(5)ln()n n n ∞
=+∑（发散） 14
(6)2n n n
三柯西判别法柯西判别法设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数（i ）若从某⼀项起（即存在N ，当n N >时）有
1q ≤<（q 为常数），则1
n n u ∞
=∑收敛．
（ii
1≥，则
1
n
n u
∞
=∑发散．
证明（i ）若当n N >
1q ≤<，故n
n u q ≤
⽽级数
1
n
n q
∞
=∑收敛，故
1
n
n u
∞
=∑也收敛
≠，故
1
n
n u
∞
=∑发散．
柯西判别法的极限形式
设
1
n
n u
∞
=∑
r -
=，则
（i ）当r -
＜１时，级数收敛；（ii ）当r -
＞１时，级数发散；（iii ）
当r -
＝１时，需另外判定．
证明（i ）当r -
＜１时，可选适当⼩的正数0ε，使01r ε-+<．再由第１节定理１知，
{}n u 中只有有限项的n 次⽅根⼤于0r ε-+，即N ?，当n N >
01r ε-
<+<
由上⾯的柯西判别法知，
1
n
=∑收敛．
（ii ）当r -
＞１时，可以去适当⼩的10ε>，使11r ε->．再由定理１知，{}n u 中有⽆11r ε-
>->，将这些项记为{}k n u 则1()
1k
k n n u r ε>->，故lim 0k n k u →∞
≠，
从⽽lim 0n n u →∞
≠，故
1
n
n u
∞
=∑发散．
（iii ）
当r -
＝１时，可举两个例⼦11n n ∞
=∑，211n n
∞=∑
，11r ==
，21r ==，
⽽11n n ∞
=∑发散，211
n n ∞
=∑收敛．
推论设
1
n
=∑
为正项级数，n r =，则（i ）当1r <时，1
n
n u
∞
=∑收敛；
（iii ）
当1r >时，
1
n
n u
∞
=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效．例３判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()...() (35721)
n
n n ++++++
1
1()
2
r ==<收敛 n n
n e ∞
-∑n=1
(2)
l i m n n
r e →∞===+∞
n n x α∞
∑n=1
(3)（α为任何实数，0x >）
r x ==
α进⾏讨论，当1α->，即1α<-时收敛，当1α-≤时，即1α≥-时发散．四达朗贝尔判别法１. 设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数
（i ）若从某项起(,)N n N ?>，有1
1n n u q u +≤<，则1n n u ∞
=∑收敛；
（ii ）若从某项起(,)N n N ?>，有1
1n n u u +≥，则1
n n u ∞=∑发散．
证明（i ）由n N >时，有
1
1n n
u q u +≤<， 1N N u qu +≤，2
21N N N u qu q u ++≤≤，
3
3,
...N N u u q +≤ ,
...k N k N u u q +≤
由于
1
k
N
k u
q ∞
=∑收敛，由⽐较判别法知1
N k k u ∞+=∑收敛，故1
n n u ∞
=∑收敛．
（ii ）若N ?，当n N >时，有1
n n u ∞
=∑ 发散．
２.
达朗贝尔判别法的极限形式设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数．
（i ）
若1
lim 1n n n u r u +→∞=<，则1n n u ∞
=∑收敛；（ii ）若1
lim 1n n n u r u +→∞=<，则1
n n u ∞
=∑发散；（iii ）
若1r =或1r =则需另⾏判定．
证明略去．
推论特别地，若1
lim
n n n
u r u +→∞=存在，则（i ）1r <收敛（ii ）1r >发散（iii ）1r =失效．
例５判别下列级数的敛散性． 1!(1)
n n n n
∞
=∑ 11
l i m 1()
n n n u r u e +→∞==<收敛 232222(2)......123n
n
+++++ 21
(
)r =>发散 1(3)(0,0)n
u r u α+→∞==
（i ）当01α<<时，收敛(0)s ?>；（ii ）当1α>时，发散（iii ）当1α=时原级数为11
s
n n
∞
=∑的敛散性要进⼀步判定．五柯西积分判别法
对于正项级数
1
n
n u
∞
=∑设{}
n u ，作单调减的连续函数()
(()0)f x f x ≥，使
()
1,2,...
n u f n n == 则级数1
n n u ∞
=∑与数列同时收敛同时发散．证明由()
f x ，故1(1)()()k k u f k f x f k u -=-≥≥=，([1,])x k k ∈-
111
1
1
1
()()k k k
k
k k k k k k k k u u dx f x dx f k dx u dx u ------=≥≥≥=
11
1
1
2
∞
∞--===∴≥=≥∑∑∑?
由此可得证明．
例６考察p-级数11
(0)p n p n
∞=>∑的敛散性．
解
1n p
u n =取
1()p
f x x =
，则
()
n u f n =，当
1p ≠时，
1111
111|(1)11n
p n p n p A dx x n x p p
--===---?
11
111lim lim (1)11
p n n n p p A n p
p -→∞→∞?>?
-=-=?-?∞
当1p =时，11
1ln |ln n
n n A dx x n x
=
==?
，lim limln n n n A n →∞→∞==+∞，∴当1p >时收敛，当1p ≤时发散．
例７证明级数21ln n n n ∞
=∑发散，2
n n n ∞
=∑收敛． 11()ln f x x x = 21
[lnln lnln 2]ln n n A dx n x x ==-→+∞?发散，121()(ln )f x x x = 221111
[]ln ln 2ln ln 2
n n A dx x x n ==-→?收敛．
４任意项级数
1
n
n u
∞
=∑ n u 可正可负的级数 (１)
绝对收敛―若
1||n
n u
∞
=∑收敛，称级数1
n n u ∞
=∑绝对收敛，
条件收敛－若
1
n
n u
∞
=∑收敛，但
1
||n
n u
∞
=∑发散，则称是1
n n u ∞
=∑条件收敛．
1
=-∑是条件收敛级数．绝对收敛与收敛之间有以下的关系：
定理（绝对收敛准则）绝对收敛级数必收敛，反之不然．证明设1
n
n u
∞
=∑绝对收敛，即
1
||n
n u
∞
=∑收敛，由Cauchy 收敛原理知，0,N ε?>?，当n N
>时，p ?（⾃然数）有 12||||...||n p n n u u u ε++++++<
于是 121
2
|...|||||...|
|
n p n p n n n n u u u u u u ε+++++++++≤+++
< 由Cauchy 收敛原理知
1n
n u
∞
=∑收敛．
反之不然，有反例11(1)n n n -∞
=-∑收敛，但11
n n
∞=∑发散，因此11(1)n n n -∞
=-∑是条件收敛级
数．
注１＞如果判断出
1
||n
n u
n n u ∞=∑发散的结论，还要重新判别的1
n n u ∞
=∑敛
散性，若
1
n
n u
∞
=∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑条件收敛．
２＞如果⽤Cauchy 根值判别法，或达朗贝尔判别法判定正项级数1
||n
n u
∞
=∑发散时，则可
以断⾔，级数
1
n
n u
∞
=∑也发散．
这是因为利⽤柯西及达朗贝尔判别法
1
||n
n u
∞
=∑发散时，是根据||n u →0()n →∞来判定的，
因此，对级数
n u
∞
=∑⽽⾔，也有n u →0()n →∞，故
1
n
n u
∞
=∑发散．
例１判别级数
1
1(1)(0)n
n n x x n
∞
=->∑的敛散性．
解考察级数1111|(1)|n
n n
n n x x n n
∞
∞
==-=∑∑
由⽐值法知，当1x <时，级数收敛；当1x >时，级数发散．故有：（i ）当1x <时，1(1)n n n x n ∞
=-∑绝对收敛；（ii ）当1x >时，1
(1)n n
n x n ∞
=-∑发散；（iii ）当1x =时，1
(1)||n
n n ∞
=-∑发散，⽽1(1)n n n ∞
=-∑收敛，故为条件收敛．
例２判别级数
3
1
n n n n ∞
-=-∑的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）解考虑级数
33
1
1
1|(1)
|22
n n n n n n n ∞∞
-==-=∑∑ 3113||(1)21
lim lim 12||2n n n n n n
u n r u n ++→∞→∞+==?=< 312n n n ∞
=∴∑收敛，故原级数绝对收敛．⼆交错级数
111231
...(1)...(1)n n n n n u u u u u ∞
--=-+-+-+=
-∑ （１）
(1,2,n u n >=称为交错级数．
莱布尼兹定理如果交错级数满⾜
（i ）n u 单调减少，1(1,2,...)n
n u u n +≤=；
（ii ）lim 0n n u →∞
=
则１＞11
(1)n n n u ∞
-=-∑收敛，２＞1||n n r u +≤
注满⾜（i ）（ii ）条件的交错级数称为莱布尼兹型级数，定理是说，莱布尼兹型级
数都收敛，且余和绝对值不超过其第⼀项的绝对值．
证明１＞考虑{}n S 的⼦列2{}m S ．
21234212()()...()m m m S u u u u u u -=-+-++- 22122222()m m m m m u u S S S -+++-≥=
由条件（i ），2m
S
⼜521234222121()()...()m m m m u S u u u u u u u u ---=-------≤ （２）故2m S 有上界1u ，由单调有界准则知2lim m m S S →∞=，不难证明lim n n S S →∞
=
２＞由（２）式可知1110(1)n n n u u -∞
=≤≤-∑ （３）
11
(1)0n n n u u ∞
=?
-≤-≤∑ （４）
由（３），（４）知，交错级数之和不超过第⼀项的绝对值．利⽤这⼀事实，⽴即可以得到第⼆个结论：1111
|||
(1)||(1)|k n n n n k k n r u u u ∞
+++=+=-<-=∑．例３讨论级数1
1
(1)n p
n n -∞
=-∑的敛散性(0)p >（交错的p 级数）解利⽤Cauchy 积分判别法知
11
p
n n
∞
=∑当(1)p >时收敛，故(1)p >时，级数1
1
(1)n p
n n -∞
=-∑绝对收敛．当01p <≤时发散，但当0p >时，1||0n p
u n
=，故1
1
(1)n p
n n -∞
=-∑在0p >时收敛，当01p <≤时，条件收敛．
例４讨论级数1
()(0,0)n
s n s n αα∞
=->>∑
的敛散性．
解考虑11()||n n
s
s n n n n
αα∞
∞
==-=∑∑．应⽤达朗贝尔判别法 1||
lim ||n n n
u r u α+→∞==．
(i) 当1α<时收敛(0)s ?>，即1α<时原级数绝对收敛； (ii) 当1α>时发散(0)s ?>即1α>时，原级数发散； (iii) 当1α=时，⽽1s >绝对收敛，1s ≤条件收敛．例５
设数列{}n a 单调减少，且l i m 0n n a →∞
=
，试证：级数
121
...(1)n
n
n a a a n ∞
=+++-∑收敛．证明由于{}
0n a ，故12...0n
n a a a y n +++=
≥，故1
(1)n n n y ∞
=-∑是交错级数，并且12...lim 0n
n a a a n
→∞+++=，
12121
1 (1)
n n n n n a a a a a a a y y n n +++++++++-=
-
+ ＝
1212121
(...)(...)(...)(1)
n n n n n a a a a a a n a a a na n n ++++++++-+++-+
＝
121
(...)0(1)
n n a a a na n n ++++-≥+
根据莱布尼兹定理，
1(1)n n n y ∞
=-∑收敛．例6．判别下列级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛
121
2
2100(1)
1.
(1)(
);
2.31(1)
3.;
4.sin 0)
ln n
n
n
n n n
n n n n k n n
π∞
∞
==∞
∞
==+--+-≠-∑∑
∑。