2017届高考数学一轮复习 必考部分 第七篇 立体几何 第2节 空间图形的基本关系与公理应用能力

第2节空间图形的基本关系与公理
【选题明细表】
1.若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为( B )
(A)M∈a,a∈α(B)M∈a,aα
(C)M a,aα(D)M a,a∈α
解析:点M在直线a上,记为M∈a;a在平面α内记为aα.
2.下列命题中正确的是( D )
(A)空间三点可以确定一个平面
(B)若两个平面α,β有一个公共点A,则α∩β=A
(C)若A,B,C,D四点既在平面α内,又在平面β内,那么平面α与平面β重合
(D)三角形一定是平面图形
解析:A项,当三点共线时,不能确定一个平面,A错;B项,若α,β有公共点A,则α,β相交于过该点的公共直线,α∩β=a(a为交线),B错;C项,A,B,C,D四点可以同在两个平面的交线上,C错,D项正确.
3.异面直线是( D )
(A)空间不相交的两条直线
(B)分别位于两个平面内的直线
(C)平面内的一条直线与这个平面外的一条直线
(D)不同在任何一个平面内的两条直线
解析:由异面直线的定义知选D.
4.如图所示,用集合语言可表示为( A )
(A)α∩β=m,nα,m∩n=A
(B)α∩β=m,n∈α,m∩n=A
(C)α∩β=m,nα,A m,A n
(D)α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
解析:由图及符号表示知选A.
5.若a和b是异面直线,c∥a,那么c与b( C )
(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线
(C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线
解析:假设c∥b,又c∥a,所以a∥b,与a,b是异面直线矛盾,
所以c与b不可能平行.
6.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD
上的点,且==,则( D )
(A)EF与GH平行
(B)EF与GH异面
(C)EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
(D)EF与GH的交点M一定在直线AC上
解析:连接EH,FG,依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E,F,G,H共面.因为
EH=BD,FG=BD,故EH≠FG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,因为点M在EF上,故点M在平
面ACB上.同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点,而AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上.
7.(2015高考广东卷)若直线l1与l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( D )
(A)l与l1,l2都不相交
(B)l与l1,l2都相交
(C)l至多与l1,l2中的一条相交
(D)l至少与l1,l2中的一条相交
解析:可用反证法.假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面α内,于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.
8.对于空间三条直线,有下列四个条件:
①三条直线两两相交且不共点;
②三条直线两两平行;
③三条直线共点;
④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.
其中使三条直线共面的充分条件有.
解析:易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②错;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.
答案:①④
9.如图所示,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是.
解析:正方体中BM与ED,CN与BM,DN与BM是异面直线,CN与BE是平行直线,故正确命题序号为②④.
答案:②④
10.下列各图的正方体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图形是
(把正确图形的序号都填上).
解析:①中直线QP与直线RS相交,所以四点共面;
②中直线PS与直线QR平行,所以四点共面.
③中直线SR与直线PQ平行,所以四点共面;
④中直线PS与直线RQ异面,所以四点不共面.
答案:①②③
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11.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a 的取值范围是( A )
(A)(0,) (B)(0,) (C)(1,) (D)(1,)
解析:
构造四面体ABCD,使AB=a,CD=,AD=AC=BC=BD=1,取CD的中点E,
则AE=BE=,
所以+>a,0<a<.
12.在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,则( A )
(A)M一定在直线AC上
(B)M一定在直线BD上
(C)M可能在AC上,也可能在BD上
(D)M既不在AC上,也不在BD上
解析:因为E,F,G,H分别是四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上的点,EF与HG交于点M,且EF 平面ABC,HG平面ACD,所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点,而这两个平面的交线
为AC,所以M一定在直线AC上.故选A.
13.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.
解析:依题意把正四面体CDEF放在正方体内,假设AB与CD等长,使AB与CD重合.
在正四面体CDEF内,易得CD与EF所在直线是异面直线且互相垂直,
故正方体内与CD(也即AB)垂直的平面必与EF平行,这样的平面有
2个.
又因EF不与平面α垂直,易知EF与正方体内其他4个平面的关系是相交的.
答案:4
14.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD A 1B1C1D1中,
AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解:
(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,
所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,
所以其体积的比值为[10×]∶[10×]=([10×]∶[10×]=也正确).
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1.空间四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与( B )
(A)AC,BD之一垂直(B)AC,BD都垂直
(C)AC,BD都不垂直(D)AC,BD不一定垂直
解题关键:转化思想(平面化).
解析:连接AN,CN,
因为AD=BC,AB=CD,BD=BD,
所以△ABD≌△CDB,则AN=CN,
在等腰△ANC中,由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.
2.如图,在正方体ABCD A 1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( D )
(A)MN与CC1垂直
(B)MN与AC垂直
(C)MN与BD平行
(D)MN与A1B1平行
解题关键:排除法.
解析:
如图,连接C1D,BD,AC,
在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;
因为CC1⊥平面ABCD,
所以CC1⊥BD,
所以MN与CC1垂直,故A正确;
因为AC⊥BD,MN∥BD,
所以MN与AC垂直,故B正确;
因为A1B1与BD异面,MN∥BD,
所以MN与A1B1不可能平行,故D错误.。