中考数学二轮复习试题重难点5 几何图形探究题 含答案

几何图形探究题题型五
几何图形静态探究类型一
D，则于点DAC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC问题背景：如图①，等腰△ABC1．(2017·成都)中，AB＝2BDBC1 ；＝3BAD＝∠BAC＝60°，于是＝为BC的中点，∠ABAB2迁移应用：如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE＝5，CE＝2，求BF的长.
2．(2017·许昌模拟)在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上(不含点B)，∠1BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.
2
如图①)，求证：△BOG≌△POE；(重合时C与点P当点(1)．
BF通过观察、测量、猜想： (2)＝__________，并结合图②证明你的猜想；PEBF的式子表
的值．(用含α(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB＝α，求PE) 示
问题发现2014·河南)(1)3．(BE. 在同一直线上，连接D，EACB和△DCE均为等边三角形，点
A，如图①，△填空：；的度数为__________①∠AEB __________之间的数量关系为．②线段AD，BE (2) 拓展探究为CMED，在同一直线上，和△DCE如图②，△ACB均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，之间的数量关系，并说明理由．，BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AEBE△DCE中DE边上的高，连接 (3)解决问题＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请
直接写出点A到CDABCD如图③，在正方形中，BP的距离.
4．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：1DE∥BC，且DE＝BC.(不需要证明)
2【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；
【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：__________.(只添加一个条件)
(2)如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD 相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积.
5．(2016·新乡模拟)问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，AC求的值．HF(1)初步尝试
做D的运动速度相等，小王同学发现可以过点E，D，且AC⊥DH是等边三角形，如图①，若△ABC．AC ；的值为__________再证AH.GF＝CF，从而求得DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝HF 类比探究(2)的运动速度之比是3∶1D，E，求＝90°，∠如图②，若在△ABC中，∠ABCADH＝∠BAC ＝30°，且点AC的值；HF(3)延伸拓展
BC如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含ACACm的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程) .
类型二几何图形动态探究
Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，2015·1．(河南)如图①，在连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)问题发现
AEAE①当α＝0°时，＝__________；②当α＝180°时，＝__________；BDBD(2)拓展探究
AE试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．BD(3)问题解决
的长．BD三点共线时，直接写出线段E，D，A旋转至当△EDC．
2．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
(1)如图①，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是__________；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.
①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明
理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC的最小值.
＝∠E＝B如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中∠C＝90°，∠)河南2013·(．3．30°.
(1)操作发现
如图②，固定△ABC，使△DCE绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是__________；
②设△BDC的面积为S，△AEC的面积为S，则S与S的数量关系是__________；2211(2) 猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S与S的数量关系仍然成立，并尝试分别21作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想；
(3) 拓展探究
已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)，若在射线BA上存在点F，使S＝S，请直接写出相应的BF的长.
BDC△DCF△
4．(2017·郑州模拟)【问题情境】
数学课上，李老师提出了如下问题：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.请判断线段BD与AE之间的数量关系．
小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思路，然后类比到一般情况．”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成．
【问题解决】
(1)如图①，当α＝60°时，判断BD与AE之间的数量关系；
解法如下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.
【类比探究】
(2)如图②，当α＝45°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
(3)如图③，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)
5．(2017·烟台)【操作发现】
(1)如图①，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
【类比探究】．
重合，再将三角板ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB(2)如图②，△ABC为等腰直角三角形，∠，在三角AB交于点D旋转角大于绕点C按顺时针方向旋转(0°且小于45°)，旋转后三角板的一直角边与，请直接写出探究AF，EF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝45°，连接板另
一直角边上取一点F，使CF 结果：①求∠EAF的度数；，DB之间的数量关系．②线段AE，
ED
22题几何图形探究题题型五第几何图形静态探究类型一 DAE＝120°，1．迁移应用：①证明：∵∠BAC＝∠ CAE，∴∠DAB＝∠EADA＝???EAC＝∠∠DABEAC;
≌△在△DAB和△EAC中，，∴△DAB??AC＝AB
, 图② )
BD. ＋＝②解：结论：CD3ADH. CD于AH理由：如解图①，作⊥ CE，∵△DAB≌△EAC，∴BD＝3cosRt 30ADDH＝AD·°＝，在△ADH中，2 HE，⊥∵AD＝AE，AHDE，∴DH＝＋DE＋EC＝2DH；BD＝3AD＋BD∵CD＝BE.
拓展延伸：①证明：如解图②，作BH⊥AE于H，连接∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，
＝60°，FEC＝120°，∴∠AEC＝∠ADC∴∠．
EFC是等边三角形，∴△ 2，，EC＝EF＝②解：∵AE＝5 4.5，＝2.5，FH＝∴AH＝HE Rt BFH在＝30°，△BHF中，∵∠4.5HF cos＝＝33. 30°，∴BF∴＝BF322．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，P与C重合，∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°，
∵PF⊥BG，∠PFB＝90°，
∴∠GBO＝90°－∠BGO，∠EPO＝90°－∠BGO，∴∠GBO＝∠EPO，
∠GBO＝∠EPO???OPOB＝ASA)中，；POE( ，∴△BOG≌△在△BOG和△POE??∠BOG＝∠POE1BF.
(2)解：猜想＝2PE ，于M，交BO于NBG证明：如解图①，过P作PM∥AC交OCB.
PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠∴∠NP.
＝NPB＝∠，∴NB∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP ＝∠NPE，BMN∵∠MBN＝90°－∠，∠NPE＝90°－∠BMN，∴∠MBNNPEMBN＝∠∠???NPNB＝，BMN和△PEN中，在△??∠MNB＝∠PNE ASA)，∴BMPEN(＝PE.
∴△BMN≌△1∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF.
2∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°.
在△BPF和△MPF中，
∠BPF＝∠MPE???PF＝PF ASA). ≌△MPF(，∴△BPF??∠PFB＝∠PFM11BF1∴BF＝MF. 即BF＝BM.∴BF＝PE.即＝；22PE2
，N于点BO，交M于点BG交AC∥PM作P解：如解图②，过(3)．
BOC＝90°.，∠ACB＝αPNE＝∠∴∠BPN＝∠1 EPN，＝BM，∠MBN＝∠由(2)同理可得BF2BNBM. ，∴＝∴△BMN∽△PEN PNPEBN tanRt＝BNP中，，在α△PN tanαBFBM2BF tantan. ＝，即＝，∴∴＝αα2PEPEPE 均为等边三角形，∵△ACB和△DCE3．解：(1)BCE. ＝∠＝∠DCE＝60°，∴∠ACDCB，CD＝CE，∠ACB∴CA＝中，ACD和△BCE在△BC＝AC???BCE＝∠∠ACD ，??CE＝CD SAS BEC. ＝∠)．∴∠∴△ACD≌△BCE(ADC ＝∠CED＝60°.∵
△DCE为等边三角形，∴∠CDE －∠CED＝60°；BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BECADC∵点A，D，E 在同一直线上，∴∠＝120°，∴∠＝BE；②∴AD2CM.
BE＋∠AEB＝90°，AE＝(2) DCE均为等腰直角三角形，理由：∵△ACB和△BCE. ACD＝∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠∴CA＝CB，CD＝CE，∠中，在△ACD和△BCECB＝CA???BCE＝∠∠ACD ，??CE ＝CD SAS BEC. ，∠ADC＝∠BCE(BE)．∴AD＝ACD∴△≌△＝∠CED＝45°.∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE E在同一直线上，D∵点A，， CED＝90°.AEB＝∠BEC－∠BEC∴∠ADC＝135°，∴∠＝135°，∴∠ME. ＝⊥DE，∴DM∵CD＝CE，CM ＝CM，DM∵∠DCE＝90°，∴＝ME ；2CM＋
DE＝BE＋AE∴＝AD1＋3－13.
或的距离为到(3)点ABP22 为半径的圆上．1为圆心，D在以点P，∴点1＝PD理由如下：∵．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如解图①所示位置时， PA，作AH⊥BP，垂足为，H连接PD、PB、，于点E⊥AP，交BP过点A作AE ABCD ∵四边形是正方形，2. ＝2，∠BADBD＝∴∠ADB＝45°.AB＝AD＝DC＝BC＝90°.∴3.
BP＝DP＝1，∴∵ D、B在以BD为直径的圆上，BAD∵∠BPD＝∠＝90°，∴A、P、 APB＝∠PAE 是等腰直角三角形．ADB＝45°.∴△∴∠，BP共线，AH⊥又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、PPD.
＋BP＝2AH∴由(2)中的结论可得：13－＝∴AH；∴3＝2AH＋1.2
②当点P在如解图②所示位置时， BP，垂足为H，连接PD、PB、PA，作AH⊥，的延长线于点E过点A作AE⊥AP，交PB13＋. ＝2AH－1.∴AH＝同理可得：BP＝2AH－PD.∴3213＋13－. 的距离为BPA或综上所述：点22 ．解：【探究】平行四边形．4理由：如解图①，连接AC，1 ，，EFFE∵是AB的中点，是BC的中点，∴∥ACEAC21 AC，ACHG＝，∥同理HG 2 ＝，综上可得：EF∥HGEFHG，是平行四边形．故四边形EFGH ＝添加【应用】(1)ACBD，1 ＝(1)BD，AC理由：连接，同EF知，AC，2．
1同【探究】的方法得，FG＝BD，2∵AC＝BD，∴EF＝FG，
∵四边形EFGH是平行四边形，∴?EFGH是菱形；
(2)如解图②，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，
∵F，G是BC，CD的中点，
1S1CFG△∴FG∥BD，FGBD，∴△CFG∽△CBD，，∴S＝4S，CFG△△BCD4S2BCD△同理：S＝4S，AEH ∵四边形ABCD面积为5，∴S＋S＝5，∴S＋S＝，同理：S＋S＝，BEF△△BCDAEHABD△CFG△△DHG△4455△ABD△55
∴S＝S－(S＋S＋S＋S)＝5－＝，BEFDHG△CFG△EFGH四边形△△四边形ABCDAEH22设AC与FG，EH相交于M，N，EF
与BD相交于P，
111∵FG∥BD，FG＝BD，∴CM＝OM＝OC，同理：AN＝ON＝OA，222∵OA＝OC，∴OM＝ON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，S＝S，FMOP?EPON?15∴S＝S＝.
5．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，∴AD＝GD，
EFGH阴影四边形24
由题意知：CE＝AD，∴CE＝GD，
∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，
∠GDF＝∠CEF???∠GFD＝∠EFC， CEFGDF与△中，在△??GD＝CE AAS)，∴CF＝GF，≌△∴△GDFCEF(∵DH⊥AG，∴AH＝GH，
∴AC＝AG＋CG＝2GH＋2GF＝2(GH＋GF)＝2HF，
AC∴＝2；HF(2)如解图①，过点D作DG∥BC交AC于点G，
＝90°.ABC＝∠ADG则∠．
＝60°，＝∠DH，∠GHDBAC＋∠ADH＝∠∵∠BACADH＝30°，∴AH＝ ADG－∠ADH＝60°，∴△DGH为等边三角形．＝∠∠HDG tan3GD. AD＝GD·60°＝，∴GD＝GH＝DH＝AHCE. AD∴3CE.＝由
题意可知，＝GDCEF.
DG＝∠∥∵BC，∴∠GDFCEF＝∠∠GDF???EFC∠GFD＝∠，与△CEF中，在△GDF??GDCE＝AAS CF. ∴△GDF≌△CEF(GF＝)，∴AC1 ；＝2AH＋CF，∴HF＝ACGH＋GF＝，即AH＋CF，即HF＝HF21ACm ＋理由如下：(3)＝.mHFG，交AC如解图②，过点D作于点DG∥BC易得AD＝AG，AD＝EC，∠AGD＝∠ACB.
在△ABC中，∵∠BAC＝∠ADH＝36°，AB＝AC，
∴AH＝DH，∠ACB＝∠B＝72°，∠GHD＝∠HAD＋∠ADH＝72°.
∴∠AGD＝∠GHD＝72°，
GHBC∵∠GHD＝∠B＝∠HGD＝∠ACB，∴△ABC∽△DGH.∴＝＝m，∴GH＝mDH＝mAH. DHACDGBCBC由△ADG∽△ABC可得＝＝＝m.
ADABACFGGD∵DG∥BC，∴＝＝m.∴FG＝mFC.
FCECACm＋1∴GH＋FG＝m(AH＋FC)＝m(AC－HF)，即HF＝m(AC－HF)．∴＝.
HFm
类型二几何图形动态探究
1．解：(1)①当α＝0°时，
Rt△ABC中，∠∵B＝90°，
＋8＝5，（8÷2）AB∴AC＝＋BC＝的中点，、AC分别是边∵点D、EBC525AE.
2222 4
，∴＝8÷2＝，25＝∴AE4÷2＝5BD4＝＝24BD．
，AB∥DE②如解图①，当α＝180°时，可得5AC45ACBCAE ＝＝；，∴∵＝＝
2BDBC8AEBD
AE α＜360°时，的大小没有变化，(2)当0°≤BD ＝∠DCB，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA5ECAC ＝＝，又∵2DCBC5AEEC ＝＝；∴△ECA∽△DCB，∴2BDDC AD，(3)①当D在＝AE上时，如解图②，∵AC＝45，CD4，CD⊥22228，80－16（＝45）＝－4＝∴AD＝AC－CD ＝90°，＝DC，∠BAD∵＝BC，AB ；＝45∴四边形ABCD是矩形，∴＝BDAC的垂线B作ACAC作的垂线交AC于点Q，过点D②当在AE延长线上时，如解图③，连接BD，过点D P，交AC于点 AD，CD＝4，CD⊥∵AC＝45，2222 8，（∴AD＝AC－CD＝45）80－4＝－16＝的中点，D∵原图中点、E分别是边BC、AC5111AE5612.
＝＝＝6＝，由(2)可得，∴BD－－，∴×AB∴DE＝＝×(8÷2)＝4＝2AE＝ADDE＝82
5BD222252512. 5的长为4或综上所述，BD52．解：(1)①∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，
由旋转的性质可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，
∴∠DAO＝360°－60°－90°－120°＝90°；
222.
＝之间的数量关系是OCOA＋OBOC，，②线段OAOB ，ADC60°得△按顺时针方向旋转C绕点BOC∵△OD.如解图①，连接．
OCD＝60°.ADC≌△BOC，∠∴△ OC，∴CD＝是等边三角形，∴△OCD ＝60°，，∠COD＝∠CDO ∴OC＝OD＝CD ＝90°，＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC∵∠AOB ＝90°.＝30°，∠ADO＝60°.∴∠DAO∴∠AOD222Rt，DAO＝90°，∴OA＋AD＝在OD△ADO中，∠222；OB＝OCOA∴＋＋OBOC有
最小值．作图如解图②，(2)①当α＝β＝120°时，OA＋按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，
连接OO′.将△AOC绕点C OCO′＝∠ACA′＝60°.′∴△A′OC≌△AOC，∠∴△OCO′是等边
三角形．＝AC，∠A′O′C＝∠AOC.，∴O′C＝OC，O′A′＝OAA′C ∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′
＝∠CO′O＝60°. ∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°. ′四点共线．′，A，
O，O′＝∠OO′A′＝180°.∴∴∠BOOB ＋OO′＝BA′时值最小；＝O′A′＋OB＋OCOB∴OA＋3. A′B＝＋OC的最小值为时，②当等边△ABC的边长为1OA＋OB
3．解：(1)①∵△DEC绕点C旋转使点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE∥AC；
1②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，2∴BD＝AD＝AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
，)等底等高的三角形的面积相等(的面积相等AEC的面积和△BDC∴△．
即S＝S；21
(2)∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，
∴∠ACN＝∠DCM，
∠ACN＝∠DCM???∠CMD＝∠N＝90°，中，∵在△ACN和△DCM??AC＝DC AAS)，∴AN＝DM，∴△
ACN≌△DCM(∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，
即S＝S；21(3)如解图，过点D作DF∥BE，易求四边形BEDF是菱形，11∴BE＝DF，且BE、DF上
的高相等，此时S△DCF＝S；BDE11△1过点D作DF⊥BD，2∵∠ABC＝60°，FD∥BE，∴∠FFD＝∠ABC
＝60°，1211∵BF＝DF，∠FBD＝∠ABC＝30°，∠FDB＝90°，∴∠FDF＝∠ABC＝60°，2111212
∴△DFF是等边三角形，∴DF＝DF，2112∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，
1∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，2∴∠CDF＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°，1∠CDF
＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF＝∠CDF，221DF＝DF?21??∠CDF＝∠CDF，中，∵在△
CDF和△CDF2121??CD＝CD SAS)，∴点F也是所求的点，CDF∴△≌△CDF( 212∵∠ABC＝60°，点D
是角平分线上一点，DE∥AB，
1∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°， 2 ，4＝BD又∵．
3314cos＝＝×4÷∴BE＝ED30°＝2÷，32243434383∴BF＝，BF＝BF＋FF＝＋＝，2112133334383
故BF的长为或.
334．解：(1)当α＝60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，
∴EC＝DC，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
EC＝DC???∠BCD＝∠ACE，中，在△BDC和△AEC??AC＝BC SAS)，∴BD＝AE；BDC∴△≌△AEC( (2)BD＝2AE；
理由如下：如解图①，过点D作DF∥AC，交BC于F.
∵DF∥AC，∴∠ACB＝∠DFB.
∵∠ABC＝∠ACB＝α，α＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB＝45°.
2∴△DFB是等腰直角三角形∴BD＝DF＝BF.
2∵AE∥BC，∴∠ABC＋∠BAE＝180°.
∵∠DFB＋∠DFC＝180°，∴∠BAE＝∠DFC.
∵∠ABC＋∠BCD＝∠ADC，∠ABC＝∠CDE＝α，∴∠ADE＝∠BCD.
AEAD∴△ADE∽△FCD.∴＝.
FDFCBDADAEBD2∵DF∥AC，∴＝.∴＝＝.∴BD＝2AE.
BFCFBDBF2(3)补全图形如解图②，∵AE∥BC，∠EAC＝∠ACB＝α，∴∠EAC＝∠EDC＝α，
∴A、D、C、E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE，
∵∠ADE＋∠EDC＝∠ADC＝∠ABC＋∠BCD，∠ABC＝∠EDC＝α，
∴∠ADE＝∠BCD，∴∠ACE＝∠BCD，
BDBC∵∠ABC＝∠EAC＝α，∴△BDC∽△AEC，∴＝， AEACBC coscosα·2BD2又∵＝α，∴＝AE. AC
5．解：(1)①∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝60°，
∵∠DCF＝60°，∴∠ACF＝∠BCD，
AC＝BC???∠ACF＝∠BCD SAS)，和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD(在△ACF??CF＝CD∴∠CAF＝∠B
＝60°，∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝120°；
②相等；理由如下：
∵∠DCF＝60°，∠DCE＝30°，
∴∠FCE＝60°－30°＝30°，∴∠DCE＝∠FCE，
CD＝CF???∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，
??CE＝CE SAS)，∴DE＝EFDCE≌△FCE(；∴△(2)①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°，
∵∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD，
AC＝BC???BCDACF＝∠∠，在△ACF和△BCD中，??CF＝CD SAS)，∴∠CAF＝∠B＝45°，≌△BCD(AF ＝BD，∴△ACF∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝90°；
；理由如下：②AE＋DB＝，FCE＝90°－45°＝45°，∴∠DCE＝∠FCE∵∠DCF＝90°，∠222 DE
DCE＝45°，∴∠CF＝CD???∠DCE＝∠FCE，和△在△DCEFCE中，??CE＝CE SAS)，∴DE＝≌△FCE(EF， DCE∴△222Rt，EFAE在△AEF中，＋AF＝222. DBAF又∵＝，∴DB＋AE＝DE。